对一道二次函数综合应用题目的讲评反思11.doc

对一道二次函数综合应用题目的讲评思考一、问题的引出：在学完了二次函数这一章内容之后，全级学生进行了一次二次函数的测验。测验卷的最后一道题目是关于二次函数综合应用的题目，通过评卷发现，学生的答题情况很不理想，还有大部分学生对这种综合型的题目无从下手。针对这一情况，教师在讲评试卷的时候，这道题目自然就成为了重点和难点。怎样通过一节讲评课让学生理解这道题目并掌握其中的数学思想是老师备课的难点。 题目中考察的主要知识点是：数形结合的思想求函数解析式、通过图象比较函数值的大小、平面直角坐标系中三角形面积的求法、动直线问题等。二、准备知识：本题的第小问是最常规的求函数解析式，直接利用待定系数法就可以求解。第小问中涉及到线段的表达式及三角形面积的求法，对于刚学二次函数的学生困难还是比较大的，所以先把其中的一些知识模块单独分离出来讲解。1、利用函数的图象比较函数值的大小：例题： 如图，一次函数与二次函数的图象相交于A(-1，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式的解集为( D )A. 或 B. C. D. 解析：题中要求的是这个不等式的解集，我们可以把不等式左边看成是对应的一次函数的值，不等式右边看做是对应的二次函数的值，那么求不等式的解集就可以转化成求当取什么值时，一次函数的值大于二次函数的值，体现在图象上即对应的是什么值时直线的图象在抛物线的上方。由图象可以显而易见，以点A、点B为临界点，蓝色线段AB在抛物线的上方，此时对应的落在A、B两点的横坐标之间，所以本题的答案应该是D选项。2、平面直角坐标系中常见的三角形面积的求法： 图1 图2在平面直角坐标系中，如果三角形的形状如上面图1和图2中的阴影所示，三角形其中一条边落在坐标轴上时，常用的三角形面积的求法有两种：直接求面积法：（或）割补法：。 图3 图4 如果三角形的形状如上面图3和图4阴影所示，是有一条边落在坐标轴上的钝角三角形时，它的面积自然可以通过直接求面积法得到：或或用割补法：。除此之外，还有没有其它的方法呢？引导学生思考前面讲的图1和图2中的两个基本图形，是否对于每一个新的三角形来说，都可以通过把它分成几个有一边落在坐标轴上的基本三角形呢？如此想来，图3中三角形的面积我们还可以这样来求得，如图3-1：以轴为分界线把三角形AOB分成三角形AOC和三角形BOC，就可以按照图1和图2中的方法求面积：= ，从这里我们知道只要知道A、B两点到轴的距离和就可以求得面积了。这种方法也适用于图5和图6中的三角形面积的求法，三角形的任何一条边都不落在坐标轴上，图6中的三角形可以沿轴或沿轴分成两个三角形。图3-1 图5 图6 上面讲的三角形中恰好是有一个三角形的顶点在坐标原点的情况，如果三角形是坐标系中任意一个三角形时还可以不可以用这种方法求解呢？ 同样思路过A点作轴的垂线，将三角形分成两个小三角形，则三角形的面积就等于B、C两点到所作垂线的距离和。三、例题的讲解：有了前面的知识讲解，在求解下面的题目时就可以把一个比较综合性的题目分解成几个基本单元来求解。如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3，0）、B（0，-3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.(1)分别求直线AB和这条抛物线的解析式；(2)若点P在第四象限，连结BM、AM，当线段PM最长时，求ABM的面积；(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。 图1重点来讲解其中的第2、3小问，在第2小问中结合图象1可知：当点P在第四象限时，即时，一次函数的值是大于二次函数的值的。根据点P在直线上，点M是过点P且垂直于轴的垂线与抛物线的交点，可以设点的坐标为，点的坐标为，那么的长度就是一次函数的值减去二次函数的值，的长度是关于的二次函数，结果是，因为抛物线开口向下，二次函数有最大值。即点的横坐标是时，线段最长。此时三角形的面积可以利用第个知识点中的思路求得：，的长度是，点、点到垂线的距离和是，所以三角形的面积求得。第小问，是否存在点使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？因为这是一道动态题目，学生在静止的图象上很难想象出整个变化过程，所以在讲评这一小问时，制作了几何画板，通过几何画板的动态演示，让学生直观、形象地了解变化过程，会对学生的解题思路有很大的帮助。这里要分情况进行讨论，以点P、M、B、O为顶点的四边形，四个字母没有顺序，因为、两点的位置已经确定，但是点与点的位置不确定，所以有两种情况：四边形或四边形。四边形，如图所示，此时的点在线段上（不包括两个端点）如果此时的四边形是平行四边形必须满足，的长度是定值，在第小问中已经知道，只要点P在第四象限，PM的最大值是，而，所以这种情况下四边形不可能是平行四边形。或者令=3，这样化简后的二次方程的<0，所以不存在点P满足条件。四边形BOMP，运用几何画板，移动点P，当点P发生改变时，垂线和点的位置都会随之发生改变，当点移动到直线上点的右侧时，或者点的左侧时，点的位置会在点的上方，此时，要想四边形是平行四边形，必须满足。令解得，经检验这两个解在的范围内，满足题意。综上两种情况：可以写出点P的两个横坐标。四、题后反思：虽然这是一道题目的讲评，但是在安排讲评题目本身之前，教师先把其中用到的知识点以基本单元模块的形式向学生讲解。在对各个模块熟练掌握后再把这些模块综合起来，学生就容易理解很多，并且在讲解的过程中运用了几何画板动态演示，让学生从形象上有一个更加直观的了解，达到了知识点的触类旁通，由浅入深。【参考文献】：1 刘晓玫 我们何以对待函数的核心地位 首都师范大学2 陈作民 以学论教，改进初中数学的教与学 湖北省宜昌市教研中心3 袁银宗 对数学史及其教学的思考与实验 中学数学教学参考（初中） 2007（4）4马洪炎 重视“解题后的反思”，培养学生思维品质，数学教学通讯重庆教育出版社，2002 年6 月