椭圆的简单几何性质3.doc

回归定义巧妙证题 河北正定中学 赵建勋椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下：例1 已知P（x0,y0）是椭圆（ab0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（ar）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证.例2 设P是椭圆（ab0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e证明 P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中, 由2，得|PF1|·|PF2|=2(a2c2) 由和，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2(a2c2)=0的两根，则=4a28(a2c2)0,()2，即e.例3 P为椭圆（ab0）上的点，F1、F2是椭圆的焦点，e为离心率.若PF1F2=，PF2F1=，求证：证明 由椭圆定义，知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c由正弦定理，得|PF1|=2Rsin,|PF2|=2Rsin，|F1F2|=2Rsin(+)例4 P是椭圆（ab0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且F1PF2=.求证：PF1F2的面积为证明 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c.在PF1F2中，由余弦定理，得2