综合法与分析法_课件.ppt
2.2.1 综合法与分析法,例1求证:,证明:因为,所以,左式=log195+2log193+3log192=log19(53223)=log19360.,因为log19360log19361=2,,所以,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.由因导果,则综合法用框图表示为:,1、综合法:,综合法是由一个个推理组成的,例2如图,设四面体PABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D是AC的中点,求证:PD垂直于ABC所在的平面。,证明:连接PD,BD,因为BD是RtABC斜边上的中线,所以 DA=DB=DC,又因为 PA=PB=PC,,而PD是PDA、PBD、PCD的公共边,所以PDAPBDPCD,,于是PDA=PDB=PDC,而PDA=PDC=90,可见PDAC,PDBD,由此可知,PD垂直于ABC所在的平面.,这个证明的步骤是:(1)由已知BD是RtABC斜边上的中线,推出DA=DB=DC,记为P0(已知)P1;(2)由DA=DB=DC,和已知条件,推出三个三角形全等,记为P1P2;,(3)由三个三角形全等,推出PDA=PDB=PDC=90,记为P2P3;(4)由PDA=PDB=PDC=90,推出PD垂直于ABC所在的平面,记为P3 P4(结论);,这个证明步骤用符号表示就是P0(已知)P1P2P3P4(结论).,例3求证:,证明:因为 都是正数,,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明2125,因为2125成立,,所以不等式 成立。,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明的方法叫做分析法,特点:,这个明显成立的条件可以是:,已知条件、定理、定义、公理等,执果索因,即:,要证结果Q,只需证条件P,2分析法,分析法证明的逻辑关系是:B(结论)B1 B2 Bn A(已知).,在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略。,例4.如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证明:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以.AFSC成立,已知条件,定义,公理,定理,推理论证,结论出发,充分条件,定理,定义,公理,所要证明的结论,已知条件,定义,公理,定理,3小结:,分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由因导果,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。,例5求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大,证明:设圆和正方形的周长为L,依题意,圆的面积为,正方形的面积为,因此本题只需证明,为了证明上式成立,只需证明,两边同乘以正数,得,因为上式是成立的,所以,这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。,练习A,1已知n是大于1的自然数,求证:,证明:因为,所以要证原式成立,只需证明,而,所以原不等式成立。,2已知a,b,c表示ABC的边长,m0,求证:,证明:因为,所以,所以原不等式得证。,B组,1求证:,证明:欲证,需证,两边平方得,即需证,即,由于该式成立,所以原不等式成立。,2如果3sin=sin(2+),求证:tan(+)=2tan.,证明:3sin=sin(2+),,3sin(+)=sin(+)+,,3sin(+)cos3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin,,即2sin(+)cos=4cos(+)sin,,所以tan(+)=2tan,