独具魅力的新数列——等方差数列.doc

独具魅力的新数列 “等方差数列”441000 湖北省襄樊市第一中学 王 勇 纵观近年全国高考试题和各省市高考模拟试题，数列一直是创新改革题型的“试验田”，一些构思精巧，新颖别致，极富思考性、趣味性和挑战性的新定义型数列频频出现，如“等和数列”（04年北京卷）、“绝对差数列”（06年北京卷）、“对称数列”（07年上海卷）、“等方比数列”（07年湖北卷）.这些新定义型数列是考查学生迁移和探究能力的极好素材，具有很好的区分和选拔功能.下面再给出一种独具魅力的新数列“等方差数列”，同时结合典型例题加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.例1(2008年武汉市调考题) 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.（1）设数列是公方差为的等方差数列，求和N)的关系式；（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；（3）设数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的种数.解析 （1）由等方差数列的定义可知：N).（2）是等差数列，设公差为，则.又是等方差数列，=，即，即数列是常数列.（3）依题意，N)，或，即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种，故这种密码共512种.点评 类比等差数列，给出新定义“等方差数列”，情景新颖，能有效地考查学生继续学习的潜能.例2(2008年福州市质检题) 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差. 正项等方差数列的首项，且是等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设集合，取集合的非空子集，若的元素都是整数，则称为集合中的“完美子集”，求集合中的元素最多的“完美子集”.解析 （1）设公方差为，则由已知得，由，得，又由是等比数列，得，即，解得.所以是首项为1，公方差为2的等方差数列，于是，即，注意到，所以.（2）由，设N*，得，所以，由且，都是正整数可知：时，.故所求的集合中的元素最多的“完美子集”.点评 本题给出两个新定义“等方差数列”和“完美子集”，把握两个新定义的实质是求解的关键.例3(2008年郑州市质检题) 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.（1）已知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，令，求的值；（2）设数列是首项为2，公方差为2的正项等方差数列，试证明：当2时，.解析 （1）数列是首项为，公差为2的等差数列，则，.， . 并化简得.（2）数列是首项为4，公差为2的等差数列，则，.由于，又，即.点评 本题第(1)问所采用的“错位相减法”是数列求和的重要方法；第(2)问所采用的“分子有理化”是证明不等式常用的变形技巧.例4(2008年襄樊市模拟题) 如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.（1）若数列是等方差数列，求；（2）是否存在一个非常数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，请说明理由.（3）若数列是首项为2，公方差为4的正项等方差数列，数列的前项和为，是否存在正整数、，使不等式对一切N*都成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.解析 （1）因为是等方差数列，所以公方差，于是，故得.（2）若数列是等差数列，设R)，则，要使也为等方差数列，应有（为与无关的常数），计算可知，即，这时必为一常数列，因此不存在一个非常数列的等差数列同时也是等方差数列.若数列是等比数列，则为公比且)，要使也为等方差数列，应有（为与无关的常数），即，所以必有，但当时，数列是常数列，故只能有，所以存在一个非常数列的等比数列，同时也是等方差数列，其公比等于.（3）由于是首项为2，公方差为4的等方差数列，所以，注意到，因此.所以数列的前项和为.假设存在正整数、，使不等式对一切N*都成立，即.则当时，得，而、均为正整数，所以.以下证明()对一切N*都成立.由于N*)，所以=.点评 本题极富思考性和挑战性，第（2）、（3）问所采用的探索方法和思想如同“神来”之笔，值得读者仔细品味和借鉴.地 址：湖北省襄樊市第一中学邮 编：441000 宅 电：07103421215手 机：13507271807E-mail : wy196519655