一元二次不等式解法.ppt

第二节一元二次不等式及其解法,【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)一元二次不等式的特征:一元二次不等式的二次项(最高次项)系数_0.,不等于,(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系:,x|xx2,x|xx1,x|x1xx2,在不等式ax2+bx+c0(a0)中,如果二次项系数a0,则可根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.,(3)用程序框图表示一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解过程,0?,(-,x2)(x1,+),R,2.核心总结:求解一元二次不等式的方法和步骤:(1)看“a”(2)算“”(3)求根（因式分解或用求根公式）（4）写出解集：口诀：“大于取两边,小于取中间”,1.教材改编 链接教材练一练(1)不等式x2-3x-100的解集是()A.(-2,5)B.(5,+)C.(-,-2)D.(-,-2)(5,+)【解析】选D.x2-3x-10=(x-5)(x+2)0,所以x5或x-2.故原不等式的解集为(-,-2)(5,+).,(2)设集合M=x|x2-3x-40,N=x|0 x5,则MN=()A.(0,4 B.0,4)C.-1,0)D.(-1,0【解析】选B.因为M=x|-1x4,N=x|0 x5,所以MN=x|0 x4.,(3)关于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集为(x1，x2)，且x2-x1=15，则a=()【解析】选A.由题意知,不等式x2-2ax-8a20)的解集为(2a,4a),因为x2-x1=15,所以4a(2a)=15,解得,考点1 一元二次不等式的解法【典例1】(1)(2015珠海模拟)不等式-2x2+x+30的解集是()(2)解关于x的不等式:ax2(a1)x10.(aR).,【解题提示】(1)把不等式化简变形，确定相应方程的两个根，然后根据二次函数的性质得到不等式的解集.(2)先求a0时不等式的解集，再分a0和a0两种情况求解,【规范解答】(1)选D.不等式-2x2+x+30可化为2x2-x-30，即(2x-3)(x+1)0,解得x-1，或所以不等式的解集是(2)当a0时，原不等式可化为x11.当a1或,当a0时，原不等式可化为若01，则 所以综上知，当a1；当0a1时，不等式的解集为,当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为,【互动探究】本例(2)的不等式改为x2-(a+1)x+a1时,解集为x|11时,解集为x|1xa;当a=1时,解集为,当a1时,解集为x|ax1.,【规律方法】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.,【练习】解关于x的不等式 ax2+x10(aR).,【加固训练】设二次不等式ax2bx10的解集为则ab的值为()A.6 B.5 C.6 D.5【解析】选C.由题意知，方程ax2bx10的两根为1，则有解得 所以ab6，故选C.,考点2 一元二次不等式恒成立问题知考情一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次”间的联系及综合应用是高考的热点,而且常与函数、导数等知识交汇命题,考查应用分类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力.,明角度命题角度1:形如f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围【典例2】(2013重庆高考)设0,不等式8x2-(8sin)x+cos 20对xR恒成立,则的取值范围为.【解题提示】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可.,【规范解答】因为不等式8x2-(8sin)x+cos20对xR恒成立,所以=64sin2-32cos20,即64sin2-32+64sin20,解得0sin(0).因为0,所以答案:,命题角度2:形如f(x)0(参数ka,b)求x的取值范围【典例3】(2015兰州模拟)对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.【解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+x2-4x+40在k-1,1上恒成立,再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围.,【规范解答】因为任意k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+40恒成立,所以f(k)=k(x-2)+x2-4x+40为一次函数,所以所以解得x3,所以x的取值范围为(-,1)(3,+).答案:(-,1)(3,+),命题角度3:形如f(x)0(xa,b)求参数范围【典例4】(2015兰州模拟)对任意x-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范围.【解题提示】表示出对称轴,然后根据区间分类讨论求解.,【规范解答】函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的对称轴为当 即k6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)(-1)+4-2k0，解得k3，故k;当 即2k6时,只要即k20，故k.,当 即k2时,只要f(1)=1+(k-4)+4-2k0即k1，故有k1,综上可知,当k1时，对任意x-1,1，函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.,悟技法解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,通一类1.(2015武汉模拟)一元二次不等式 对一切实数x都成立，则k的取值范围是()A.(-3，0)B.(-3，0C.-3，0 D.(-，-3)0，+),【解析】选A.由一元二次不等式 对一切实数x都成立，则 解得-3k0综上，满足一元二次不等式 对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3，0).,2.(2015济宁模拟)在R上定义运算:xy=x(2-y),若不等式(x+m)x0,因为对任意的实数x不等式都成立,所以其对应的一元二次方程:x2+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式=(m-2)2-4(1-2m)0,解得:-4m0.答案:(-4,0),3.(2015银川模拟)已知不等式x2-2x+a0对任意实数x2,3恒成立,则实数a的取值范围为.【解析】令f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,所以f(x)在区间(1,+)上单调递增,又不等式x2-2x+a0对任意实数x2,3恒成立,所以f(2)0恒成立,即4-4+a0,解得a0.故实数a的取值范围是a0.答案:a0,4.(2015洛阳模拟)若已知不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立,则x的取值范围为.【解析】构造变量m的函数求解:2x-1m(x2-1)即:(x2-1)m-(2x-1)0构造关于m的函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),|m|2即-2m2.(1)当x2-10时，则f(2)0,从而2x2-2x-10解得:又x2-10，即x-1或x1，所以,(2)当x2-10时,则f(-2)0可得-2x2-2x+30,从而2x2+2x-30,解得 又-1x1，从而(3)当x2-1=0时,则f(m)=1-2x0，从而 故x=1;综上有:答案：,