玩转一元二次函数图象 巧解一元二次方程根的分布问题 论文.docx

玩转一元二次函数图象巧解一元二次方程根的分布问题【摘要】：在高中数学的学习中，数形结合的思想方法是解决数学问题的一种重要方法，本文主要针对高中数学中有关一元二次方程根的分布问题给出详细的解决方法，解决一元二次方程根的分布问题要借助于其对应的一元二次函数的图像，根据一元二次方程根的分布情况找到其对应的一元二次函数的零点的分布情况，再画出对应的一元二次函数的图象，此时需要应用现代信息技术手段，画出并展示出对应一元二次函数的图象，利用数形结合的思想，找到对应情况的充要条件，列出不等式（组），解出不等式（组），从而使一元二次方程根的分布问题得到解决。【关键词】：一元二次方程根的分布，一元二次函数图象，数形结合，现代教育技术的应用。【正文】：数形结合是解决高中数学问题的一种重要思想方法，而解决一元二次方程根的分布问题就需要用到数形结合的思想，下面我们具体来看下一元二次方程根的分布问题应如何快速解决。设方程0r2+Zr+c=0（4,0,/>0）有不相等的两根为Xi,必且x<T2,相应的二次函数为Tu）=G2+加+c,方程的根即为二次函数的图象与X轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）.表1：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于OxI,0x20两个正根即两根都大于O（Xi>0,X2>0）一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0（xi<O<2）大致图象V/(Ao)X1J*20X得出的结论,0b,02.0r,0b,02.0r/0大致图象1.3<0)十02X得出的结论,0一2.0£,0b,02.0£/0综合结论（不讨论a）,0b,02a.0_f,0b,02,0_faf0表2：（两根与Z的大小比较）分布情况两根都小于k即x<kfX2<k两根都大于Z即X>k,X2>k一个根小于k,一个根大于左即X<k<X2大致图象人XJ一1.30)Ox<；X,HxIr得出的结论,0bk,2。,0,0bk,2。,0/0大致图象1HI1.AUvm<o)UT7T得出的结论,0bk,2a.0,0bk,2.0£/0综合结论（不讨论。）,0bk,2。,0_f,0bk,2a.0_fakb表3：（根在区间上的分布）分布情况两根都在7,n内两根有且仅有一根在my内（图象有两种情况，只画了一种）一根在犯内，另一根在（p,q）内，tn<n<p<q大致图象占X/1v30)omjznX01.x,斤元mjqX得出的结论,0ffi川b/0f,0/，。或/，。7,0/.07.0大致图象VvA一OXxJixO1.叫&hxXXfnpqx得出的结论,0ffi川n.bf0/。/，。或/，。f,Of.07.0综合结论（不讨论4）,0/，。bf0/,0/O根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间机,外，即在区间两侧x<m,X2>n,（图形分别如下）需满足的条件是(1) a>0/,°时，/0a<O/"时，/。对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(加，)内有以下特殊情况：(1)若五Z)=O或/()=o,则此时_/0)次)VO不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或小可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加,)内，从而可以求出参数的值.(2)方程有两个相等的根，且这个根在区间(加，)内，即/=0,此时由，=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.下面我们通过几个实例来加以讲解。例1.已知函数"=/+-2)x+-m.八rm(1)方程"=()的一根在区间(2,)内，另一根在区(3,)内，求实数m的取fC-A值范围；(2)方程加=()的两个不等根都在区间(1,+)上，求实数m的取值范围.fV【分析】(1)根据零点存在定理得到fOO且/()()<0,代入数据解得答案.0(2)根据题意得D>()且函数对称轴大于1,结合f()>0得到答案.到解：(1)根据零点存在定理：/()()<0且/OO<0,m-13即(÷)(m+)<0,且(3+)(.+)<,解得<.4.m52813280(2) fx=x2+-2)+-机两个不等根都在区间(1,+¥)上，C(mID=-2) -45.m)>o (W1.例2.已知方2+ + = 0 .(1)若方程的两根4、6满足a<<b,求实数的取值范围;(2)若方程的两个不相等的实数根都小于-1,求实数的取值范围.【分析】(1)结««b列不等式来求得的取值范围.合(2)结合方程/+=o的两个不相等的实数根都小于J来求得的取值范围.解：(1)设x=Y+2,(丫若方Xa 则。/+t+=0的两根a、b满足avvb,11)=+3+=3+<Pa<-.(2)AO=2+2,*xax方程/+v+=(j的两个不相等的实数根都小于-1,1D=d2-8>Off-1a1,解激<<3.<.n得.C=-a+>O12例3.设6为实数，若方7-(加+2=O的一个根在区间(0,1)内，另一13)个根在区间(1,2)内，求6的取值范围.【分析】设函数x()=7x2-(?+13)工-切-2,利用零点存在定理列不等式组，解出/77的范围.角举：设函数x()=7%2-(及+13)x-m-2.因为方程7X2-(?+13)x-"z-2=O的一个根在区间(OJ)内,另一个根在区间(1,2)内,1/()=-m-2>O1m<-2只需ii/()=-(w+13)-w-2<O解得：i,fm>-4,所以-4<<-2.i,i()=28-(/n+132-m-2>Oim<O即实数m的范围是(-4,2).例4.设函数x()=X2-3+m,其中例R.(1)函数f()在区间1,2上有唯一的零点，求m的取值范围;5(2)函数f在区间2,4上有两个零点，求m的取值范围.【分析】根据外函数性质：开口方向、判别式，讨论对称轴与给定区间的位置情况，结合区间零点个数列不等式组，求参数的取值范围.解：由题设，f×开口向上且对称轴为X=：,D=mD=O(1).SCC,W=O或?=时，/X在区间上有唯一零点；当,£2即4()当D>0,即“<0或加>时，要使"在1,2上有唯一的零点，只需4(1J(1)(2)=+2)(4-w)<0,解得或?>4；综上，?<-：或?=0或？4时W走1,2上有唯一的零点.(2)由题设D>0,即m<0或综上，A在2,4上有两个零点.例5.已知函数-fx=x2+2（+x+2m+6.八小1）(1)若方程外=()有两个正根.求?的取值范围；0(2)若函数f至少有一个大于-2的零点，求，的取值范围./【分析】(1)由判别D3O,两根之和大于，两根之积大于列不等式组，解不等式组即可求解；(2)分两种情况讨论：fx的两个零点一个大于-2,一个小于等于-2,(八()的两个零点均大于-2,由二次函数根的分布列不等式组即可求解.解:(1)设分=()的两根分别为a,2X,ID=4(/M+1)-42(ZW+6)3Om£-非或m小2由题意知：fx+X2=-2(+1)>0,即1m<-,1X不2=2ZM+>01im>-3所以-3<25,所以的取值范围为：-3VM£-5(2)若fx()的两个零点一个大于-2,一个小于等于-2,贝IJ/(-2)=-4(/72+)2+=-2zn<0,可得：m>3当/-(2)=0时,m=3f此时fx()=X2+8x+12=(J(X+6)不合题意,x()的两个零点均大于-2,则iD=Hf(-«42()in+1)22m-8<35或tnTi( z/j + 1 ) >-2.m<所以m£-5,综上所述，加的取值范围为(-¥.，5uufc(3,+¥).例6.己知关于X的二次方程X2+2mr+2m+=0.若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；【分析】把方程根的问题转化为抛物线与轴的交点问题，根据题意画出图像，判断函数X值得符号即可；解：(1)由题设知抛物线fM)=/+2皿+2/+与X轴1的交点分别在区间(1,0)和(1,2内，画出二次函数的示意图如图11所示.得1(0)=2w+<0i,U1m<-,故WEZfi1.cX½IHvd-fc-¾B-/C、，*¼Z-的两个根:(1)都大于1;(2)都小于1；(3)一个大于1,一个小于1。【分析】令二次函数f=X2-2(m-1.)x+119(11D=4(m-4(+3(),1)2m11)(1)根据题意可1>解不等式组即可得出答案;得i-f-2(m-1.1D=4(W-4(+3(),1)2m11)(2)根据题意可1<解不等式组即可得出答案;得i-2(m-'(3)根据题意可1iD=if4.4(w-1)2m+30,11)'解不等式组即可得出答案.得(D<0.解：，令二次函数2=x2-2(m-)x+11,(1)因为/(x)=O的两个实根均大于1,:.m的取值范围为577<14.(2)因为f(x)=0的两个实根均小于1,:.m的取值范围为77<-2.(3)因为f(x)=0的两个实数根，一个大于1,一个小于1,所以;y二乙解得，35或£-2½n>14:.m的取值范围为77>14.所以，解决好一元二次方程根的分布问题利用好一元二次函数的图象是关键,并要做好各种情况的分类讨论，做到不重复不遗漏！