概率论在数模竞赛中的应用-2.doc

§2 在数模竞赛中用到概率论的一些实例一、（2002年全国数模竞赛B题）彩票中的数学要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。目前流行的彩票主要有下列两种类型：（1）“传统型”例（“10选6+1”）投注者从09这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从04这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。开奖时，从09中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从04中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）：中奖等级投注者选的基本号码投注者选的特别号码一等奖abcdefg二等奖abcdefX三等奖abcdeX Xbcdefg X四等奖abcdXX XbcdeX XXcdefg X五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdefg X六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXefg X 投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是，不符的概率是。选的特别号码，与摇出号码相符的概率是，选错的概率是。因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有；。（2）“乐透(lottery)型”例（“36选6+1”）投注者从0136这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。开奖时，从0136中摇出6个基本号码（无重复，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中O为摇出的基本号码，为摇出的特别号码，X为其他号码）：中奖等级投注者选的号码中奖概率一等奖OOOOOO二等奖OOOOOOX三等奖OOOOOX四等奖OOOOOXX五等奖OOOOXX六等奖OOOOXXX七等奖OOOXXX 36个号码可以分为3类：6个基本号码、1个特别号码和29个其他号码。彩民投注时，从36个号码中任意选7个号码（无重复，不考虑排列次序），有种不同选法。在彩民选出的7个号码中，恰好有个基本号码和个特别号码的情况，相当于先从6个基本号码中选个，再从1个特别号码中选个，再从29个其他号码中选个，共有种不同选法，所以，中奖概率为 （，）。 彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）：中奖等级一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖奖金额500元100元10元5元奖金额在高项奖中所占的比例75%10%15% 其中，四等奖、五等奖、六等奖、七等奖称为“低项奖”，奖金额固定；一等奖、二等奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定，按照下列公式求出：，。 高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。但是，如果按照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关： 。按照这一公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为中奖等级一等奖二等奖三等奖奖金额4205385元19335元4834元 设投注者每购买一注彩票可以得到的奖金额为随机变量，他能得到的平均奖金额就是的数学期望，把上面求出的奖金额和中奖概率代入，可以求得（元）。 得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注彩票付出的金额为2元，按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是 。 对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。二、（2004年国际数模竞赛A题）指纹是唯一的吗？人们普遍相信一种说法：在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的。要求建立一个模型，分析评估一下，这种说法，成立的可能性有多大。（1）任意选出两个人，他们的指纹相同的概率 设一个指纹中有个特征点，在每个特征点处，都有可能出现种不同的特征（如：核心、分岔、孤岛、孔洞、三角、端点、交叉、，等等）。 设在第个特征点处，出现各种特征的概率分别为， （ 显然有 ）。 于是，在第个特征点处，两个人的指纹特征恰好相同的概率，显然应该等于 （ ）。 设各个特征点相互独立，则在所有个特征点处，两个人的指纹特征完全相同的概率就是 。 作为特例，如果在所有个特征点处，出现种不同特征的概率都相等，即有 （，）。这时，两个人的指纹特征完全相同的概率就是 。（2）在世界上曾经生活过的个人中，至少有两个人指纹相同的概率 上面，我们已经求出了“任意选出两个人，他们的指纹相同”的概率。在此基础上，我们进一步来求“在个人中，至少有两个人指纹相同”的概率。为此，我们先来求“在个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率。 将这个人编号为：第1人，第2人，第人。 第1人与第2人指纹相同的概率为，第1人与第2人指纹不同的概率为。 在已知第1人、第2人指纹不同的条件下，第3人与第1人、第2人中至少一人指纹相同的概率为，第3人与前两人指纹都不同的概率为。 在已知第1人、第2人、第3人指纹都不同的条件下，第4人与第1人、第2人、第3人中至少一人指纹相同的概率为，第4人与前三人指纹都不同的概率为。在已知第1人、第2人、第人指纹都不同的条件下，第人与前人中至少一人指纹相同的概率为，第人与前人指纹都不同的概率为。 所以，“在个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率为 。 “在个人中，至少有两个人的指纹相同”的概率为 。作为特例，当时，有 。（3）概率的计算上面求出了“在个人中，至少有两个人指纹相同”的概率，在这个式子中，要计算多达项的连乘积，当很大时（例如是世界上曾经生活过的人口数），这个连乘积，即使用计算机，也是很难计算的。所以，我们要考虑它的近似计算。设其中，是展开式中的系数，当或时规定。由于 ，对比等式两边，可以看出，有递推公式： （）。再加上显然有，就可以逐步递推得到 ， ， ， ， 。即有 。 作为特例，设一个指纹中共有25个特征点，每个特征点处可能出现10种不同的特征，出现各种特征的概率都相等，即有 ， 。 设在世界上曾经生活过的人口数为300亿，即。代入上面的公式，可以求得“在世界上曾经生活过的个人中，至少有两个人指纹完全相同”的概率为 。 这个概率非常小，也就是说，“在世界上曾经生活过的人中，至少有两个人指纹完全相同”的概率几乎等于0。由此可见，“在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的”这种说法，是完全可信的。10