22020年应用3.2第2课时导数与函数的极值最值学案文北师大版05053300.doc

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图像判断极值典例 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x<2时，f(x)>0；当2<x<1时，f(x)<0；当1<x<2时，f(x)<0；当x>2时，f(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求函数的极值典例 (2017·泉州质检)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)>0，f(x)在(，)上是增加的，所以函数f(x)无极值当a>0时，令f(x)0，得exa，即xln a，当x(，ln a)时，f(x)<0；当x(ln a，)时，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的，故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值命题点3根据极值求参数典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为_答案解析f(x)3x24cx1，由f(x)0有两个不同的根，可得(4c)212>0，c>或c<.(2)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a<2或a>2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解，又x，所以2a<，综上，a的取值范围是.思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练 (1)函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0答案C解析f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x<1时，f(x)<0，当1<x<0时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，x0,1，1都是f(x)的极值点(2)函数y2x的极大值是_答案3解析y2，令y0，得x1.当x<1或x>0时，y>0；当1<x<0时，y<0.当x1时，y取极大值3.题型二用导数求函数的最值典例 (2017·洛阳模拟)已知函数f(x)kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)<0，所以f(x)在上是减少的若k0，则f(x).()若k<0，则在上恒有<0.所以f(x)在上是减少的，()若k>0，由k<，得>e，则x<0在上恒成立，所以<0，所以f(x)在上是减少的综上，当k<时，f(x)在上是减少的，所以f(x)minf(e)k1，f(x)maxfek1.引申探究本例中若函数为“f(x)ln xx2”，则函数f(x)在上的最大值如何？解由f(x)ln xx2，则f(x)x，因为当xe时，令f(x)>0，得x<1；令f(x)<0，得1<xe，所以f(x)在上是增加的，在(1，e上是减少的，所以f(x)maxf(1).思维升华 求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值跟踪训练 设函数f(x)x32x5，若对任意的x1,2，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知，f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a<.题型三函数极值和最值的综合问题典例 (2018·珠海调研)已知函数f(x)(a>0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex>0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a>0，所以当3<x<0时，g(x)>0，即f(x)>0，当x<3或x>0时，g(x)<0，即f(x)<0，所以f(x)的递增区间是(3,0)，递减区间是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的极小值点，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因为f(x)的递增区间是(3,0)，递减区间是(，3)，(0，)，所以f(0)5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，而f(5)5e5>5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值跟踪训练 若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案C解析由题意，得f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增加的，在(2,0)上是减少的，作出其图像如图所示，令x3x2，得x0或x3，则结合图像可知，解得a3,0)利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)>0，f(x)<0的解区间，并注意定义域(2)先研究f(x)在1,2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论规范解答解(1)f(x)a(x>0)，当a0时，f(x)a>0，即函数f(x)的递增区间为(0，)2分当a>0时，令f(x)a0，可得x，当0<x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0，故函数f(x)的递增区间为，递减区间为.4分综上可知，当a0时，函数f(x)的递增区间为(0，)；当a>0时，函数f(x)的递增区间为，递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减少的，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分当2，即0<a时，函数f(x)在区间1,2上是增加的，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增加的，在上是减少的又f(2)f(1)ln 2a，所以当<a<ln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a<1时，最小值为f(2)ln 22a.11分综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a.12分用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3 Byln(x)Cyxex Dyx答案D解析由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数yx3在R上是增加的(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值2函数f(x)x34x4的极大值为()A. B6 C. D7答案A解析f(x)x24(x2)(x2)，f(x)在(，2)上是增加的，在(2,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以f(x)的极大值为f(2).3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a24×3(a6)>0，即a23a18>0.a>6或a<3.4(2017·哈尔滨调研)函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1 C0 D不存在答案A解析f(x)x且x>0.令f(x)>0，得x>1.令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.5已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18答案C解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.6(2017·河北三市二联)若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为()A2b B.bC0 Db2b3答案A解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，3<b<1，则由f(x)>0，得x<b或x>2，由f(x)<0，得b<x<2，函数f(x)的极小值为f(2)2b.7(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_.答案5解析f(x)3x22ax3.由题意知，3是方程f(x)0的根，所以3×(3)22a×(3)30，解得a5.经检验，当a5时，f(x)在x3处取得极值8函数f(x)x33a2xa(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得x±a，当a<x<a时，f(x)<0，函数是减少的；当x>a或x<a时，f(x)>0，函数是增加的，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a>0且f(a)a33a3a<0，解得a>.a的取值范围是.9函数f(x)xex，x0,4的最大值是_答案解析f(x)exx·exex(1x)，令f(x)0，得x1.又f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值10已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即3×42a×20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，当m1,1时，f(m)minf(0)4.11(2017·北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，所以f(0)0，又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y10.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上是减少的所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上是减少的因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.12(2018·武汉质检)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x<1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0和上是减少的，在上是增加的因为f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1,1)上的最大值为2.当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0；当a>0时，f(x)在1，e上是增加的，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a<2时，f(x)在1，e上的最大值为2.13已知函数f(x)x3x2xm在0,1上的最小值为，则实数m的值为_答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1±.当x(1，1)时，f(x)<0，即函数f(x)在(1，1)上是减少的，即f(x)在0,1上是减少的，故f(x)在0,1上的最小值为f(1)，所以11m，解得m2.14(2018·贵州质检)设直线xt与函数h(x)x2，g(x)ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为_答案解析由已知条件可得|MN|t2ln t，设f(t)t2ln t(t>0)，则f(t)2t，令f(t)0，得t，当0<t<时，f(t)<0，当t>时，f(t)>0，当t时，f(t)取得最小值15若函数f(x)mln x(m1)x存在最大值M，且M>0，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)(m1)(x>0)，当m0或m1时，f(x)在(0，)上单调，此时函数f(x)无最大值当0<m<1时，令f(x)0，则x，当0<m<1时，f(x)在上是增加的，在上是减少的，当0<m<1时，函数f(x)有最大值，最大值Mfmlnm.M>0，mlnm>0，解得m>，m的取值范围是.16已知函数f(x)x2mxln x.(1)若m3，讨论函数f(x)的单调性，并写出单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且m，求f(x1)f(x2)的最小值解(1)当m3时，f(x)x23xln x，由题意知x>0，且f(x)x3，令f(x)>0，得0<x<或x>，令f(x)<0，得<x<.因此函数f(x)在上是减少的，在和上是增加的(2)由题意知，f(x)xm，则易知x1，x2为x2mx10的两个根，且x1x2m，x1x21，所以f(x1)f(x2)xmx1ln x1(xx)m(x1x2)ln x1ln x2(xx)(x1x2)(x1x2)ln x1ln x2ln(xx)ln·ln.记t，由x1<x2且m知0<t<1，且f(x1)f(x2)ln t，记(t)ln t(t(0,1)，则(t)<0，故(t)在(0,1)上是减少的由m知(x1x2)2，从而xx，即，故t，结合0<t<1，解得0<t，从而(t)的最小值为ln 2，即f(x1)f(x2)的最小值为ln 2.15