相似形的玄机 论文.docx

相似形的玄机摘要：有关相似三角形的综合探究是中考的一个难点，学生对复杂的综合性的相似问题不能很好的把握其特点，有时无从下手，其实，不同的相似三角形图形间存在着奇妙的联系，复杂相似图形内暗藏玄机，本文将重点探究复杂相似三角形图形内的奥秘，使学生深入了解相似图形间的本质关系，体会图形间的联系和变换，帮助他们学会从复杂图形中寻求基本简单的相似图形,从而将复杂问题简单化。关键词：中考，相似，奥秘，变式，综合解题能力引言相似三角形的判定和性质在中考中多以解答题为主，题目综合性较强，常结合几何图形的旋转、动态变化，以及存在性问题等进行考查，是中考热点、难点。为了使学生遇到这样复杂的几何图形问题，能够有条理的分析问题，将复杂问题抽象并转化成常见的几何图形，灵活运用所学知识解决综合性较强的相似图形问题，提高综合解题的能力，我们需要和学生一起探究相似图形间的奥秘，挖掘复杂相似图形内的玄机，并尝试利用探究所得解决一些复杂的几何图形问题。一、整理归纳为了让学生由浅入深的系统的理解相似，首先将常见的相似三角形的基本图形整理出来，常见的基本相似图形可归纳出七种，归纳如下：5.双垂图DBAC±BC,CD±AB6.（双垂图）拓展型Aee1.iBZBCD=ZA或NACD=NB7.一线三角”型DrCEZD=ZACB=ZE二、探究奥秘好的数学题目是训练学生思维的重要素材，也是教师训练学生数学的思想方法以及分析问题和解决问题的技能技巧的载体，所以本文将以问题为载体，通过把图形变形和变换，形成一组由易到难、层层递进、步步深入的变式问题,主要运用“从特殊到一般，再从一般到特殊”等方法重点探究第(5)、(6)、(7)三种基本相似图形间的奥秘，使学生发现不同相似形问题间的共同和不同以及它们之间的巧妙联系，减少对一向会使人糊涂的复杂图形的畏惧,提高对其探究的兴趣，系统掌握各种相似形之间的联系。1 .基本相似图形-双垂图如图1,CD是RtBC斜边AB上的高，指出图中相似的三角形，并写出含有比例中项的对应边的比。解：VAC±BC,CD±AB,ZBCD=ZA,ZACD=ZBBCDZBAC,ZXACDZABC,BDC-CDA由aBCDZXBAC巴二丝ABC2=BDxAB得ACD-ABC=AC2=AD×AB由aBDC ZCDACD2=BD×ADACD=ZB,从而得到每一条直角边都是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，这也是被删去的射影定理的结论，但是在初中，学生可以利用相似证出，并了解结论。2 .（双垂图）拓展型（把特殊条件一般化）如图2.在aABC中（1）若NBCD=NA,写出相似三角形及含有比例中项的线段的比；（2）若NACD=NB,写出相似三角形及含有比例中项的线段的比；解：（1）VZBCD=ZA,BCD-BAC,BC2=BD×B3 2）ZACD=ZB,ACD-ABC,.*.AC2=AD×AB注：当把问题一般化时，发现:在AABC中，当NBCD=NA或ZACD=ZB,仍然可以得到BC2=BD×AB或AC2=ADXAB,利用这样的结论和经验可以很容易的证出相关的相似问题。4 .“一线三角”型（把图形旋转变换）在双垂图图1中，已证得RtADC-RtCDB,现在把RtADC和RtBDC绕着点C旋转使得两条线段CD在同一条直线上，如图3所示，把点D换成点E如图4所示。（1）在图4中，RtADC和RtCEB还相似吗？ZACB等于多少度？（2）如果保持NADoNBEC=NACB,但不再等于90°,如图5,那么ADC和aCEB还相似吗？AB(3)如果点C是DE的中点，连接AB,如图6,还能得哪些三角形相似?A解：(1)旋转不改变图形形状和大小，旋转前是相似的，旋转后也相似。.ZACD和NBCE互余，又因为点D,C,E共线，所以NACB=90°并且得到：NADoNBEC二NACB=90°(2) VZACE是aADC的一个外角，,NACE=NADC+NDAC,YZADC=ZACb,ZDAC=ZBCe,ADC-CEB(3) VADC-CEBAO=AC，又丁点C是DE的中点，,CE=DE'AD=fXvzadc=Zacb,adc-acb,acb-adc-ceb三、实践提升引导学生归纳了一些基本相似的类型，并使学生感受到了这几种基本相似型间的奇妙联系，再从这些基本相似型出发进行变形，拓展，利用一组相关的复杂例题，引导学生在实践中学会寻找复杂图形内的基本简单相似型，用数学的思维方式将复杂问题简单化，使学生在具有挑战性的综合题目中训练出优秀的思维品质，促进学生形成数学基本思想、方法和态度所构成的认知体系，系统的掌握并提升解决有关相似的综合问题的能力。1.训练学生的逆向思维，变换图形，提高学生在变换后的图形中敏锐发现熟悉的基本相似图形，将复杂问题简单化的能力。例1.在aABC中，已知CA=CB=6,点D为AB边上的一点，且BD=4,AD=5,(1)如图1,求证NBCD=NAC(2)如图2,将aCAD沿CD翻折得DCA,交BC于点E,EA的长解：（1）BA=BD+AD=4+5=9, 丁 BC2 =36, BD X BA=36, BC2 =BD X BA BC =BD,又. ZB=ZB BCD-BC ZBCD=ZA(2)方法一、VCA=CB, ZA=ZB,由翻折知:DACDDACD,DA=DACA,=CA=DA=DA=5DEBEBD 4 2QE）A=D3,DCEA=DDEBDAEC:DBED则设EA=3UBE=2x;CE=3y,DE=2y由BC=6,得2x+3y=6;DA=,得3x+2y=5rh_3解方程组得X3yEA=z9注：方法一就是从复杂的图形中提取I：一这个常规的“蝴蝶”型相似利用相似比设未知数列方程解得。方法二、由知ZXBCDABAC8=8C'=ACBC=4由（1）知NBCD=NA,又DA=DDBCODDCE.DDACC2=DEDADEFD?16DEA-16o0E=-一注：方法二就是从复杂的图形中提TXvr这个常规的“双垂图拓展”型相似，得到线段CD是线段DE和DA,的比例中项求出结果。2.将“双垂图拓展”型和“一线三角”型相似结合等腰、直角三角形，变形拓展成一种动态图形来考查例2.如图，在aABC中，已知CA=CB=5,点D为AB边上的一点（不与A、B重合），DE交BC于点E,且NCDE=NA,CoSA=4（1）写出图中相似的三角形（2）求线段BE长的最大值，并求此时aCDE的面（3）当ADEB为直角三角形时，求AD的长（4）是否存在点D使ACDE为等腰三角形，如果存在，请求出AD的长;如果不存在，请说明理由解：（1）CDECBD,ACD-BDE注：这里蕴含着这个常规的“双垂图拓展”型相似和，：这个“一线三角”型的相似。（2）分析：因为点D在AB上是一个不定点，点D在不同的位置就会导致BE的长不同，动态的图形决定着这里存在变量，求BE长的最大值，可以设BE的长是因变量，观察BE的长随着那条线段长的变化而变化，那条线段的长便可以设成自变量，利用图形中存在的关系列出等量关系式，可以得到一个函数关系式，到时根据自变量的范围只需求函数的最大值就可以求出线段长的最大值，即可利用代数中函数的知识解决动态的几何问题。4=4,CM=3（2）过点C作CM1.AB于M,如即在RtCAM中,COSA=.AM=ACXcA=sX方法一、设BE=y,AD=x,TCA=CB,工AM=MB,'AB=8,则BD=8-/ACD-BDE,BEBDBE=ADBD160VxV8.日函数的图象开口向下16当=4.V有曷十值.V的晶大俏方法二、¾CE=y,CD=x,VCDE-CBD,CD2=CEXCBCEC2y根据“直线外一点与直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知：当CD1.AB,即当点D与点M重合时，CD最短3x<5,此时y随着X的增大而增大当x=3时，y有最小值，y的最小值9J线段BE长的最大值5-9= 16 一 、，一下面来求当BE的长最大时，CDE的面积当BE 的长最大时，此时 CD±AB, VCDE-CBD, ZCED=ZCDB =90°J DE2 =CEXBE, DE= 12 ,工S= 1 CE×DE= 54注：这里蕴含了。这个基本的双垂图形式，另外在求DE长时还可以在直角三角形里利用三角函数，勾股定理来求。(3)VZB=ZA,ZB90o,工只能是NDEB=90°或NEDB=90。当NDEB=90°时,由(2)知此时CD±ABADM当NEDB=90°时，由(1)知AACD2BDEZEDb=ZACD,ZACD=90o在RtACD COSA =AC,AD _ AC =25综上所述：当ADEB为直角三角形时，AD的长为4或254(4)存在，此时AD的长为3或398VZCED是aBDE的一个外角，ZCED>ZBZCED>ZCDE,CECD,只能是DC=DE或EC=ED当DC=DE时，ZDCE=ZCEdXvzced=Zcdb,zdce=zcdb,bd=bc=5,ad=3当EC=ED时，ZECD=ZCDE=ZA,ZECD=ZA,bcd-bac，BC2=BD×BA,BD=fiC2=25,AD综上所述：存在点D使4CDE为等腰三角形，且AD的长为3或398注：在这里也蕴含了NN这种基本相似，另外当EC=ED时，也可从证两个等腰三角形ABCD和aBAC相似求出AD的长，对于两个等腰三角形只要知道一对底角相等或一对顶角相等或腰与底边对应成比例，则两等腰三角形相似。注：(3)、(4)两问结合相似考查了分类讨论的数学思想方法，分类的原则是应选定一个标准进行分类，分类的结果即不能重复也不能遗漏任何一种情况。3 .把“双垂图的拓展”型相似结合中点、平行及平行四边形的性质知识考查例3.如图1,在四边形ABCD中，NABC=NBCD,点E在边BC.±,且AECD,DEAB,作CF/AD交线段AE于点F,连接BF.(1)求证:ABFEAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,NECF=NAED,求BE的长；图1图2图3(3)方法一、解：DEAB且点M是AD的中点，延长ED,BM交于点N易证出ADN=AB由(1)知4ABFgEAD,.AB=AE,AF=ED=DC又.nabonbcd,abedecB旦ABDN/.CE=DE=DE又.NE"AB,ABFENF,设AF=x,AB=y,则EF=y-,NE=x+yNEEFX+yy-XyrBE则AB=,即=X,X=Y2+1ce=2+1AC«.方法二、由（1）知aABFgEAD,得NABF=NEAD,ABMBBEABABMBMAFcz5MBA,AF=MA.CE=DE=AF=M设AM=x,BM=y,贝IJAD=BF=2x,贝IJ由AM2=MFXMB得6以）乂乂解得1二"2+1,CE=52+1,同时也搜索出“Z注：在第（3）问中，方法一根据中点和平行构造“Z型”全AA-型”相似，通过把线段设成数据，根据相似比求出答案。方法二由全等发现“（双垂图）拓展型”得到AM2=MFXMB,也是通过设求出答案。4 .把“一线三角”型的相似结合旋转、等腰三角形、勾股定理、面积计算等知识考查。例4.ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作NMDN=NB（1）如图1当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与aADE相似的三角形.（2）如图2,将NMDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形.图2备用图解：（1）图中与4ADE相似的有4ABD,ACD,DCE.注：根据等腰三角形的性质得AD±BC,再由条件得这个“双垂图拓展”型相似.(2)BDFCEDDEF注：这里蕴含一；，这个“一线三角”型相似，且点D又是BC的中点,以是我们探究的问题3的内容。(3)连接AD,过D点作DG1.EF,DH1.BF,垂足分别为G,H.VB=C,D 是 BC 的中点，AD_1.BC, 1 BC=6.在RtBD 中，D2=B2 - BD2, AD=8 1 1 .*. Sabc=-BC × AD=48, Sdef= Sabc= 12,8624bd=b×dh,dh=HHHHIVBDFDEF, ZDFB=ZEFD = 10VDG± EF, DH±BF, DG=DH=245VS=1 EFXDG=I2,EF=5四、反思相似的情况不止这些，但是把这些相关的相似归纳起来，学生经过这样的探究和一步步的变式训练之后，他们至少在遇到类似的相似时多数都会知道从那入手，当然也要避免学生的思维定势，所以对题目的变式，不能停留在“变”的形式上，更应该追求变得有“质”，因此在进行题目的变式时应注意：一方面要突出一个“变”字，变式题与原题之间应有明显的差异，要使学生对每道变式题既感到熟悉又觉得新奇，要努力使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，真正体现变中求“新”，变中求“异”。另一方面要注意一个“度”字，变式题要有一定的难度，才能调动学生积极思考，才能对学生有挑战性，同时也能让优秀的学生脱颖而出，问题也要贴近学生思维水平的最近发展区，要让学生经过思考和努力能够跨过一个个“门槛”，让学生在积极探究后感受到成功的喜悦和快乐。最后要体现一个“宽”字，同样好的变式问题一定要内涵丰富，境界开阔，同时也要给学生留下广阔的思维空间。在每年的数学中考试卷里都有一些难度较大的压轴题，细心观察会发现很多题目有惊人的类似、内在的联系，如果在日常教学中我们都能将这些题目进行归类整合组成一组组变式题，让学生在归纳整理的变式题中由浅入深系统的了解并掌握了知识，那么相信他们即使是遇到综合性的题目也能找到解决的办法，提高了教学的效率，同时也会减轻老师和学生的负担。参考文献著作类1高峰官：学习评价问题诊断与解决，东北师范大学出版社2015年版，第135页。文章类2中考数学研究课题组：中考备战策略，甘肃少年儿童出版社,第15页3乔建准：课时作业本，海峡出版发行集团，第139-140页4福州中考数学试卷,2015年5万唯教育«2016中考数学面对面，新疆青少年出版社，第108页62021安徽中考数学第23题