灵活运用三角函数基本关系解题.doc
灵活运用同角三角函数的基本关系解题 同角三角函数的基本关系有二：同一个角x的正弦，余弦的平方和等于1，商等于角x的正切，即sin2x+cos2x=1，tanx=sinx/cosx(xk+/2, kZ),这两大基本关系的作用如下：1.知一求一，由平方关系知，只须知道sinx,cosx中的一个，即可求出另一个，比如由sin2x+cos2x=1可得sinx=±, cosx=±,正弦与余弦值确定了，正切值也就确定了;2.商数关系蕴含了弦切互化的思想，对于tanx=sinx/cosx，左边到右边，实现了切化为弦，右边到左边，实现了弦化为切;3.变形式，比如sin2x=（1+cosx）（1-cosx）, cos2x=（1+sinx）（1-sinx）;（sinx±COSX）2=1±2sinx.cosx,该式实现了同角正余弦和（差）式与其乘积式的互化;4.换元处理，由sin2x+cos2x=1可得a2= a2(sin2x+cos2x)=(asinx）2+(acosx) 2=1,对于X2+Y2=R2则可换为X=Rcosx,Y=Rsinx(x为参数)，同理(X-a) 2+(Y-b) 2=R2，可转化为X=Rcosx+a,Y=Rsinx+b，X2/a2+Y2/b2=1,可转化为X=acosA,Y=bsinA(A为参数)等等。面对具体问题时，必须灵活运用同角三角函数的基本关系，方能做到对问题的正确处理。下面给出几个实例.一、 给值求值例1.见教材P19，例6，已知sinx=-3/5，求cosx，tanx之值。简析：欲求cosx可由sin2x+cos2x=1推出cosx=±，然后即可代值求cosx，最后求tanx之值。需提醒的是：在求值前应先由函数值的正负判断角所在象限。解答过程略.例2.在ABC中，ABC为其三角形内角，且cosA=1/3,求sinA,tanA.解：A为ABC的内角，0<A<cosA= 1/3>0, sinA>0，tanA>0.故易求得sinA=，tanA=.例3.已知tanx=,求sinx,cosx之值解：tanx=>0，sinx/cosx=，又sin2x+cos2x=1由、联立解得sinx=/2，cosx=1/2或sinx=-/2，cosx=-1/2即sinx=/2，cosx=1/2或sinx=-/2，cosx=-1/2。二、化简求值例4，已知tanA=2,试求（1）（sinA+ cosA）/（2cosA+sinA）（2）（2sinA+5cosA）/（6sinA+ 4cosA）（3）sinA .cosA之值解析：由条件及问题暗示本问题解决需用到弦切互化思想.方法一：切化弦由tanA=2推出sinA=2 cosA（cosA0），（1）=（2 cosA+cosA）/（2 cosA+2 cosA）=3/4（2）=（4cosA+5 cosA）/（12 cosA+4 cosA）=9/16（3）=sinx cosx / （sin2x+ cos2x）=2 cos2x/（4 cos2x+ cos2x）=2/5方法二：弦化切（1）=（sinx+ cosx）/ cosx）/（2 cosx+ sinx） / cosx）=（tanA+1）/（2+tanA）=3/4（2）=（2tanA+5）/（4+6tanA）=9/16（3）= sinA cosA/（sin2A+ cos2A）= tanA/（tan2A+1）=2/5提示：（3）的问题解决用到1= sin2A+ cos2A这一恒等式。三、变形求值例5.见教材P21，已知tanx=，<x<3/2。求sinx-cosx.解：tanx=，<x<3/2sinx <0，cosx<0且| sinx | > | cosx |，-sinx>-cosx sinx < cosx，sinx-cosx <0，（sinx-cosx）2= sin2x+cos2x-2 sinx .cosx= （sin2x+cos2x-2 sinx .cosx）/（ sin2x+cos2x）= （tan2x+1-2 tanx）/ （tan2x+1）=（）2+1-2）/（）2+1）=（4-2）/4=1-/2sinx-cosx=1/2-/2例6.已知sinx+cosx=/2-1/2，且0<X<，则tanx的值为（ ）A-/3，B.-，C./3，D.解：0<X<, sinx>0，0<sinx+cosx=1-/2<1, cosx<0，tanx<0, sinx+cosx>0, sinx >- cosx, tanx<-1,选B。四、化简例7化简：+,A(/2，)解：A(/2，), sinA>0,上式=+=2SinA/ sin2A=2/ sinA。五、 求函数（式）的最值。例8,已知圆C：（x-2）2+(y-3）2=1, 试求3x+y的最大值。解：由（x-2）2+(y-3）2=1得x=cosA+2， y=sinA+3 3X+y= 3cosA+6+sinA+3=9+3cosA+sinA=9+sin（A+&）（其中sin&=3/10，cos&=/10）。3x+y的最大值为9+.例9.已知曲线c：x2/4+y2/9=1，试求x-y的范围.解：由x2/4+y2/9=1得x=2 cosA,y=3 sinA(A为参数), x-y=2 cosA-3 sinA=sin（A-B）（其中sinB=2/13，cosB=-3/13）x-y的范围为-13，13.囿于篇幅，不再赘述了。以上是笔者的一点见解，不当之处，祈望各位不吝赐教。
