对数及对数运算(1).ppt

2.2.1 对数与对数运算,第一课时 对 数,1.庄子:一尺之棰，日取其半，万世不竭，问4天还有多少尺？取多少次还有0.03125尺？,设取x次还有0.03125尺,问题提出,()x0.03125，求x=?,2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么过几年人口数将达到18亿？,13(11)x18，求x=?,即 1.01x，求x=?,设过x年人口数将达到18亿,1.01x，求x=?,()x0.03125，求x=?,对数,知识探究（一）：对数的概念,思考1:24 22,16,4,-2,若2x3，则x,苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。,满足2x3的x的值，我们用log23表示，即xlog23，并叫做“以2为底3的对数”.,若2x3，则x,log23,log216,log2,log48,思考5:满足,，（其中e=2.71828）的x的值可分别怎样表示？,X=log10N,X=logeN,x=log1.01,思考4:前面问题中，,中的x的值可分别怎样表示？,（）x0.03125,x=log 0.03125,恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。,但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。,思考1:指数与对数有什么关系？,知识探究（二）：对数与指数的关系,思考3:当a0，且a1时，loga（-2），loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？,设loga(-2)=x,则ax=-2,而当a0，且a1时,恒有ax0,设loga0=x,则ax=0,思考4:根据对数定义，logal和logaa和logaan（a0，a1）的值分别是多少？,设loga1=x,则ax=1,所以x=0,得loga1=0,设logaa=x,则ax=a,所以x=1,得logaa=1,设logaan=x,则ax=an,所以x=n,得logaan=n,理论迁移,例1.将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式：(1)54625;(2)26;(3)()m5.73;(4);(5)lg0.01=;(6)ln102.303.,例2.求下列各式中的值：(1)log64x;(2)logx86;(3)lg100=x;(4)lne2.,例3 计算,（1）log 81,(2)log0.30.09,例4:（1）已知a0，且a1时,N0,证明 alogaN=N,练习：(1)计算 2log25=_,(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求实数x的值。,(3)已知loga3=m,logan=5,则a2m+n=_,第二课时 对数的运算,2.2.1 对数与对数运算,问题提出,1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？,2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？,对数的运算,知识探究（一）：积与商的对数,思考2:将log232log24十log28推广到一般情形有什么结论？,思考1:求下列三个对数的值：log232，log24，log28你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？,思考3:如果a0，且a1，M0，N0，你能证明等式loga（MN）logaM十logaN成立吗？,思考4:将log232log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？,思考5:若a0，且a1，M1，M2，Mn均大于0，则loga(M1M2M3Mn）？,知识探究（二）:幂的对数,思考1:log23与log281有什么关系？,思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？,思考3:如果a0，且a1，M0，你有什么方法证明等式logaMnnlogaM成立,思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗？,思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？,思考5:如果a0，且a1，M0，则 等于什么？,两数积的对数，等于各数的对数的和；两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数,理论迁移,例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式：;(2).,例2 求下列各式的值：(1)log2（4725）；(2)lg；(3)log318-log32；(4).,例3 计算：,小结作业:性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是个降级运算.性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算.性质从左往右仍然是降级运算利用对数的性质可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值.,作业：P68练习：1,2，3.P74习题2.2A组：3,4,5.,2.2.1 对数与对数运算,第三课时 换底公式及对数运算的应用,问题提出,.,（1）（2）（3）,（1）;（2）;（3）.,1.对数运算有哪三条基本性质？,2.对数运算有哪三个常用结论？,3.同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？,4.由 得，但这只是一种表示，如何求得x的值？,换底公式及对数运算的应用,知识探究（一）：对数的换底公式,思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？,思考1:假设，则，从而有.进一步可得到什么结论？,思考3:一般地，如果a0，且a1；c0，且c1；b0，那么 与哪个对数相等？如何证明这个结论？,思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？,思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求 的值？,知识探究（二）：换底公式的变式,思考1:与 有什么关系？,思考2:与 有什么关系？,思考3:可变形为什么？,理论迁移,例1 计算：(1);(2)（log2125log425log85)（log52log254log1258）,作业：P68 练习：4.P74 习题2.2A组：6，11，12.,2.2.1 对数与对数运算,第四课时 对数运算习题课,知识回顾,.,1.指数与对数的换算:,2.对数运算的三个常用结论:,3.对数运算的三条基本性质:,4.对数换底公式:,理论迁移,例1 求下列各式的值:,2,-2,1,例2 已知，求 的值.,例3 设，已知,求 的值.,例4 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为MlgAlgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；,4.3,20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为MlgAlgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.,398,例5 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7，试推算马王堆古墓的年代.,2193,思考题:设函数已知 且对一切 恒成立，求 的最小值.,2.2.2 对数函数及其性质,第一课时 对数函数的概念与图象,问题提出,1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.,2.（x0）是函数吗？若是，这是什么类型的函数？,对数函数的概念与图象,知识探究（一）：对数函数的概念,思考1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的，则要漂洗几次？,思考3:函数 称为对数函数，一般地，什么叫对数函数？,思考4:为什么在对数函数中要求a0，且al？,思考5:对数函数的定义域、值域分别是什么？,思考6:函数 与 相同吗？为什么？,思考1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象.你有什么方法作对数函数的图象？,知识探究（二）：对数函数的图象,思考2:设点P(m，n)为对数函数 图象上任意一点，则，从而有.由此可知点Q（n，m）在哪个函数的图象上？,思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的位置关系？由此说明对数函数 的图象与指数函数 的图象有怎样的位置关系？,思考4:一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致形状如何？,思考5:函数 与 的图象分别如何？,a1,0a1,理论迁移,例1 求下列函数的定义域：(1)ylog0.5|x+1|;(2)ylog2(4x);(3).,例2 已知函数,求函数f(x)的定义域，并确定其奇偶性.,作业：P73 练习：2P74 习题2.2A组：9，10.,第二课时 对数函数的性质,2.2.2 对数函数及其性质,问题提出,1.什么是对数函数？其大致图象如何？,2.由对数函数的图象可得到哪些基本性质？,对数函数的性质,知识探究（一）：函数 的性质,思考2:由此可知函数的定义域、值域分别是什么？,思考3:函数图象的升降情况如何？由此说明什么性质？,知识探究（二）:函数 的性质,思考2:若，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？,思考3:对数函数具有奇偶性吗？,思考4:对数函数存在最大值和最小值吗？,思考5:设，若，则m与n的大小关系如何？若，则m与n的大小关系如何？,例1 比较下列各组数中的两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9（a0,a1);（4）log75，log67.,理论迁移,例2 求下列函数的定义域、值域：(1)y；(2)ylog2(x22x5).,例3 溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pHlgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为H+107摩尔升，计算纯净水的pH.,作业：P73 练习：3 P74 习题2.2B组：1，2，3.,第三课时 指、对数函数与反函数,2.2.2 对数函数及其性质,问题提出,设a0，且a1为常数，.若以t为自变量可得指数函数yax，若以s为自变量可得对数函数ylogax.这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？,指、对数函数与反函数,知识探究（一）：反函数的概念,思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动，分别以位移s和时间t为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？,思考2:设，分别x、y为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？,思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数，那么函数yax（a0，且a1）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？,思考4:在函数yx2中，若将y作自变量，那么x与y的对应关系是函数吗？为什么？,思考5:一个函数在其对应形式上有一对一和多对一两种，那么在哪种对应下的函数才存在反函数？,知识探究(二):指、对数函数的比较分析,思考1:当a1时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？,R,R,当x0时y1；当x0时0y1；当x=0时y=1；在R上是增函数.,当x1时y0；当0 x1时y0；当x=1时y=0；在R上是减函数.,思考2:一般地，原函数与反函数的定义域、值域有什么关系？函数图象之间有什么关系？单调性有什么关系？,理论迁移,例1 求下列函数的反函数：（1）y3x1；（2）y 1（x0）；（3）；(4).,例2 已知函数.（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.,例3 若点P（1，2）同时在函数y 及其反函数的图象上，求a、b 的值.,作业：P75 习题2.2B组:1，4，5.,