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第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一知识梳理·自主学习必备知识考点1直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为0°<180°.2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan，倾斜角是90°的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.考点2直线方程的几种形式必会结论直线的斜率k与倾斜角之间的关系牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率越大()(2)斜率公式k，不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线()(3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在()(4)过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为yy1k(xx1)()(5)直线方程的截距式1中，a，b均应大于0.()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2.课本改编过点M(1，m)，N(m1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1 B. C2 D.答案A解析由1，得m1.故选A.3.课本改编倾斜角为135°，在y轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10 Bxy10C.xy10 Dxy10答案D解析直线的斜率为ktan135°1，所以直线方程为yx1，即xy10.4.课本改编过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为()A.xy30 Bxy30C.xy30 Dxy30答案B解析所求直线的斜率k1，又过点(0,3)，所以直线方程为y3x，即xy30.5.已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A.1 B1C.2或1 D2或1答案D解析由题意可知a0.当x0时，ya2；当y0时，x，a2，解得a2或a1.6.2018·长春模拟直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_答案(2，2)解析直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2).板块二典例探究·考向突破考向直线的倾斜角与斜率 例1直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_答案(，1，)解析如图，kAP1, kBP，k(，1，).若将题中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为. 若将题中条件改为“经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角的范围解如图所示，kPA1，kPB1，由图可观察出：直线l倾斜角的范围是.触类旁通直线的斜率与倾斜角的区别与联系【变式训练1】(1)2018·重庆巴蜀中学诊断直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析依题意，直线的斜率k1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.(2)若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A.1 B3 C0 D2答案B解析由ktan1，得42y2，所以y3.考向求直线的方程 例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)与直线3x4y50关于y轴对称解(1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin(0<<)，从而cos±，则ktan±，故所求直线方程为y±(x4)，即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)直线3x4y50与y轴的交点为A，所求直线过A，且斜率k，所求直线方程为yx，即3x4y50.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.【变式训练2】已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知点D的坐标为(0,2)可求出直线的点斜式方程为y22(x0)，即2xy20.考向直线方程的应用 例32018·无锡检测已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是0，)(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又<0且12k>0，k>0.故S|OA|OB|××(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式训练3】已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：(1)当|OA|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l的方程解(1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)设直线l的方程为1，则1，所以|OA|OB|ab(ab)2224，当且仅当“ab2”时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y1k(x1)，则A，B(0,1k)，所以|MA|2|MB|221212(11k)22k2224.当且仅当k2，即k1时取等号，此时直线l的方程为y1(x1)，即xy20.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点板块三启智培优·破译高考易错警示系列 10都是漏掉“过原点”情况惹的祸2018·济南检测求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程错因分析利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况，而漏掉直线方程3x2y0.解解法一：(1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，则直线l的斜率为k，因此，直线l的方程为yx，即3x2y0.(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为1.直线l过点P(2,3)，1，a5，直线l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为3x2y0或xy50.解法二：由题意可知所求直线斜率存在，则可设y3k(x2)，且k0.令x0，得y2k3.令y0，得x2.于是2k32，解得k或1.则直线l的方程为y3(x2)或y3(x2)，即直线l的方程为3x2y0或xy50. 跟踪训练过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A.2xy120B.2xy120或2x5y0C.x2y10D.x2y90或2x5y0答案D解析当直线经过坐标原点时，直线方程为yx，即2x5y0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为1，则1，解得b，故所求的直线方程是1，即x2y90.板块四模拟演练·提能增分 A级基础达标1.直线xy10的倾斜角是()A. B. C. D.答案D解析由直线的方程得直线的斜率k，设倾斜角为，则tan，所以.2.2018·沈阳模拟直线axbyc0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A.ab>0，bc<0 Bab>0，bc>0C.ab<0，bc>0 Dab<0，bc<0答案A解析由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为yx.易知<0且>0，故ab>0，bc<0.3.2018·邯郸模拟过点(2,1)，且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是()A.x2 By1 Cx1 Dy2答案A解析直线yx1的斜率为1，则倾斜角为.依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.4.已知三点A(2，3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为()A.12 B9 C12 D9或12答案A解析由kABkAC，得，解得k12.故选A.5.2018·荆州模拟两直线a与a(其中a是不为零的常数)的图象可能是()答案B解析直线方程a可化为yxna，直线a可化为yxma，由此可知两条直线的斜率同号故选B.6.2018·安徽模拟直线l：xsin30°ycos150°10的斜率是()A. B. C D答案A解析设直线l的斜率为k，则k.7.直线xcosy20的倾斜角的取值范围是_答案解析设直线的倾斜角为，依题意知，kcos，cos1,1，k，即tan.又0，)，8.已知实数x，y满足方程x2y6，当1x3时，的取值范围为_答案解析的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在x2y6的图象上，且1x3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA，kNB，所以的取值范围是.9.过点M(3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_答案yx或xy80解析(1)当直线过原点时，直线方程为yx；(2)当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya，代入点(3,5)，得a8，即直线方程为xy80.10.2018·衡阳模拟一条直线经过点A(2，)，并且它的倾斜角等于直线yx的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是_答案xy30解析解法一：直线yx的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率ktan60°.又该直线过点A(2，)，故所求直线为y()(x2)，即xy30.解法二：设直线yx的倾斜角为，则所求直线的倾斜角2.tantan2.所求直线为xy30.B级知能提升1.2018·海南模拟直线(1a2)xy10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析直线的斜率k(1a2)a21，a20，ka211.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为.2.已知点A(1,0)，B(cos，sin)，且|AB|，则直线AB的方程为()A.yx或yxB.yx或yxC.yx1或yx1D.yx或yx答案B解析由|AB|，得cos，所以sin±，所以直线AB的斜率kAB或kAB，所以直线AB的方程为y±(x1)，即直线AB的方程为yx或yx.选B.3.2018·宁夏调研若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_答案16解析根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号，即ab的最小值为16.4.在ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x2y0，AB边上的高线所在直线方程为3x2y30.求BC边所在直线方程解kAC2，kAB.AC：y12(x1)，即2xy30，AB：y1(x1)，即2x3y10.由得C(3，3)由得B(2，1)BC：2x5y90.5.过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1)AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程解(1)解法一：设直线l的方程为y1k(x2)，则可得A，B(0,12k)与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，k<0.于是SAOB·|OA|·|OB|··(12k)4.当且仅当4k，即k时，AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.解法二：设所求直线l的方程为1(a>0，b>0)，则1.又2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1，即x2y40.(2)解法一：A，B(0,12k)(k<0)，截距之和为12k32k3232.当且仅当2k，即k时，等号成立故截距之和最小值为32，此时l的方程为y1(x2)，即x2y220.解法二：1，截距之和ab(ab)33232.此时，求得b1，a2.此时，直线l的方程为1，即x2y220.(3)解法一：A，B(0,12k)(k<0)，|PA|·|PB|· 4.当且仅当4k2，即k1时上式等号成立，故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为xy30.解法二：设OAB，则|PA|，|PB|，|PA|·|PB|，当sin21，时，|PA|·|PB|取得最小值4，此时直线l的斜率为1，又过定点(2,1)，其方程为xy30.15