《二次根式》导学案.doc

广汉市西高镇学校 八年级（下）数学第十六章二次根式导学案 2014年2月制八年级数学（下）第十六章二次根式导学 案班级： 姓名： 学号： 课题：16.1二次根式（1）学习目标：1、了解二次根式的意义；2、掌握二次根式的基本性质，并会用二次根式的性质进行简单的二次根式的化简；3、会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。学习重点：二次根式的概念及意义。学习难点：二次根式的判断与字母取值范围的确定。一、自主学习 感受新知【思考】用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？面积为3的正方形的边长为 ；面积为S的正方形的边长为 ；一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为 m要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池,它的半径为 m(取3.14)；一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t，（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系。如果用含有h的式子表示t, 则t= .在上面的问题中，结果分别是 ，它们都是表示分别表示正数3，S，2，65,2,的 . 我们知道：一个正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内， 数没有平方根。因此，在数范围内开平方时，被开方数只能是 或 。【归纳】一般地，我们把形如 （ ） 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号【注意】二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是的形式；2、被开方数必须是 。二、自主交流 探究新知【探究】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？练习：1、要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽的比为3:2,它的长、宽各应取多少？2、当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1） （2）（3） （4）三、自主应用 巩固新知【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、（x0，y0）【例2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 【例3】已知y=+5，求的值若+=0，求a2012+b2012的值四、课后作业 1、下列各式中，-2， (a<0)，是二次根式的是 。2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 3、已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值教学后记：课题：16.1二次根式（2）学习目标：1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；2、经历探索（）2=a（a0）的过程，培养分类的数学思想。学习重点：二次根式的性质及运用。学习难点：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。一、自主学习 感受新知当a>0时，表示a的 ，因此， 0；当a=0时，表示0的 ，因此，= ；这就是说，当a0时，0，即（ a0）总是一个 数。若+有意义，则x= ; =_使式子有意义的未知数x有（ ）个A0 B1 C2 D无数二、自主交流 探究新知【探究】根据算术平方根的意义填空：（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_根据以上结果，你能发现什么规律？【归纳】二次根式的性质：一般地， （）2= a （a0）三、自主应用 巩固新知【例1】计算：（）2 （3）2 （）2 （）2练习：计算：（1） （2）【例2】计算：（）2（x0） （）2 （）2 （）2【例3】在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3四、课后作业 1计算（1）（）2 （2）（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2把下列非负数写成一个数的平方的形式:5 3.4 x（x0）3已知+=0，求xy的值4在实数范围内分解下列因式:x2-2 x4-9 3x2-5课题：16.1二次根式（3）学习目标：1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；2、经历探索2=|a|的过程，培养分类的数学思想。学习重点：二次根式的性质及运用。学习难点：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。一、自主学习 感受新知形如 的式子叫做二次根式；（a0）是一个 数；()2 二、自主交流 探究新知【探究】计算： 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 计算： ; ; ; 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 。 计算： ；当 【归纳】二次根式的性质：三、自主应用 巩固新知【例1】化简：（1） （2） （3） （4）【例2】求下列各式的值。 【例3】实数a、b在数轴上的位置如图：. . . . . . . .-1 0 1a b化简回顾我们学过的式子，如它们都是用基本的运算符号代数式：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式。【练习】说出下列各式的值（1） （2） （3） （4）四、课后作业 1、如果，那么x的取值范围是 。2、若1<x<2，则的值为 。3、若代数式的值是一个常数2，则a的取值范围是 。4、已知，求代数式的值。5、已知，化简：。教学后记：课题：16.2二次根式的乘法学习目标: 1、理解·（a0，b0），=·（a0，b0），并利用它们进行计算和化简2、由具体数据，发现规律，导出·（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a0，b0）并运用它进行解题和化简学习重点:二次根式的乘法运算和化简学习难点: 二次根式的乘法运算公式的双向使用。一、自主探究 学习新知【探究】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？1填空（1）×=_，=_；（2）×=_，=_（3）×=_，=_参考上面的结果，用“>、<或”填空 × _ ，×_，×_【猜想】· （a0，b0）【归纳】一般地，二次根式的乘法法则是： ( a 0 ，b 0 )这就是说：两个二次根式相乘，用被开方数的积作积的被开方数。【注意】a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。反过来也成立： ( a 0 ，b 0 )这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。二、自主应用 巩固新知【例1】计算：（1） （2）× （3）× （4） 解：【例2】化简（1） （2） （3）（4） （5） （6）【例3】计算：（1） （2） （3）【例4】计算： (x>0，y>0)课堂练习：1、计算：（1） （2） （3） （4）2、化简（1） （2） （3） （4）3、一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积。四、课后作业 1、计算：（1） （2） （3） （4）2、若，则x的取值范围是 。3、自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_4、已知：，求的值。教学后记：课题：16.2二次根式的除法（1）学习目标:1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次根式的概念。2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。学习重点: 二次根式的除法运算和化简。学习难点: 二次根式的除法运算公式的双向使用。一、自主学习 感受新知【问题1】二次根式乘法法则是 （用公式表示）；完成下列填空：1、 ； 。2、若，则a ；b 。二次根式可以进行乘法运算，能否进行二次根式的除法运算？【问题2】已知一个三角形的面积为，一条边长为，求这条边上的高？二、自主交流 探究新知【探究】1、计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？（1）=_，=_；（2）=_，=_；【猜想】二次根式的除法法则：一般地，二次根式的除法法则是：= （a0，b>0），这就是说：两个二次根式相除，用被开方数的商作商的被开方数。反过来，= （a0，b>0）也成立。利用它可以进行二次根式的化简。【注意】二次根式的乘法与除法公式中b的取值范围不同，你知道为什么吗？三、自主应用 巩固新知【例1】计算：（1） （2） （3） （4）解：【例2】化简：（1） （2） （3） （4）解：【说明】1、在上面的解法中，目的是去掉分母中的根号； 2、在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。练习：计算：（1） （2） （3） （4）解：【定义】最简二次根式：如果二次根式有如下两个特点：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。【例3】判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？； ； ； ； ； ； 解：练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1） （2） （3） （4）解：课题：16.2二次根式的除法（2）学习目标: 1、使学生进一步理解二次根式的乘除运算法则，并能运用它们进行有关二次根式的计算与化简；2、使学生进一步掌握最简二次根式的特征，能将二次根式化为最简二次根式。学习重点: 二次根式的乘除运算。学习难点: 运用二次根式的性质进行二次根式的化简。一、自主学习 感受新知1、计算：（1）， （2）， （3）2、计算：(1) ； (2) ； (3) 【思考】最简二次根式满足的条件？观察上面各小题的最后结果，比如，等，可以发现这些这式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。例：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a , b.已知S=课堂练习：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a , b.已知S=二、自主交流 探究新知【探究】观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-，同理可得：=-，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+）（+1）的值【分析】由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：三、自主应用 巩固新知【例1】已知a为实数，化简：- a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：a=aa·=（a1）解：【例2】若x、y为实数，且y=，求的值。四、课后作业 1、计算：（1） （2） （3） （4）2、化简：（1） （2） （3） （4）3、化简：（1） （2） （3） （4） （5） （6）4、根据下列条件求代数式的值：（1）a = 1, b = 10, c = 15（2）a = 2, b = 8, c = 55、计算（1） （2） （3） （4）教学后记：课题：16.3二次根式的加减（1）学习目标: 1、能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤。2、通过实际实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧。3、通过二次根式的加减法与整式的加减法比较，感受知识之间的迁移与联系。学习重点: 二次根式的加减法。学习难点: 找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）。一、自主学习 感受新知【问题1】计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x2 3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2 2a2+a37.5dm5dm【问题2】现有一块长为7.5dm，宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？二、自主交流 探究新知【探究1】计算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+【总结】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并（二次根式的加减类似于合并同类项的运算）【探究2】把下列各根式化简。311(8) 45(7) 32(6) 21)5(50(4) 18(3) 48(2) 12)1(【归纳】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.【练习】下列各式中，哪些是同类二次根式？【归纳】进行二次根式加减运算时，首先要正确识别同类二次根式。关键是准确的化成最简二次根式，然后观察被开方数是否相同。三、自主应用 巩固新知【例1】计算：（1） （2） （3）【例2】计算：（1）3-6+2 （2）（+）+（-）【例3】已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2- 5x）的值课堂练习：1、下列计算是不否正确？为什么？（1）（2）（3）2、计算：（1） （2）（3） （4）d3、如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12,求圆环的宽度d（取3.14，结果保留小数点后两位）四、课后作业 1、下列计算是否正确？为什么？（1） （2）（3） （4）2、计算：（1） （2）（3） （4）3、计算：（1） （2）（3） （4）4、已知的近似值（结果保留小数点后两位）ABC5、已知如图，在RtABC中，C=900，CB=CA=a，求AB的长。（提示：作出AB边上的高，借助ABC的面积求解）教学后记：课题：16.3二次根式的加减（2）学习目标: 1、进一步熟练掌握二次根式的加减运算，并能运用它解决实际问题。2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。学习重点: 二次根式的加减法。学习难点: 找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）。一、自主学习 感受新知【问题1】下列运算错在哪里？如何改正？ 【问题2】计算 二、自主交流 探究新知【探究】如图所示的RtABC中，B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示）三、自主应用 巩固新知【例1】若最简根式与根式是同类二次根式（或化简后能合并），求a、b的值【分析】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：课题：16.3二次根式的加减（3）学习目标：1、熟练地进行二次根式的混合运算，乘法公式在二次根式运算中的运用；2、通过二次根式混合运算，进一步掌握二次根式的几种运算及其运算技巧；3、通过对二次根式混合运算的学习，并与四则混合运算及整式的混合运算进行比较，理解知识间的相互关系。学习重点：二次根式的混合运算。学习难点：二次根式运算的应用。一、自主学习 感受新知请同学们完成下列各题:1计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2计算（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2 +（2x-1）2二、自主交流 探究新知【探究】如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式【例1】计算:（1）（+）× （2）（4-3）÷2【例2】计算:（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）课堂练习：书P14练习题1、2三、自主应用 巩固新知【例3】、计算： 【例4】当x=+，y=-，求x2-xy+y2的值。【知识拓展】 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A与 B与C与 D与 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式 练习：+的有理化因式是_； x 的有理化因式是_ 的有理化因式是_3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习：把下列各式的分母有理化（1）； （2）； （3）； （4）课后作业：1、 计算（1） （2）（3）（ （4）2、已知，求下列各式的值；（1） （2）3、已知，求的值。4、在下列方程的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解；（1）（2）教学后记：课题：二次根式小结与复习（1）学习目标：1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算学习重点：含二次根式的式子的混合运算学习难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子知识点1、二次根式的意义一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是的形式；2、被开方数必须是非负数。练习一1、式子中，是二次根式的是 。2、当a 时，是二次根式。3、若式子有意义，则x的取值范围是 。4、使式子有意义且取得最小值的a的取值是 ，的最小值是 。知识点二、二次根式的性质× ( a0 ，b0)=（a0，b>0）练习二1、化简：= = = 2、若，则xy= 。3、分解因式：x2-3= 2x3-10x= 4、化简：= 知识点三、最简二次根式满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。练习三1、在根式中，最简二次根式是 。2、若为最简二次根式，则m= ，n= 。3、化简：= ，= ，= ，= 。知识点四、二次根式的乘除法1、二次根式的乘法：×( a0 ，b0)2、二次根式的除法：=（a0，b>0）练习四 计算1、= 2、= 3、= 3、= 知识点五、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并练习五1、下列二次根式中，能与合并的是【 】A、B、C、D、2、若x+y=3+2，x-y=3-2，则的值为 。3、计算：课题：二次根式小结与复习（2）学习目标：1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算学习重点：含二次根式的式子的混合运算学习难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子学习过程：1、要使二次根式有意义，x应满足的条件是 。2、下列二次根式中属于最简二次根式的是【 】A、B、C、D、3、下列计算正确的是【 】A、B、C、D、4、估计的运算结果应在【 】A、6到7之间B、7到8之间C、8到9之间D、9到10之间5、已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是【 】A、5B、6C、7D、86、方程的解是 。7、把根号外的因式移入根号内，得 。8、已知2<x<4，化简= 。9、计算： ，= 。10、的绝对值是 ，倒数是 。11、观察下列各式：，请你将发现的规律用含自然数n的等式表示出来是 。12、计算： 13、已知x=2-，试求x2-4x+3的值。14、有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a，并且mm=，则将a±变成m2+n2±2mn=（m+n）2开方，从而使得化简。例如：化简解：=1+仿照上例化简下列各式：15、观察下列等式：=解答下列问题：利用你观察到的规律化简：计算：（+）（）教学后记：27