求数列的通项.doc

数列通项公式的常见求法一.公式法当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1.等差数列公式例1.已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10,求数列an的通项公式；解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 2.等比数列公式例2.设是公比为正数的等比数列，,求的通项公式解:设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此所以的通项为3.通用公式若已知数列的前项和的表达式，求数列的通项可用公式 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3.已知数列的前n项和，求的通项公式。解：，当时 由于不适合于此等式 。 4.归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例4.已知数列中，求数列的通项公式.【解析】：，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、累加法. 形如型（累加法）其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例5.已知数列an满足,证明证明：由已知得： = .例6数列的首项为，为等差数列且若则，则（ ） A0 B3 C8 D11例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：（1）由题知： 2累乘法 形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8在数列中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以3待定系数法、形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出A例9已知数列中，求通项.分析：待定系数法构造构造新的等比数列。解：由设,解出A=-1,则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 例10.已知数列满足，且，求解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列练习：1.若数列中，,求通项公式。答案：2.若数列中，,求通项公式。答案：3.数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。解：由得设a，比较系数得解得是以为公比，以为首项的等比数列对于这种形式,一般我们讨论两种情况：(i).当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。例11.设数列中，求的通项公式。解：设 与原式比较系数得： 即 令 例12.在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：，故.练习：1、已知数列中，求通项公式答案：(ii)当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为（A、B、C为常数，）型，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求例13.设为常数，且（），证明：对任意n1，解：证明：设 用代入可得 是公比为，首项为的等比数列， （），即：注：若递推公式为（其中、为常数，）型，此类型题需把原递推公式两边同除以得，从而可引入辅助数列且，则原递推公式可化为，从而利用形如,其中)型（构造新的等比数列.例14已知数列满足，求解：在原不等式两边同除以得：不妨引入辅助数列且 则故即数列是以1为首项、以为公比的等比数列，故有 则例15.在数列中，其中求数列的通项公式；解：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为例16. 在数列中，且求通项公式解：由得 .设，则b. 即：,所以是首项为，公比为的等比数列.则=,即：,故评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.练习：1、已知数列中，求通项公式。答案：2、已知数列中，求通项公式。答案：.型，可化为的形式.例17. 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.4.取对数 若递推公式为型，其中且，数列是正项数列；解此种类型数列，必须对等式两边同时取对数得，从而化为，可知数列是首项为、公比为的等比数列。例18.已知数列满足， ，求解：在等式两边取常用对数得 ， 即所以数列是以为首项，以2 为公比的等比数列，故练习1.已知数列满足 ，求【答案】；5.倒数法 一般地形如，等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式.例19.已知数列满足：，求的通项公式。 解：原式两边取倒数得： 即例20.在数列中，并且对任意都有成立，令求数列的通项公式 解：（1）当n=1时，,当时，由 ，等式两边取倒数得：所以所以数列是首项为3，公差为1的等差数列练习1.已知数列满足： 求数列的通项公式；解：将条件变为：为一个等比例数，其首项为从而据此得6.形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例21. 数列满足,求数列an的通项公式.分析 1：构造 转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列. 评注：结果要还原成n的表达式.练习1.已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案 7.形如型（1）若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例22. 已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.8.特征方程法（形如是常数）的数列） 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例23已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例24已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 9不动点法（形如的数列） 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得此方法又称不动点法例25已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例26已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，第11页（共12页） 第12页（共12页）