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第8讲函数与方程板块一知识梳理·自主学习 必备知识考点1函数零点1定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2三个等价关系3存在性定理考点2二次函数yax2bxc(a>0)的图象与零点的关系>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点x1，x2x1无考点3二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法必会结论1若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，则函数yf(x)一定有零点2.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示所以f(a)·f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号3若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac<0时没有零点()(3)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(4)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(5)函数f(x)kx1在1,2上有零点，则1k.()答案(1)×(2)(3)×(4)×(5)2课本改编函数f(x)x的零点个数是()A0 B1 C2 D无数个答案C解析令f(x)0，解x0，即x240，且x0，则x±2.3课本改编方程2xx23的实数解的个数为()A2 B3 C1 D4答案A解析构造函数y2x与y3x2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2xx23的实数解的个数为2.故选A.42018·西安模拟设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出图象如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.52018·安徽模拟在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_答案解析函数y|xa|1的大致图象如图所示，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，只需2a1，可得a.62018·贵阳监测用二分法求图象连续不断的函数f(x)在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)，求解的部分过程如下：f(1)·f(5)<0，取(1,5)的中点x13，计算得f(1)·f(x1)<0，f(x1)·f(5)>0，则此时能判断函数f(x)一定有零点的区间为_答案(1,3)解析因为函数f(x)为连续函数且f(1)·f(3)<0，所以函数f(x) 在(1,3)内一定有零点板块二典例探究·考向突破考向确定函数零点所在区间例12018·德州模拟函数f(x)ln (x1)的零点所在的区间是()A. B(1，e1)C(e1,2) D(2，e)答案C解析因为fln 4<0，f(1)ln 22<0，f(e1)1<0，f(2)ln 31>0，所以f(e1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间是(e1,2)【变式训练1】函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B. C. D.答案C解析易知函数f(x)ex4x3在R上为增函数，故f(x)ex4x3至多有一个零点fe13e2<0，fe23e1>0，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为.考向判断函数零点的个数例2函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即为函数y|log0.5x|与y图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y|log0.5x|与y的图象如图由图象易知有两个交点触类旁通判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【变式训练2】函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，由x220得x；当x>0时，f(x)2x6ln x在(0，)上为增函数，且f(2)ln 22<0，f(3)ln 3>0，所以f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上可知，f(x)的零点个数为2.考向与函数零点有关的求参问题例3(1)2018·嘉兴模拟设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1,2)解析设f(x)x3x2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与yx2的图象如图所示因为f(1)1110，f(2)8070，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)(2)2016·山东高考已知函数f(x)其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析函数f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要m>4mm2即可，又m>0，解得m>3，故实数m的取值范围是(3，)触类旁通已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【变式训练3】(1)2018·启东检测若函数f(x)log2xxk(kZ)在区间(2,3)上有零点，则k_.答案4解析函数f(x)log2xxk在(2,3)上单调递增，所以f(2)f(3)<0，即(log222k)·(log233k)<0，整理得(3k)(log233k)<0，解得3<k<3log23，而4<3log23<5，因为kZ，故k4.(2)2015·北京高考设函数f(x)若a1，则f(x)的最小值为_；若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_答案12，)解析若a1，则f(x)作出函数f(x)的图象如图所示由图可得f(x)的最小值为1.当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21a0，即a2，所以a2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得a<1.综上，实数a的取值范围为2，)核心规律1.判定函数零点的常用方法(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2.研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3.转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题满分策略1.函数f(x)的零点不是点，是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象来分析.板块三启智培优·破译高考题型技法系列4利用函数的零点比较大小 2018·武汉调研已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)<0，f(x2)<0 Bf(x1)<0，f(x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0 Df(x1)>0，f(x2)>0解题视点构造函数y2x和函数y，并画出函数的图象，可根据函数的图象进行判断解析在同一平面直角坐标系中画出函数y2x和函数y的图象，如图所示由图可知函数y2x和函数y的图象只有一个交点，即函数f(x)2x只有一个零点x0，且x0>1.因为x1(1，x0)，x2(x0，)，则由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.答案B答题启示借助函数零点比较大小.要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.跟踪训练2018·广东七校联考已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且x0<x1，则f(x1)的值()A恒为负 B等于零 C恒为正 D不大于零答案A解析由于函数f(x)xlog3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)0，当x0<x1时，一定有f(x1)<0.故选A.板块四模拟演练·提能增分 A级基础达标12018·北京丰台二模函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析令f(x)0，得xx，在平面直角坐标系中分别画出函数yx与yx的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个故选B.2函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)(0a)(3a)<0，解得0<a<3.故选C.32018·济南模拟若f(x)是奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点()Ayf(x)ex1 Byf(x)ex1Cyexf(x)1 Dyexf(x)1答案C解析由已知可得f(x0)e x0，则e -x0·f(x0)1，e-x0f(x0)1，故x0一定是yexf(x)1的零点4设a是方程2ln x3x的解，则a在下列哪个区间内()A(0,1) B(3,4) C(2,3) D(1,2)答案D解析令f(x)2ln x3x，则函数f(x)在(0，)上递增，且f(1)2<0，f(2)2ln 21ln 41>0，所以函数f(x)在(1,2)上有零点，即a在区间(1,2)内5用二分法研究函数f(x)x58x31的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A(0,0.5)，f(0.125) B(0.5,1)，f(0.875)C(0.5,1)，f(0.75) D(0,0.5)，f(0.25)答案D解析f(x)x58x31，f(0)<0，f(0.5)>0，f(0)·f(0.5)<0，其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)故选D.62018·昆明模拟若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A. B. C. D.答案B72018·大连模拟函数f(x)(x1)ln x1的零点有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析由f(x)(x1)ln x10，得ln x，作出函数yln x，y的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1.选B.82018·孝感高级中学调考函数f(x)ln x2x6的零点在区间(a，a1)(aZ)内，则a_.答案2解析因为函数f(x)ln x2x6的定义域为(0，)，所以a0，函数f(x)ln x2x6在(0，)上是单调递增函数，f(1)4<0，f(2)ln 22<0，f(3)ln 3>0，所以函数f(x)ln x2x6的零点在区间(2,3)内，故a2.9g(x)xm(x>0，其中e表示自然对数的底数)若g(x)在(0，)上有零点，则m的取值范围是_答案2e，)解析由g(x)0，得x2mxe20，x>0.由此方程有大于零的根，得解得故m2e.102018·安庆模拟已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(1,0)解析关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数yk的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(1,0)B级知能提升12018·衡阳模拟函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且f(x)在(0，)上单调递增，图象是一条连续曲线又f(1)1<0，f(2)log32>0，f(3)2>0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)log3xx2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内22018·大连一模f(x)是R上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5x|的零点个数为()A4 B5 C8 D10答案B解析由零点的定义可得f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点3.2017·唐山模拟当x1,2时，函数yx2与yax(a>0)的图象有交点，求a的取值范围_答案解析当a1时，显然成立当a>1时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足×22a2，即1<a；当0<a<1时，如图所示，需满足×12a1，即a<1，综上可知，a.4已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解(1)设x<0，则x>0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点，作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1<a<1，故a的取值范围为(1,1)5已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解(1)f(1)122×13，gf(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t<1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知，当1a<时，函数yg(t)(t<1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.13