资产组合深度分析.ppt

资产组合深度分析,高级投资学专题之一,主要内容：,关于分散化 马柯维茨分散化概述,一、关于分散化1.简单的分散化 最简单的资产组合理论是基于随机分散化（random diversification）。假设你有1000支国内普通股，计算出每个股票10年的历史收益的标准差。在图14-1中，风险最大的一支股票在Y点，最小的在W。在假设你有同样的1000支股票，并将它们分成500个组合，每个组合中随机选择2股。在图14-1中，这500个随机组合中风险最大的在Z点，最小的在X点。你能猜出这个简单的2支股票的组合的分散化起到了什么作用吗？2支股票的组合的平均标准差，以2表示，小于1000支单个股票的平均标准差以1表示。,=12=,12是简单分散化的结果。你无需大量计算来证明这个结果，想一想就知道了，这是直觉。然后，再假设你将同样的1000支股票分成333个不同的组合，每个组合中有3支股票。直觉告诉你3支股票的组合，平均来看，会比2支股票的组合风险小。,=23=,123的递减是最简单的分散化所带来的风险下降的结果。我们如果忽略统计样本上的误差，可以发现当更多的股票加入组合中，平均标准差有下降趋势。换句话说，我们会得到：123456。图14-1中标有“随机组合的平均风险”的实线表示了简单、随机、自然分散化所具有的风险降低功能。,图14-1中可以看出随着我们从1支股票的组合到2支股票的组合，再到3支股票的组合，4支股票的组合，5支股票的组合，6支股票的组合，平均标准差下降的趋势。简单分散化没有什么惊人的地方；组合风险的过程会一直持续到组合中有大约36支随机选取的股票。不过，比较难理解的是，当组合中加入多于36支等权的股票，简单分散化却不能再降低多少风险了。例如，图14-1显示了，36支股票的组合的平均标准差几乎等同于1000支随机选取的股票组合的平均标准差。你能解释为什么36=1000？,以系统的方式同时影响所有资产的市场力量会产生不可分散的风险（undiversifiable risk）。牛市（走势好的市场）、熊市（走势差的市场）、战争、通货膨胀率的改变等等都是股票风险系统（不可分散）中的风险因素。引起可分散的风险（diversifiable risk）因素有：不可抗力（台风或洪水）、发明、管理上的失误、诉讼、影响公司的好、坏消息，以及其他一些特殊的事件，这些因素都独立于产生不可分散风险的更为广泛的力量。可分散风险在一个有36支以上的股票随机组成的组合中可以很容易的减为零，因为随机选取的资产中的非系统性的好运和坏运平均下来会等于零。,组合中如果不停的加入随机挑选的股票，超过36支，图14-1中描绘组合平均标准差的曲线就变成了一条水平线。40=400=1000的水平线衡量的是不可分散风险。在组合基金中随机加入超过36支股票并不能减少不可分散风险。这是因为在有超过36支随机股票的组合中，一般可分散风险已经减为零，剩下的只有不分散风险。简单分散化的分析使用的是随机选取和等权组合，以模拟毫无技巧的投资。这些幼稚的方法并没有使简单分散化在降低风险上失效。图14-1显示了简单分散化在超过36支随机选取的资产时几乎可以将风险减半。不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里虽然是一极简单的思想，但却是很有用的。,图14-1 简单分散化使资产组合的可分散风险降为零，仅剩下不可分散风险,2.跨行业分散化 从不同的行业选取证券看上去比随机的分散化更好，但是，令人惊讶的是，这种方法事实上对于降低风险并不见得更好。,用两种不同的方法构造了包含8、16、32种纽约证交所上市的普通股的资产组合：（1）简单随机选取股票和（2）从不同行业的组合中选取股票。劳伦斯费雪（Lawrence Fisher）和詹姆斯劳力（James Lorie）用这两种方法构造了许多种组合；这些组合的表现数据在表14-1中。表14-1告诉我们随机选取的资产组合，比如含8支股票的组合，和从8个不同行业分散化的8支股票的组合相比，它们的最小收益、平均收益和标准差并没有显著差别。表14-1中的组合表现数据的对比表明跨行业分散化并不优于简单分散化。,3、过度分散化 资产组合要最大化减少风险的收益，需要将投资资金投到数十种不同的股票上。再将资产组合的资产投资到更多的股票中就会走向过度分散化(superfluous diversification)。过度分散化经常导致实践中低效率的投资管理结果：低效的资产组合管理。资产组合中包含了，比如，超过100支不同的股票，但组合经理却不能充分了解所有这些股票的信息。组合中的每一支股票都转移了经理人本可以给与其他股票和其他客户的精力。,惨淡的业绩。要搜集大量不同的股票，不可避免的会购买到收益率不是很高的股票。在一个像纽约股票交易所这样的有效市场中，要想每天都发现上千支价值低估的股票是不现实的。高额的搜寻成本。随着资产组合中的证券数和客户人数的增加，交易成本和证券分析成本也会相应增加。,将更多的钱花在过度分散化上不大可能提高资产组合的业绩。更糟糕的是，如果考虑了惨淡的投资和递增的成本，过度投资可能降低资产组合所有人的净收益。大部分的共同基金并不比标准普尔500指数的表现更好。过度分散化正是它们表现平平的原因之一，因为大部分的共同基金都有上千支不同的证券。,二、马柯维茨分散化概述马柯维茨分散化（Markowitz diversification）可以使资产组合的风险降低到简单随机分散化认为是不可分散风险水平之下。为了解释其中原理，先考虑当两个假想的收益负相关的普通股被组合在一起，将会产生什么结果。用符号B代表黑墨水公司发行的股票，R代表红墨水公司的股票。当会计师公布他们公司的财务报表时，盈利写成黑色，损失写成红色。这样，假设黑墨水在经济增长期销售旺盛，红墨水在经济衰退期销售旺盛。表14-2显示了包含有墨水股票R和B的资产组合在4年时间里的业绩。,表14-2显示了有一半B、一半R的资产组合在4年中收益的波动率为零。风险的完全消除是由于B和R的收益率完全负相关。B和R的收益完全反向运动，这样一支股票的盈利总是抵消了另一支股票的损失。表14-2显示了将有风险的资产组合成无风险的组合是有可能的。但是，如果没有马柯维茨资产组合分析，任何有风险的资产都不可能组合成无风险的资产组合。,马柯维茨的资产组合管理模型是基于五个相关的概念的。第一个概念要求组合中资产的权重之和等于组合价值的100%。第二个概念是，资产组合的收益等于组合中资产收益的加权平均。第三个概念要求，当追求资产最高收益时，资产组合经理人应该最小化组合的风险。第四个概念是一个有深刻见解的组合风险公式，显示了每一个投资资产的风险如何决定组合的风险。资产组合管理过程以概念五结束，其中解释了资产组合是否需要通过借钱融资。下面的部分以简单的2支股票的组合为例，分别解释每个概念。逐步分析显示了如何找到最优的投资。,1、马柯维茨概念之一：权重加总等于一投资权重是资产组合经理人需要决定的决策变量（decision variable）。马柯维茨资产组合分析假设组合中的资产权重之和为一。例如，假定一个收益为10%的马柯维茨有效资产组合，其53%投资于股票，7%投资于债权，40%投资于国库券，且这三个权重相加等于100%。说明组合中超过或少于100%的资金是没有意义的。例如，如果一个组合中所有资产的权重相加等于120%、或60%、或其他不等于100%的数，这是什么意思？公式14-1说明了马柯维茨概念一：=1（14-1）,公式14-1称为权重公式，xi代表资产i在由N中不同资产的组合中的权重（weight）或参与水平。例如，如果一个含2项资产的组合（N=2）有三分之二的资金投资于资产A，其余的资金投资于资产B，我们说资产A的权重（xA=2/3）加上资产B的权重（xB=1/3）等于1。实质上，xA+xB=2/3+1/3=1。,一个组合中的资金不能连续投资，但必须连续的计算。比如，如果一个2项资产的组合没有钱投到股票或债券中，而是全部以现金持有，用符号xC代表投资于现金的权重。我们可以写成：xC=100%=1.0。我们在说明这个2-资产组合的资金分配时可以写成：xC+xB=1+0=1。在这种情况下，我们知道没有资金投入到资产B中（xB=1-xC=0），因为所有的钱都投入到资产C（现金）中。,2、马柯维茨概念之二：一个资产组合的期望收益率资产组合的期望收益（portfolios expected return）是组成资产组合的资产的期望收益的加权平均。马柯维茨规则二正式的表达式是公式14-2，定义了N个资产的组合的期望收益率，E(rp)。E(rp)=E(ri)(14-2)E(ri)表示第i个资产的期望收益率。证券分析员预测资产 E(ri)的价值。证券分析员对期望收益的预测为资产组合分析员提供了马柯维茨资产组合分析的数据。,表14-3给出了埃德玛瑞特（Admiralty）机械公司和巴瑟斯特（Bathurst）商品公司这两只普通股的风险和收益。假设资产组合的三分之二投资于埃德玛瑞特，三分之一投资于巴瑟斯特，即（xA=2/3），（xB=1/3）。该组合的加权平均收益公式为：E(rp)=xA E(rA)+xB E(rB)(14-2a),这个可以等价的用一个权重表述：xB=1.0 xAE(rp)=xA E(rA)+（1 xA）E(rB)(14-2b)=xA(5%)+xB(15%)=2/3(5%)+1/3(15%)=0.666(0.05)+0.333(0.15)+0.08333=8.33%(14-3c)三分之二投资于埃德玛瑞特、三分之一投资于巴瑟斯特资产组合的期望收益率E(rp)=8.33%。,3、马柯维茨概念之三：投资目标马柯维茨规则三规定资产组合经理人的目标是选择投资权重以达到有效资产组合。有效资产组合（efficient portfolio）是一种资产的组合，具有以下特点：在其风险水平下有最大化期望收益，或，反过来 在其期望收益下最小化风险资产组合管理的目标是同时分析不同的资产，决定组成有效资产组合所需的资产及其权重。所有有效资产组合的集合称为有效边界。有效边界（efficient frontier）是,E(r)二维空间中的点集，在每个风险水平下具有最大的收益。有效边界优于其他所有的投资机会。,4、马柯维茨概念之四：资产组合风险单个资产的收益的方差，VAR(r)，和标准差，。一个资产组合的方差包括每个资产的方差和资产间的协方差。用N代表组合中的资产数量。为了进行马柯维茨资产组合分析，必须将组合的方差分解为方差和协方差，分别代表了单个资产的风险和资产间的相互联系。VAR(rp)=(14-3)公式14-3中用双重求和表示的方差-协方差矩阵可以展开，等价写为下面矩阵公式14-3a的形式。,其中，xi=第i个资产在组合中权重（可能为零）ii=i2=VAR(r)=资产i收益的方差 ij=COV(ri,rj)=资产i和资产j间收益的协方差,由于x1x212+x2x121=2 x2x121，且x2x222=x2222，我们可以将矩阵公式14-3a简写为下面的矩阵公式14-3b：,公式14-3、14-3a、和14-3b包含了马柯维茨规则四：它们为由N种不同资产组成的资产组合问题定义了方差-协方差矩阵(variance-covariance matrix)。哈里.马柯维茨并没有创造数学上的方差-协方差矩阵。但是，他是第一个演示如何用它来管理资金的人。,再次回顾协方差和相关系数已经介绍过协方差。已经显示了协方差与相关系数之间的关系，正如公式14-4，其中ij是任意两个变量i和j之间的相关系数。ij=ijij(14-4)注意，公式14-4可以很容易得到相关系数的简单定义，ij=ij/ij,协方差衡量的是两个变量如何同时变化。如果两项资产正相关，它们的协方差也会是正的。一个国家中大部分的普通股相互间都是正的协方差。这些正的协方差和相关系数衡量的是，比如，纽约证券交易所里所有的股票在熊市时的下跌趋势和牛市时一同上涨的趋势。,如果两个变量是相互独立的，它们的协方差（以及相关系数）等于零。例如，股票市场和某地的天气之间的协方差很可能是零。如果两个变量反向变动，它们的协方差（以及相关系数）是负的。例如，可口可乐股票的多头收益就与其空头收益完全反向相关，Long,Short=-1。协方差和相关系数统计量在马柯维茨资产组合分析中有重要作用。,由两项资产构成的马柯维茨资产组合分析公式14-5是一个简单的2 2矩阵，是公式14-3b中的N N矩阵的左上角。公式14-5定义了一个含有两支普通股的资产组合收益的标准差，这两支股票是表14-3中介绍的埃德玛瑞特(A)和巴瑟斯特(B)公司发行的股票。=(14-5),将公式14-4中的AB=ABAB 代入公式14-5，得到公式14-6，显示了埃德玛瑞特和巴瑟斯特股票收益的相关系数如何影响资产组合的风险，p。=(14-6)将表14-3中埃德玛瑞特和巴瑟斯特股票的标准差代入公式14-6得到：=(14-6a),图14-2A、B、C和D是埃德玛瑞特和巴瑟斯特股票以及由这两支股票所可能构成的组合在-E(r)空间（二维风险-收益平面）里的图像。图14-2A、B、C中的图像不同是因为股票间的相关系数用三个不同的值，AB=+1，0，-1。图14-2D仅仅是图14-2A、B、C的叠加。这四幅图画的都是由埃德玛瑞特和巴瑟斯特股票组成的不同组合的风险和收益，权重均为正（xA 0,xB 0），相加等于1（xA+xB=1），且使用了三种不同的相关系数（AB=+1，0，-1）。,为了更清楚地了解图14-2中每一组所代表的内容，我们首先将一些数据代入公式14-2a和14-6中，计算组合的期望收益和风险，以核实图中一些点。例如，像公式14-2c显示的，xA=2/3，xB=1/3 的资产组合的期望收益是8.33%。然而，xA=2/3，xB=1/3 的组合的风险会随相关系数AB值的变化而改变，如下面公式14-6b所示。=(14-6)=(14-6b),下面的讨论显示了如何将不同的相关系数代入公式14-6b中，从而计算得到组合的不同的标准差。图14-2A中的完全正相关收益假设埃德玛瑞特和巴瑟斯特的股票的收益率之间的相关系数完全正相关（AB=+1）相关系数的最大值。在这种情况下，我们得到了图14-2中-E(r)的线性关系。资产A和B的风险和收益之间的直线是AB+1代入资产组合风险公式后得到的。=(14-6)=(14-6c),图14-2 用2项资产进行资产组合分析：（A）完全正相关，（B）无关，（C）完全负相关，（D）假设有三种不同的相关系数。,其次，两项资产的权重从0到1之间变动（0 x 1），相加之和永远等于正1（xA+xB=1）。从这无限多对组合中选择五个如下：五个投资决策：(xA,xB)=(0.2,0.8),(0.4,0.6),(0.5,0.5),(0.6,0.4),(0.8,0.2),按这种方式变动权重可以方便我们评价一定范围内的投资决策。最后，xA 和xB 相加为一的权重组合代入到投资风险公式，公式14-6c，和资产组合收益公式，公式14-2a。例如，图14-2A和D中P点的资产组合：AB=+1，xA=2/3，xB=1/3，期望收益为8.33%，标准差为26.4%。用这种方式得到的2项资产的组合的无限个风险-收益统计量描绘出了图14-2A中的直线。你自己计算一些数据来证实图14-2A中的线应该是一条直线。,图14-2B中的完全不相关资产如果两支股票的收益率之间相关系数为零，多元化就可以降低风险。为了说明这点，请看当相关系数等于零，AB=0时，资产组合风险公式14-6如何变化。当AB 等于零时，公式14-6的最右边一项等于零。这就使组合的风险水平比正的相关系数情况下的风险水平低。,不相关的收益产生了如图14-2B和D中的结果。例如，资产组合在图14-2B和D中的点W的AB=0，xA=2/3，xB=1/3，期望收益为8.33%，标准差为18.7%。改变资产间的相关系数不会影响资产组合的期望收益：这是因为在资产组合收益公式，公式14-2a中AB不是一个变量。E(rp)=xAE(rA)+xB E(rB)(14-2a)AB=+1.0的资产组合和AB=0的资产组合的全部差异就在于公式14-6b中的风险差异。看一看图14-2D，AB=0的资产组合在每一个期望收益水平下都比相应的AB=+1.0的资产组合的风险小。,图14-2C中的完全负相关收益相关系数的最低值是-1。当资产组合风险公式14-6中的相关系数等于-1，公式最右边一项就达到了最大负值。在一定的权重下，AB=-1的资产组合的风险可以减为零。例如，埃德玛瑞特和巴瑟斯特的股票组成的资产组合，图14-2C和D中的Z点，xA=2/3，xB=1/3，AB=-1，组合的风险降为零。其它权重下组合的风险大于零。图14-2 D表明当相关系数达到其最小值AB=-1时，资产组合的风险总是达到了最低水平。,像埃德玛瑞特和巴瑟斯特这样两个风险资产，要想组合成图14-2C和D中的Z点的无风险组合式很困难的。再重新考虑一下表14-2的墨水生产商的例子，它说明了两个完全负相关的资产可以构成组合使风险降为零。由于资产完全反向运动，一个资产的损失正好被另一个资产的盈利所抵消。这就使得组合的收益波动率为零，即无风险。,运用马柯维茨分散化理论进行资产组合分析图14-2 D是图14-2A、B、C的叠加。简言之，图14-2A和D显示了在P点xA=2/3，xB=1/3，相关系数AB=+1，资产组合的总风险=26.4%。我们来考虑另外两个资产组合，xA=2/3，xB=1/3。图14-2B和D显示了在W点，如果AB=0，那么=18.7%。图14-2C和D显示了在Z点，AB=-1，=0。图14-2D中画出了所有的点（像图14-2A、B、C中的P、W、Z）。图14-2D说明，如果资产组合经理人可以找到收益率相关水平很低的证券，马柯维茨分散化就可以使资产组合的风险水平降到不可分散化风险水平之下。,两个以上资产（N 2）的马柯维茨资产组合分析马柯维茨资产组合分析是一种管理分散化资产组合的科学方法。马柯维茨模型可以同时分析许多不同证券的风险和收益，通常是通过计算机来进行的。制约待分析的资产数量的因素只有两个：计算机的大小，和能够获得风险和收益数据的证券的数量。由于不可能画出三维以上的图，所以当分析的资产数超过三个时，就不可能用图示分析资产组合了。,马柯维茨资产组合分析是一个数学问题，需要同时解出不同的数学公式。可以通过计算机程序的二次规划过程解出。二次规划(quadratic programming,QP）是一种数学过程，最小化每一水平的资产组合收益下的风险。用公式14-3中的二次公式分析资产组合的风险。一些使用计算机程序解二次规划的人又称这个程序为最优化方法。,5、对马柯维茨第一个概念的重新思考让我们从另一个方面来看马柯维茨规则一，并从公式14-1中导出更重要的含义。负权重表示卖空图14-2中显示的所有的投资机会都使用非负的权重计算的，表示权重（x）只能为正或零。在马柯维茨资产组合分析中负的权重也是允许的，只要不违背马柯维茨规则一，公式14-1，即所有的权重相加等于+1（或100%）。负权重即：x 0。假设三个有负权重2项资产的组合：(xA,xB)=(1.2,-0.2),(-0.6,1.6),(2.5，-1.5)。当分析中允许负权重时，图14-3中额外的投资机会就成为可能。有负权重的资产组合称为杠杆资产组合（leveraged portfolio）或借贷组合。,在图14-3中杠杆资产组合可能性线表示了含有负权重的资产组合。资产组合中埃德玛瑞特(A)和巴瑟斯特(B)的对应的权重标刻在图14-3右边的两条垂直线上。有两种对负权重的经济解释是可行的。第一，负权重可以用于表示证券卖空。第二，负权重表示，投资者通过出售（发行）与负权重资产有相同风险和收益水平的证券进行杠杆（借贷、保证金）投资。图14-3表明，当发行（或卖空）低收益资产A获得资金投资到高收益资产B时，杠杆投资迎合了投资者的兴趣。而当发行（或卖空）高收益资产B获得资金投资到低收益资产A时，杠杆投资不受投资者欢迎。,图14-3 允许负权重时埃德玛瑞特和巴瑟斯特的资产组合分析,对于有些退休基金、共同基金、银行中的信托账户，以及一些捐赠基金，法律上是禁止它们借贷或空头的。实际上，世界上许多大的投资者都不允许借贷或空头。但对于个人投资者、固定金额基金和对冲基金，却没有类似禁止负权重的禁令；没有规定禁止它们借贷或空头。允许分析中加入负权重延伸了图14-2A、B、C、D中的资产组合可能性线。图14-3中的线比图14-2中的长：延长的线表示当允许借贷和/或卖空时额外的投资机会变成可能。,由凸型曲线表示的投资机会现在不考虑资产数N=2，而考虑N=20，N=2000。所有股票、债券、优化、商品期货、外汇、黄金、珠宝、房屋、大学学历（人力资源），以及其他个人资产的风险和收益都可以用点在图中表示，如图14-4所示。图14-4中的半月形的机会集（opportunity set）包含了用点表示的有效边界下方和右方的单个资产。半月形机会集的左上方边界上E到F的曲线表示的是马柯维茨有效边界。只有资产组合才能达到有效边界，因为只有资产组合能因分散化而得到风险的降低。图14-4中的半月形的机会集表示了到现在为止分析过的所有的投资机会。,注意图14-4中的半月形机会集是由对于E(r)轴凸的曲线勾勒出的。这是因为我们现在考虑的所有资产其相关系数都是假设在+1到-1之间的。正如图14-2和图14-3所示，相关系数在+1到-1之间就会使资产组合的集合在-E(r)空间构成一条凸向E(r)轴的曲线。图14-2和14-3同时还显示了只有完全正相关（=1）的资产可以产生线性的风险和收益组合；在任何情况下，资产组合可能性集合在-E(r)空间都会凸向E(r)轴。,优势资产组合(dominant portfolio)比劣势资产组合更受欢迎，因为优势资产组合在任意风险水平下有更高的收益率。在有效边界以下的资产组合就是劣势资产组合。马柯维茨分散化导出的资产组合优于简单分散化导出的资产组合。如果马柯维茨分散化用于世界上所有的资产，构成有效边界的优势资产组合的有效集合就会形成如图14-4中E到F的曲线。,图14-4 投资机会的有效边界是凸的,卖空产生有价值的投资机会如果一个资产组合中有N个备选证券，那么在多头的同时，卖空同样的N种证券时，投资的备选证券数量就翻了一倍，变成2N个。N个空头（用负权重表示）就是投资机会，并且与相应的多头（用正权重表示）负相关。这些负相关的投资产生了更多的风险下降的可能性，带来了优于没有空头时的投资机会。,加入空头后，不仅可以组成更多的优势投资，而且也重新定义了图14-4中有效边界上E点的最小方差资产组合（minimum variance portfolio）。假设对同一资产进行相同市场价值的多头和空头，并将它们组合起来。通过加入多头、空头的一期收益率公式，可以看到将这两种相反头寸组合的结果。,图14-5 比较有和没有空头时的有效边界,将同一资产等值的多头和空头组合起来会完全对冲，即零收益零风险。通过完全对冲得到的零收益、零风险头寸等价于持有现金，或者说，根本没有头寸。这种头寸在-E(r)空间的原点。图14-5显示了有空头时的零方差资产组合以及余下的有效边界，优于没有空头时的有效边界。,6、马柯维茨概念之五：资产配置线图14-2中介绍了马柯维茨资产组合模型，图14-4和14-5加入了额外的经济机会：可以按无风险利率（risk-free rate,RFR）借出、借入资产，这个部分继续拓展前述的马柯维茨模型。正如“无风险利率”的意思，RFR方差为零，VAR(RFR)=0。持有到到期日的美国国库券，或，联邦存款保险公司承保的储蓄存款就是无风险资产。,线性收益-风险公式假设一个2项资产的组合，1项资产支付无风险利率，RFR，另1项是有风险资产Q，收益为E(rQ)。表14-5给出了这两个资产的收益和风险数据。公式14-7给出了包含表14-5中的两项资产的资产组合的预期收益，其中xQ是投资在风险资产Q上的权重。E(rp)=xQ E(rQ)+(1-xQ)RFR(14-7)解出公式14-1得xRFR=(1-xQ)，是投资在无风险利率上的权重。,公式14-8给出了包含表14-5中的两项资产的资产组合的方差：Var(rp)=+0+0 因为VAR(RFR)=COV(Q,RFR)=0(14-8)将公式14-8简化，取其平方根，使2项资产的资产组合风险公式简化为风险资产标准差的倍数。P=xQQ(14-9)xQ=P/Q(14-9a),由于公式14-7和14-9都是线性公式，这就意味着所有由一个像资产Q的风险资产和一个无风险资产组成的资产组合在-E(r)空间都会形成线性的投资机会，如图14-6所示。图14-6中的投资机会集称为资产配置线(Asset Allocation Line,AAL)。在图中划出资产配置线的第一步是解公式14-9得xQ=P/Q。然后，将xQ=P/Q代入公式14-7：E(rp)=xQ E(rQ)+(1-xQ)RFR(14-7)=(P/Q)E(rQ)+1-(P/Q)RFR(14-7a)=RFR+(P/Q)E(rQ)-RFR(14-7b)=RFR+E(rQ)RFR/QP(14-10),公式14-10定义了资产配置线的一般形式。将表14-5的数值代入公式14-10得到资产配置线，见公式14-10a：E(rp)=RFR+E(rQ)RFR/QP(14-10)=5%+10%-5%/10%P=5%+0.5P(14-10a),图14-6 投资于风险资产Q和无风险利率的不同组合描绘出资产配置线（AAL）,图14-6画出了公式14-10a；它显示了基于无风险资产和风险资产Q组成的2项资产的资产组合的投资机会。资产组合L、Q、B只是资产配置线上无限的投资机会中的三个，图14-6。资产配置线上的其他点可以通过改变无风险利率、和/或表14-4中的资产Q的期望收益和/或标准差得到。资产配置线不仅仅是一个数学公式。财务工程师使用公式14-7、14-9和14-10来做财务计划，分析借入和借出机会。,ALL上的借入型和借出型资产组合当投资于风险资产Q的权重是正的，但小于1，0 0，则投资到无风险资产。任何将一部分资金投资于无风险利率的资产组合称为借出型资产组合，因为投资者按无风险利率借出资金。例如，图14-6中资产配置线上的点L，表示的就是一个借出型资产组合(lending portfolio)，一半资金按无风险利率借出，xRFR=1/2，另一半资金投资于风险资产Q，xQ=1/2。,然后，假设可以去银行（1）以无风险利率存入资金，或（2）借入资金并支付无风险利率。按无风险利率借入资金可以表示为在无风险利率上的负权重（xRFR 1，因为资产组合分析是基于马柯维茨规则一：权重之和等于1。xRFR为负、xQ 大于1的资产组合称为借入型资产组合(borrowing portfolio)，或杠杆资产组合(leveraged portfolio)，或保证金资产组合(margined portfolio)。图14-6中显示了资产配置线上借入者的位置，点B。,假设图14-6中的资产组合B的权重分配：xRFR=-1，xQ=2。xRFR=-1=-100%意味着投资者以无风险利率借入一笔价值等于资产组合初始股本投资额相等的资金。这笔借入的资金加上原有的股本，投资于风险资产Q，投资数额等与资产组合初始股本额的200%，xQ=2。这种状态可以解释为（1）资产Q的一部分使用保证金买的，或（2）一个支付无风险利率的债券发行了，发行收益用于购买更多的资产Q。不论哪种情况，图14-6的B点表示了这个通过借款筹资的资产组合。,例子 计算图14-6中资产组合B假设图14-6中的风险资产Q一份成本100美元，收益有50%的概率为100美元，50%为120美元。以下计算出资产Q的期望收益为10%。E(rQ)=+=0.5()+0.5()=0.5(0)+0.5(20%)=0+10%=10%,资产Q收益的标准差是10%。=0.1=10%考虑借款购买资产组合Q。如果一个投资者以无风险利率5%借入100美元，并购买第二份Q，则xQ=2，xRFR=-1。当使用借款时，投资者在其初始投资的100美元股本上会有50%的机会得到95美元，50%的机会得到135美元，如表14-6所示。,以下的计算表明借入资金可以用于杠杆投资，图14-6中B点资产Q的期望收益是15%。E(rB)=+=0.5()+0.5()=0.5(-5%)+0.5(35%)=-2.5%+17.5%=15%,借入型资产组合B的标准差是20%。=0.2=20%图14-6的资产配置线上的资产组合Q和B表示了以上的计算结果。公式14-7、14-9和14-10的实用性可以通过代入不同的数值来检验。,ALL的斜率衡量了投资意愿的指数一条线的斜率，S，等于沿此线的垂直上升长度比上相应的水平延伸长度。S=直线的斜率图14-6中的资产配置线的斜率是以资产配置线上任意的资产i来定义的。SAAL=Si(14-11),现在考虑资产配置线斜率的经济解释。公式14-11表明斜率等于资产i的风险溢价，E(rQ)RFR，除以资产i的风险水平，i，其中i可以是资产配置线上的任意资产。用资产配置线上资产Q计算公式14-11：SAAL=SQ=0.5 在Q点由于直线的斜率在线上任意点都是相同的，所以用借入型资产组合（B）计算的资产配置线的斜率也是0.5：SAAL=SB=0.5 在B点,资产配置线的斜率问题：图14-6中，在借出型资产组合L点计算的直线斜率是多少？答案：由于直线的斜率在线上任意点都是相同的，在L点的斜率与Q点、B点的一样。SlopeL=SlopeB=SlopeQ=0.5。威廉.夏普定义公式14-11的斜率为波动报酬比率（reward-to-variability ratio），因为分子衡量的是承担分母里风险的回报。因此，0.5的斜率意味着沿资产配置线移动，投资者每承担一单位风险（标准差）就能获得半个单位的风险溢价。在一项投资中直线的斜率（风险回报率）可以解释为对于该资产的意愿指数（index of desirability）。资产配置线越陡峭（斜率越大），投资者越愿意投资。,将ALL和马柯维茨有效边界相结合将图14-4和14-5中的个人投资和有效边界与图14-6中的资产配置线相结合，可以让我们从图中对比投资备选方案。例如，图14-7中有三条资产配置线，由无风险资产和三个风险资产K、J、M连接而成。资产K、J、M的资产配置线的斜率计算后排序如下：=0.5=0.33=-0.25,这三条资产配置线的斜率为：（SM=）(SJ=)(SK=)。资产M是投资者最愿意投资的资产，虽然资产J也有较高的收益率，因为M有最高的风险调整后收益(risk-adjusted return)（斜率，意愿指数）。资产K是三个中最不被看好的；它的斜率最小（负斜率）。这种排序机制可以推广用于衡量任意数量的不同投资方案即使是不同风险水平下的。这种衡量投资的方法是很有价值的，可以用于从无数备选方案中选择最佳的投资方案，也可用于评价共同基金和其他投资的业绩。,图14-7 以无风险利率借入和借出，再投资于一项风险资产就生成了资产配置线（AALs），可以衡量任意风险投资机会被投资的意愿程度。,图14-7表明通过以无风险利率借入和借出可以实现优势-E(r)空间最佳的投资。以无风险利率借入和借出资金，再投资于一项风险资产，结果产生了资产配置线上的新的投资机会。例如，资产M可以用于生成最陡峭的资产配置线；这些是图14-7中最优的投资机会。M的资产配置线（AALM）提供了在任何风险水平下都比E到F的马柯维茨有效边界更高的收益，除了资产配置线与有效边界相切的M点。AALM也优于AALJ和AALK以及图14-7中任何单个资产（图中黑点）。,投资者的偏好图14-7中有无限多不同的马柯维茨有效投资。有效边界上有低风险、低收益的资产组合，有中等风险、中等收益的资产组合，还有高风险但收益诱人的资产组合。资产组合经理人如何从这无限多的马柯维茨有效组合中选出一个来呢？资产组合经理人可以根据直觉、个人偏好或经验来选择。或者，经济理论提供了一种科学的方法来帮助风险决策。,效用理论概述 在经济学中，效用（utility）意思是快乐。经济学的效用理论假设每个人都要寻求最大化他或她个人的效用（快乐）。经济学家用效用理论分析决策的制定。经济学假设效用随财富的增长而增加。人们可以用他们的财富来获得衣服、汽车、实物、健康医疗、旅游、慈善帮助、体面、为退休储蓄，购买可以帮助他们获得精神上的安宁和任何可以提升他们效用的环境。虽然是这些消费物品和服务不是现金本身带来了快乐，但经济学只关注金钱，因为消费的物品有不同的优点、缺点，而且价格也不同。但是，金钱是最一般的衡量物。经济学家并不想弄清楚一个人吃了一个苹果比吃了一个梨能多多少单位快乐。经济学家仅仅假设人们愿意有更多的财富，而且他们可以将钱花到任何他们想花的地方来最大化他们的效用（快乐）。,由于一个价值1000美元的投资可以提供与钱包中1000美元同样多的效用，所以金融经济学家可以只关注投资的市场价格或现金。随着时间的变动，投资的财富的市场价值会由于持有期内收益率的波动而变化。公式14-12表示的持有期收益与债券、股票、和前几章中提到的其他投资的一期收益率没有什么不同。r=(WT WB)/WB(14-12)WT表示投资者的期末（最终）财富，WB表示期初财富。,概括一下我们所说的效用理论：效用是消费商品的正函数（用f表示）。由于消费品是用金钱购买的，因此消费是财富的正函数（用g表示）。财富随投资收益率的上升/下降而上升/下降，因此，财富是投资收益的正函数。,下面的公式表述了经济学家定义的投资者的快乐。效用=f（消费）(14-13)=f g(财富)因为消费=g(财富)(14-13a)=f g(h(收益率)因为财富=h(收益率)(14-13b)在公式中，f,g,h都是递增函数。,上述的三个公式表明了对投资者来说，正的收益是如何带来效用（快乐）的，负的收益是如何降低效用的（不快乐）。在没有不确定性的世界里，投资者可以通过选择有最高收益的资产来最大化他们的效用。但在现实世界中，一项投资的收益事先是无法知道的：未来包含有不确定性。而且，投资收益是有风险的。不确定性使得投资决策更为复杂。在现实的不确定的世界中，投资者必须从他们的风险投资中最大化他们的期望效用（expected utility）。,假设理性投资者是风险规避型的，风险会降低效用。理性的人只有在期望的高收益（风险溢价）能够补偿他们的风险暴露时才会投资于风险资产。公式14-14表示了经济学家人为定义的投资者最大化他们期望收益的方式：最大化：EU(r)=FE(r),(14-14)公式14-14说明了：在一个不确定的世界，投资者可以通过关注投资的期望收益和标准差（风险）（的一些函数，F）来最大化他们投资带来的期望效用。,-E(r)空间的无差异曲线图14-8到14-12表示的是四簇无差异曲线，代表四个不同投资者的-E(r)偏好。无差异曲线(indifference curve)有时也称为效用等量曲线（utility isoquants），因为在任意一条无差异曲线上人们都有同样水平的快乐感。因此，在一条给定的无差异曲线上的人在每一点上都是无差异的（同样快乐）。随着如式14-15中期望效用水平的变化，公式14-14可以用一簇无差异曲线表示。EU(r)1 EU(r)2 EU(r)3 EU(r)4(14-15),用数值代入式14-15。假设EU(r)1表示一个由一项或多项投资组成的资产组合，能为投资者带来1效用单位的快乐，EU(r)2表示第二个资产组合可以为投资者带来2效用单位的快乐，EU(r)3是第三个组合，提供3效用单位的快乐，EU(r)4是第四个组合，带来4效用单位的快乐的投资。从这些数字中，我们可以知道第一项投资比第二项投资给投资者带来的快乐少，因为其产生的效用低，第二项投资比第三项投资给投资者带来的快乐少，第三项比第四项少。准确的效用数值是主观加上的数字，