数学九年级上《二次函数》复习教学案.doc

二次函数 复习课【知识结构框架】【复习目标】 目标类别 知识点及 目标层次相关技能知识性目标过程性目标了解理解掌握灵运活用经感历受体体验会探索二次函数的概念二次函数概念的形成过程二次函数的概念二次函数的解析式待定系数法二次函数的定义域和函数值二次函数图象描点法画二次函数图象二次函数图象的特点二次函数图象的变换二次函数图象的性质二次函数性质二次函数的最大值、最小值二次函数的增减性二次函数的对称性二次函数应用建立二次函数模型二次函数性质的应用二次函数与二次方程的关系【基础知识】1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故【典型例题】1.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BCAB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.解析：（1）或 将代入，得.顶点坐标为，由题意得，解得.（2）2.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围. 解析：（1）设所求二次函数的解析式为,yOx则,即 ,解得故所求的解析式为:.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时，输入值的取值范围是或第9题3.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式解析：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是39 4.已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由解析：依题意，得点C的坐标为（0，4） 设点A、B的坐标分别为（，0），（，0）， 由，解得， 点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0） ， ，当时，ACB90° 由， 得 解得 当时，点B的坐标为（，0）， 于是 当时，ABC为直角三角形当时，ABC90°由，得解得当时，点B（-3，0）与点A重合，不合题意当时，BAC90°由，得解得不合题意综合、，当时，ABC为直角三角形5.已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.解析: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2mxm20的两根.x1 x2 m , x1·x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(a，b) . M、N是抛物线上的两点, 得：2a22m40 . a2m2 .当m2时，才存在满足条件中的两点M、N. .这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为（0，2m）,而SM N C = 27 ,2××（2m）×=27 .解得m=7 . 6.已知：抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x2 抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）， 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2） 抛物线与x轴的一个交点为A（1， 0）， t3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线 上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面积为9， a±1 所求抛物线的解析式为或（3）设点E坐标为（，）.依题意， 且 设点E在抛物线上，解方程组 得 点E与点A在对称轴x2的同侧， 点E坐标为（，）设在抛物线的对称轴x2上存在一点P，使APE的周长最小 AE长为定值， 要使APE的周长最小，只须PAPE最小 点A关于对称轴x2的对称点是B（3，0）， 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x2的交点设过点E、B的直线的解析式为， 解得 直线BE的解析式为 把x2代入上式，得 点P坐标为（2，）设点E在抛物线上， 解方程组 消去，得 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P（2，），使APE的周长最小解法二：（1） 抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）， t3a 令 y0，即解得 ， 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2）由，得D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面积为9， 解得OD3 a±1 所求抛物线的解析式为或（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x2的交点 如图，过点E作EQx轴于点Q设对称轴与x轴的交点为F由PFEQ，可得 点P坐标为（2，）以下同解法一7.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解析：（1）设抛物线的解析式， 其顶点M的坐标是 （2）设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为N（t，h）， 解得， 线段BM所在的直线的解析式为 ，其中 s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是（3）存在符合条件的点P，且坐标是，设点P的坐标为P，则，分以下几种情况讨论：i）若PAC90°，则 解得：，（舍去） 点ii）若PCA90°，则 解得：（舍去） 点iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，所以边AC的对角APC不可能是直角（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（1，2）， 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F 图a 图b8.已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数解析：根据题意，得a21. a1 这个二次函数解析式是因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与x轴有两个交点9.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）解析：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 因为点A（，0）（或B（，0）在抛物线上， 所以，得因此所求函数解析式为 （2）因为点D、E的纵坐标为， 所以，得 所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）所以因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）10.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b4，求a、c的值解析:（1）a、c同号 或当a0时，c0；当a0时，c0（2）证明：设点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），则 ， 据题意，、是方程的两个根 由题意，得，即 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数（3）当时，由（2）知， a0解法一：ABOBOA， ， 得 c2. 解法二：由求根公式， ， ， ，得 c211.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，E经过原点O及A、B两点（1）C是E上一点，连结BC交OA于点D，若CODCBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC到P，使DP2，连结AP，试判断直线PA与E的位置关系，并说明理由 解析：（1）连结EC交x轴于点N（如图） A、B是直线分别与x轴、y轴的交点 A（3，0），B又CODCBO CBOABC C是的中点 ECOA 连结OE C点的坐标为（） （2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为 C（） 为所求（3） ， BAO30°，ABO50°由（1）知OBDABD ODOB·tan30°1 DA2 ADCBDO60°，PDAD2 ADP是等边三角形 DAP60° BAPBAODAP30°60°90°即PAAB即直线PA是 E的切线【历年考点例析】考点1、确定a、b、c的值二次函数：y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且a0） a0开口向上，a0开口向下抛物线的对称轴为x=，由图像确定的正负，由a的符号确定出b的符号由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c0确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号 考点 2、确定a+b+c的符号x=1时，y=a+b+c，由图像y的值确定a+b+c的符号与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c），由图像y的值确定4a+2b+c的符号还有判断ab+c的符号（x=1时，y=ab+c）等等考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号抛物线的对称轴为x=，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x值时，y值相等，即当x=+m或x=m时，y值相等中考考查时，通常知道x=+m时y值的符号，让确定出x=m时y值的符号考点4、由对称轴x=的确定值判断a与b的关系如：=1能判断出a =0.5 b考点5、顶点与最值若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值 例1、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解析：此题考查了考点1、2、3、4、5 错误因为：开口向下0;对称轴x=1，可以得出b0; x=0时,y=c0，故abc0错误因为：由图知x=1时，y=ab+c0，即ba+c正确因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y0，知x=2时，y=4a+2b+c0正确因为：由对称轴x=1，可以得出a =0.5 b，代入前面已经证出ba+c，得出1.5bc,即3b2c正确因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x =1，y= a+b+c最大，此时a+b+cam2+bm+c（），即，（）答案：B考点6、图象与x轴交点b2-4ac0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；b2-4ac0，ax2+bx+c=0无实根；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根b2-4ac0，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac0，抛物线与x轴没有交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴只有一个交点 例2、二次函数与x轴的交点个数是（ ）A0 B1 C2 D3解析：求图象与x轴的交点应令y=0，即x22x+1=0,b2-4ac44=0,二次函数图象与x轴只有一个交点答案：B考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误如：在同一种坐标系中正确画出一次函数和二次函数，关键是两个式子中的a、b值应相同 例3、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）OxyOxyOxyOxyABCD解析：二次函数过点（0，0），故排除答案B与C若a0，抛物线开口向上，一次函数的y值随着x值的增大而增大；若a0，抛物线开口向下，一次函数的y值随着x值的增大而减小答案：A.考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y值随x值的变化而变化情况抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小 例4、已知二次函数(a0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大 解析：二次函数(a0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x=x0（x0>0）的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大抛物线开口向下时，在对称轴x=x0（x0<0）的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小答案：D 考点9、二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c为常数，a0). (2)顶点式：ya(x-h)2+k(a,h,k为常数，a0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0时，抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时，抛物线ya(x-h)2的顶点在x轴上；当h0且k0时，抛物线yax2的顶点在原点. (3)两根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时设成两根式 例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点求该二次函数的解析式为 解析：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点，得 二次函数解析式为，即第18页 共18页