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探究二次函数最值问题摘要：二次函数最值问题作为安徽中考必考的知识点，同时也是不少同学感觉得难点。难点在于构建函数模型，分析函数图像，解决实际问题，这里面最主要的就是体现了初中数学最主要的数形结合的思想。关键词：函数模型，函数性质，数形结合，最大值或者最小值。引言：本文首先从经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系，其次运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值，感受数学建模的思想和数学的应用价值。一、利用二次函数解决面积问题1.利用二次函数求最大面积例1小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化.(1)求S与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(2)当X是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？赏析：利用矩形面积公式就可确定二次函数.(1)矩形一边长为X,则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标.解：根据题意，得S=x=-x2+30x.自变量X的取值范围是0<x<30;(2)S=-x2+30x=-(x-15)2+225,因为a=-1.<0,所以S有最大值，即当X=15(米)时，S最大值是225(平方米).点评：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性.解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系.2.利用二次函数判断面积取值成立的条件例2用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为X米，面积为y平方米.(1)求y关于X的函数关系式；(2)当X为何值时，养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.蜷(的)荒藜忝曲簿距的男=逃校，,再利用箱形的辆凌薪怖修靛G(2)(2)通过已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断.解：(1.)y=x(16-x)=x2+16x(0<x<16)；(2)当y=60时，-2+16x=60,解得x1.=10,x2=6.所以当x=10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y=70时，-x2+16x=70,整理，得x216x÷70=0,由于=256-280=-24<0,因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场.方法二：当y=70时，-x2+16x=70,整理，得x2-16x+70=0,配方，得(一8)2=-6,因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场.1点评：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程.点评：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程.3.利用二次函数确定最大面积的条件例3现有一块矩形场地，如图所示，长为40m,宽为30m,要将这块地划分为四块倒痢描有葭雌/移蜘/哪戮，。峰蛆地，宽为3°m,要将这块地划分为四(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与6场地的长X之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当X是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？DBX之间赏析：这是花草种植面积的最优花河巅1树豌形的面积公式列出y与Pj费悌系魏才酬脚擅!楸律窟僦忠南健最兆假据矩形的面积公式列出解：(1)由题意知，6场地宽为(30才)如尸才(30力=一筮+30筋自变量X的取值范围为OVXV30；(2)y=-2÷30=-U-15)2+225,当X=I5m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225侬二.利用二次函数解决实际生活问题1 .在建筑问题中的应用22,+11 1a=1 y=-2, 当 y=-3 时， -2= -3,线为y=a,把点（2,2）代入，得一 为例1姐留擅=个鞭骊颜鳏遹购的獭轿,fe¾桀心顺礁桥洞的最最高点）离水面2米.水面下降1米时，水面的宽度为米.X=X敌答案为乂（点踊：曲的鼎微辘蜘楸嬷舸W通W曲墀骐是川建建春鱼傩IW瓶直角坐标系；（2）将实际问题中的数量转化为点的坐标；（3）设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；（4）利用函数解析式解决实际问题.2 .运动轨迹问题静9藁学梭粉三年缴T斓鼬班圈,¾,领釉甬瑜距20地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？赞桶i通是=个有趣的'贴近学生日常生活的鹿闸题,，*高高点（顶点）和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当X=I时函数y的值与最大摸高3.1米的大小.20MQm*1./1(0,776(4,4),3),其中3是抛物线的顶点.1设二次函数关系式为y=a(x+力”+h将点力、B的坐标代入，可得/=-(*4)29÷4.将点C的坐标代入上式，得左边=右边，即点C在抛物线上.所以此球一定能投中；(2)将x=1.代入函数关系式，得y=3.因为3.1>3,所以盖帽能获得成功.3.落点问题%9如擀匆选精索却摘产处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(4在y轴上)，起动员乙在'距。'点6米的6处发现球在自己头的正上方达到最高点机距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取，3=7)?(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前M多少米(取到厂6=5)?赏析：要求足球开始飞出匈1一次落地时，地物线的表般,则需要根据已知条件确定贯桥福魁挤前也森学嘲投陈=榔嚼幽寺游或点叫辆嬲脚和牛顶点财的坐标是(6,4).根据顶点式可求得抛物线关系式.因为点。在X轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y=0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点A他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长.求解的方法有多种.解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为尸a(-6)2+4,1由已知：当x=0时，y=1.即1.=36a+4,所以a=.1211所以函数表达式为y=(才-6)2+4或y=-xz+x+1.；1令y=0,则一（x6）2+4=O,所以（x6）2=48,所以x=45斗6-13,2=4«广6<0（舍去）.所以足球第一次落地距守门员约13米；（3）如图，第二次足球弹出后的距离为切，根据题意：GH哥'（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）.所以2=(x6)2+4,解得i=6-2xvr26+2、/所以CD=IXi2=452s10.所以劭=13-6+10=17(米).3罄问点评：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问数学问题；（2）应用有关函数的性质作答.三.二次函数与几何面积综合1.三角形面积最值例1如图，抛物线y=-x2+bx+c与X轴相交于4、B两点,交于曹济魏赞与点C的坐标与B（3,0）.C（0,3），点"是抛物分别为线的顶点.（1）求二次函数的关系式;OD= m,PCD的面积为S,(1)求S与勿的函数关系式，写出自变量m的取值范围.（2）点尸为线段的上一个动点，过点/PD1.X轴于D.若（2）当S取得最值时，求点尸的坐标;（3）在胸？上是否存在点EPCD为直角三角形？如果击在，请直接写出点尸的坐使如果不存在，请说明理由.标；赏析：赏析：（1）将点B,。的坐标代入y=-2+bx+c即可；（2）求出顶点坐标，直线.'监的解析式，由PD_1.X轴且OD=m知P（m-2m+6）,即可用含R的代数式表示出S；在和情况下，将S与m的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P的坐标；(3)分情况讨论，如图2-1,当NCPD=90。时，推出PD=CO=3,则点P纵坐标为3,即可写出点U坐标；如图2-2,当NPCD=90。时，证NPDC=NOCD,由锐角三函数可求出R的值，即可写出点坐标；当NPDC=90。时，不存在点P.解：将点B(3,0),C(0,3)代入y=-2+bx+c,得0=-9+3b+3C=a.二次函数的解析式为y=-x2÷2x÷3;(2)©/y=-2+2x+3=-(-1.)2+4,.顶点M(1,4),设直线BM的解析式为y=kx+b,将点B(3,0),M(1,4)代入，得3k+b=0k+b=4,解得k=-2b=6,，直线飒的解析式为y=-2x+6,PDj,x轴且OD=m,.,.P(m,-2m+6),.S=SAPCD=12PDOD=4-2m(-2m+6)=-m2+3m,即S=-m2+3m,，点P在线段BM上，且B(3,0),M(1.,4),1m3;.S=-m2+3m=-(m-32)2+9,v-1>0,二.当m=3时，S取最大屋，9_2/.P(32,3);m2= -3 + 近V(3)存在，理由如下：如图2-1,当NCPD=90。时，.NCOD=ODP=NCPD=90°,.四边形CODP为矩形，.PD=CO=3,将y=3代入直线y=-2x+6,得，X=3,：.P(32,3);如图2-2,当NPCD=90。时,VOC=3,0D=m,.CD2=OC2+OD2=9+m2,PD/OC,.,.NPDC=NOCD,.,.coszPDC=coszOCD,.PD=OC,DC2=PDOC,/.9+m2=3(-2m+6),解得，m=-3-3*舍去.P(-3+3助,12-6号当NPDC=90。时，VPD±X?11,不存在，综上所述，点P的坐标为(32,3)或(3÷32xf2-62).-V-v点评：本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值以及直角三角形的存在性与被朝吉余籁考解蟀春健臻检聘蜜哪驱魁峨桶阳及直角三角形的存在2.涉及圆的知识综合-X韶凰自知三恢翰数y=ax2+bx+2的阙象与X轴交于点B(TQ)，点轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；(2)连接AC,ABt若点N在线段BC上运动,不与点B,C重合，过点N作NM/AC,面积最大时，求N点的坐标；交力3于点M,当AMN(3)在(2)的结论下，若点0在第一象限，且tanCQN=2,线段BQ是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由.赏析：(1)由反。的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；2)：N(n,O),Jff1.n表AM示出AABN的面积，由NM/AC,可求得一则可用表示出AAMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时的值，即可求得A，点的坐标；(3)取点F(3-4),过点C.N、/作圆，E(I1.”58)为圆心，利用同圆等弦所对角相等，再根据已知条件点。在第一象限，找到园的最值，计算可得结果.解：(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得16a+4b+2=0,a-b+2=0解得b=32-2,a=-1.二次函数的表达式为y=-12x2+32x+4;(2)设点N的坐标为(n,0)(-1<n<4),则BN=n+1,CN=4-n.B(-1,O),C(4,0),.BC=5,8:二在y=二12x>32x+2中，解得y=2,.点A(0,2),OA=2,.*.SAABN=12BNOA=4-2(n+1)×2=n+1»MN/AC,AB=NCBG=4-n,SAAMN=AMAB=4-n,S-ABNSAAMN=4-n9SABN=4-5(4-n)(n+1)=-15(n-32)2+5,V-I5<0,当n=3AAMN的面积最大；T时.即Nmam（3）存在如图，取点F（32,54）,过点C.N、夕作圆，则点E（I1.a,58）为圆心，二点0在第一象限，且tanCQN=2,.弧NFC（N,C除外上的点都是满足条件的Q点,连接房交圆£于0,Qh则线段固长度即为满足条件的最小值，线段BQi长度即为满足条件的最大值,此时BE=KI5+=5V-I-5$圆E的半径长，,最小值BQ=y7g55;豆上/古M与6KA最大值BQi只=V-;厂点评：本餐为z函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的原怀本趣的数映豳嗷的音箱玉相形附影睡等港啜顺理斜咻线分绸段成比嗣待定角系数法的应用，在（2）中找到AMN和ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中根据tanCQN=2,构造出圆E,利用同圆等弦所对圆周角相等，找到符合条件的NCQN是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强.参考文献口霍彩霞：一道课本探究题的演变与拓展-中学生数理化（中考版）2016-10-15.2刘玉东：跨学科的中考数学题透析-中学数学杂志（初中版）2005-02-10.3张凤霞：“导学自主”教学模式在初中数学课堂的实践研究-河南师范大学2012-03-01.