[信息与通信]数字图像置乱技术研究0.doc

东北林业大学毕业论文中华人民共和国教育部东北林业大学毕 业 论 文论文题目： 数字图像置乱技术研究 学 生： 指导教师： 讲师 学 院： 机电工程学院 专 业： 2007年6月22东北林业大学毕 业 论 文 任 务 书论文题目 数字图像置乱技术研究 指导教师 讲师 专业(班级) 通信工程 学 生 2006年 12 月 22 日题目：数字图像置乱技术研究任务内容（包括内容、计划、时间安排、完成工作量与水平具体要求）1 课题内容（1） 学习并掌握MATLAB的编程方法与技巧；（2） 重点掌握几种数字图像置乱方法（如基于Arnold变换的图像置乱方法、基于抽样技术的图像置乱方法和基于队列变换的置乱方法）并利用MATLAB编程实现； （3） 利用实际图像对（2）中方法进行实验，并分析、比较各种方法的优缺点。2 时间安排3月 初3月中旬 搜集资料。3月中旬4月中旬 学习和消化资料，掌握几种图像置乱方法。4月中旬5月中旬 编写调试程序，进行实验。5月中旬5月下旬 对实验结果进行分析、比较，并完成论文初稿。5月下旬6月 初 提交论文初稿，经审阅合格后，返修定稿。3 工作量（1） 参考文献：20篇以上（至少含3篇外文文献）。（2） 论文字数：10000字15000字。 专业负责人意见签名：年 月 日数字图像置乱技术研究摘 要随着多媒体技术、信息存储技术和网络的发展，数字图像已成为人们获取信息的主要手段。网络上传输的数字图像是纷繁芜杂的，它们有可能涉及军事机密、商业秘密或者个人隐私，如何保护这些图像的安全已经成为各界广为关注的问题。数字图像的安全已经成为信息安全领域中重要的研究分支，而置乱技术在数字图像加密技术中起着不可忽视的作用。通过大量的文献资料，本文归结出数字图像置乱技术的发展历史、分类及如何衡量评价，又在系统地了解数字图像置乱技术原理的基础上，分析并总结了三种图像置乱方法及方案。首先对现有的图像置乱技术进行综述，然后重点介绍基于Arnold变换的图像置乱方法、基于抽样技术的图像置乱方法和基于队列变换的置乱方法，并对数字图像置乱技术未来可能的研究方向进行了展望。考虑到MATLAB工具软件在图像处理方面的优越性能，本课题选择了MATLAB6.5作为研究平台，所给出的M源代码均在其上测试通过。本课题的研究内容属国际相关领域的前沿课题，具有重要的理论意义和应用前景，所给出的方法与实验结果对图像置乱的进一步研究具有重要的参考价值。关键词： 置乱技术；Arnold变换；抽样变换；队列变换Research on the technology of digital image scramblingAbstractAlong with multimedia technical, the information storage technology and the network development, the digital image has become the main method the people gain the information. In the network transmits the digital image is complex unorganized, they have the possibility to involve the military secret, the business secret or individual privacy, how to protected the security of these images has already become the widely matter of concern from all walks of life. The security of digital image already becomes the important research branch in the information security, but set image scrambling to play the noticeable role in the digital image encryption technology.According to a plenty of documentations, the author sums up some content such as development history, classify and how to measure, and also show three algorithm after studying its principle. This topic first sets the technology of the existing image scrambling to carry on the summary, then the key introduction sets at the scrambling method based on the Arnold transformation image, the scrambling method based on the sampling technique image and transforms based on the formation, and carries on an outlook to the research direction of the image scrambling in the future. Considering the superiority of MATLAB on image processing, the experimentation use MATLAB6.5 as a study stage and the M-code presented could execute on it.This job on image scrambling is a forefront of its interrelated field and be filled with the theoretical significance and the direction in application. The method and the result shown in thisthesis are valuable for further study on the scrambling of digital image.Key words: scrambling technology, Arnold transformation, sampling transformation, transformation of brigade and row目 录摘要Abstract1 绪论11.1 数字图像置乱技术的背景及研究意义11.2 数字图像置乱技术的研究历史21.3 数字图像置乱技术的相关技术21.4 本文的结构安排32 数字图像置乱技术原理与技术52.1 数字图像置乱技术的基本概念52.2 数字图像置乱方法的分类62.3 图像置乱程度的衡量评价72.4 数字图像置乱技术具体实现方法82.4.1 基于Arnold变换的图像置乱方法82.4.2 基于抽样技术的图像置乱方法102.4.3 基于队列变换的置乱方法142.5 本章小结153 实验结果及分析163.1 MATLAB编程实现163.2 实验结果对比及分析174 总结与展望22参考文献致谢 数字图像置乱技术研究 本课题来源于国家自然科学基金资助项目1 绪论1.1 数字图像置乱技术的背景及研究意义图像作为人类认识和表达世界的基本方法，应用极为广泛，从古老的壁画、象形文字到今天的数字化视频，图像一直伴随着人类历史的发展。人们也期望从图像中得到直观的信息，“眼见为实”是再自然不过的事情。但是，在信息膨胀和普及的今天，事情并不是这么简单。随着多媒体技术、信息存储技术的飞速发展，以及网络带宽限制的放松，越来越多的数字图像得以在网络上传输，并逐步成为人们获取信息的主要手段。网络上传输的数字图像有些无关紧要，有些却至关重要，这其中有可能涉及到个人隐私、公司利益、军事机密、国家安全，其价值无法衡量。另一方面，Internet网络的日益普及使得任何人都有可能接触并搜集到网络中的图像信息，而不管它是善意的还是恶意的、合法的还是非法的，从而使得在网络上传输的图像安全倍受关注，对传输的数字图像进行可靠的加密处理，也就成为当前信息加密领域中重要的研究方向之一。古老的藏宝图可以被随意添加一些无用的信息和标注来增加破译的难度，而今天我们面对的是数字化的图像，能做的应该更多。图像作为直观的信息表达方式，具有很大的迷惑性。如果我们把数字化图像做一些“扰乱”，得到一幅完全杂乱无章、面目全非的图像，那么即使非法截获者注意到它，如果不知道如何恢复,对它也无能为力。这就在一定程度上增加了图像的安全性。置乱技术1就是这样一项研究课题,它从一维的单表密码扩展而来,应用到二维图像平面、甚至三维图像色彩空间中,扰乱图像的组成部分,破坏图像的自相关性,使得人眼无法从中提取有价值的信息，即使计算机用“穷举法”计算各种组合，也要耗费大量的时间，在一定程度上保护了图像信息。传统的密码学着眼于文本资料的加密处理，为数字图像的加密技术提供了最直接的理论依据，但是它常常考虑的是二进制流，忽略了图像的视觉效果，数字图像数据量大，要求加密实时性，传统的加密方法并不适合传统的计算机图形学着眼于图形图像的数字生成，又忽略了对图像的安全性研究。因此，研究针对数字图像的加密方法迫在眉睫。在诸多的数字图像加密技术中，置乱技术起着不可忽视的作用。此外，数字图像的置乱技术用于信息隐藏数字水印中，更增强了嵌入信息的不可感知性。数字图像与文本数据不同，它具有数据量大和自相关性的特点，针对数字图像的加密不仅可以在空间域(色彩空间、位置空间)上展开，同时也可以在数字图像的变换域(如频域)上进行。在图像加密中数字图像置乱起着不可忽视的作用，它类似于对数字图像的空间域进行如经典密码学对一维信号的置换，或者修改数学图像的变换域参数，使得修改后的图像成为面目全非的杂乱图像，从而保护了数字图像所要表达的真实内容。我们研究数字图像置乱的最终目的，并不只是停留在生成一副没有视觉意义的杂乱无章的图像，而是希望把它作为一种必不可少的辅助措施，应用到数字图像信息安全其它研究方向(信息隐藏、数字水印等技术)的预处理和后处理过程中，达到提高安全性的目的2。1.2 数字图像置乱技术的研究历史加密技术的研究己经有很长的发展历史，有许多性能良好的加密算法被广泛使用，如DES、AES、RSA等，但这些方案并不适合于图像加密，因为它们的应用对象主要是一维数据，而图像是二维或三维的，并且与一般的文本数据相比，图像数据信息量大且数据之间具有很高的相关度。为适应图像数据的这些特点，提高图像加密的效率和安全性，有许多专用的图像加密方案3被提出。任何事物都由好坏、高低之分，这些算法也是一样。算法加密的最终目的是为了保护被加密的数据不被非法人员识破或破坏。对于通常的数据加密算法，已经有许多评价其性能的指标，如：加密速度、扩散性、混淆性、抗攻击能力等。然而，对于图像加密算法来说，还没有比较完善的评价体系，来评价加密算法的好坏，或者说安全性能的高低。置乱技术的基本思想可以追溯到大约50 B.C，在高卢战争期间古罗马皇帝恺撒设计的恺撒码(通过把26个英文字母循环移位将明文转换成密文)，它可看成是经典密码学中最简单的一种加密思想置换密码4。即原始信息中的每个字母，按给定的固定的规则，依次用另外的字母代替。这种字母置换可以看成是一维数据流的值置换，从而达到保护信息的目的，之后逐步发展为密码本、多表代替等各种密码体制。早在2001年初，震惊世界的“九一一”事件发生四年多以前，美国发行量很大的报纸今日美国就曾刊登文章，指出本·拉丹及其同伙极有可能利用某些网站上的大量数字图像秘密传递与恐怖活动有关的信息，如指令、地图、攻击目标的资料等川。还有报道指出，一些著名的网站如eBay和Amazon等己成为传播隐写信息的隐蔽渠道。据说，首先将欧美科学家在隐写研究中取得的早期成果用于实践的就有基地和哈马斯等国际恐怖组织。另外，一些国家的警方也曾在恐怖组织的计算机内查获大量可疑图像和视频文件，据分析可能藏有与恐怖活动有关的信息。可见，数字图像的置乱技术已有很久的研究历史。1.3 数字图像置乱技术的相关技术图像具有表达直观,所含信息量大等特点,因而图像信息在存储和传输过程中的安全问题在信息安全问题中显得非常重要.针对近年来兴起的数字图像的安全保密问题,信息隐藏是其主要手段,分类如图1-1。信息隐藏技术的主要学科包括：(1) 隐秘信道对应的英文术语为Covert Channel，Covert可理解为“隐藏的、暗地里的5”，Channel在通信中理解为“信道、频道”的意思，因此Covert Channel可理解为“隐蔽的信道”。在此可称之为隐秘信道，是指这些通道一般被运用于不可信程序，当对别的程序执行操作时，将有关信息泄露给不可信程序的拥有者。而不是指这些信道平时是隐蔽的(不可见的)，因此，可称之为隐秘信道，而不是隐蔽信道。隐秘信道一般存在于多级保密系统的背景之中。(2) 伪装术伪装术，对应的英文术语为Steganography。从现代伪装术的分支来看，“隐写”只是伪装术分支之一技术伪装中的一种而己，Steganography应理解为“伪装”或“隐密”，建议使用“伪装”，因为“隐密”是隐藏秘密，而“伪装”是掩盖秘密，该技术更侧重于用载体去掩盖秘密信息6。伪装术是信息隐藏的一个重要学科分支。密码术从事秘密信息内容的保护，而伪装术从事秘密信息存在的隐蔽。信息隐藏伪装术图像置乱脆弱水印隐秘信道匿名技术基于技术不可见水印数字水印图像置乱可见水印置乱基于语义指纹数字水印鲁棒水印图 1-1 信息隐藏技术的主要学科框图(3) 匿名技术匿名，对应的英文术语为Anonymity，Anonymity可理解为“匿名、作者不明”。信息隐藏中的匿名技术就是设法隐藏消息的来源7，即隐藏消息的发送者和接收者。例如：收发信者通过利用一套邮件转发器或路由器，就能够实现掩盖消息痕迹的目的，只要这些中介环节不互相串谋。因此，剩下的是对这些手段基础的信赖。需要注意的是，不同的情况取决于谁要“被匿名”，是发信者，还是收信者，或是两者皆要。网上浏览等将问题集中于收信者的匿名，而电子邮件用户关心的是发信者的匿名。(4) 数字水印数字水印，对应的英文术语为Digital Watermarking，Digital可理解为“数字的”，Watermarking8理解为“水印”。数字水印是用以证明一个数字产品的拥有权、真实性，成为分辨真伪的一种手段。置乱技术在整个系统中的作用是，在信息被嵌入之前，对其进行置乱和加密是必要的，这样做是为了增加信息隐藏系统的健壮性、不可感知性和破译难度9。通过图中的联结可见置乱技术是与其他信息隐藏技术是有着密切联系，不能分开的。人们为了解决图像信息量大，编码困难的难题，从数学角度不断寻找算法。本文只涉及数字图像的置乱技术。1.4 本文的结构安排 本文主要探讨计算机图像领域内的数字图像置乱技术。全文安排如下: 第一章，绪论 介绍数字图像置乱技术的研究意义、以及相关研究历史。 第二章，数字图像置乱技术原理与技术 介绍了数字图像置乱的原理与技术，包括数字图像置乱的基本概念、图像置乱程度的衡量评价、以及数字图像置乱技术的分类。并列出了数字图像置乱技术的几种具体实现方法，其中有：基于Arnold变换的图像置乱方法、基于抽样技术的图像置乱方法、基于队列变换的置乱方法。第三章，实验结果及分析 通过MATLAB编程来实现数字图像置乱，对三种置乱技术进行分析和比较。第四章，总结与展望 是全文的总结，并对数字图像置乱技术的未来发展趋势进行展望。2 数字图像置乱技术原理与技术2.1 数字图像置乱技术的基本概念图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼并进而产生视知觉的实体。人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人心目中形成的映像。当前，人类正处在一个信息爆炸的时代，科学研究和统计表明，人从外界获得的信息约有70%来自视觉系统10，也就是从图像(例如，照片、动画、视像等)中获得的。因为图像作为一种载体其中含有大量丰富的信息。一幅图像(Image)可以是自然景物中物体的光强(例如，用一般照相机照的照片)，也可以是身体器官吸收特征的量化特征(例如X光照片)，或者是空中目标物的雷达波反射截面(雷达图像)，或者是一个区域的温度场(红外图像)，或者是重力场(地球物理图像)。客观世界在空间上是三维的，但一般从客观景物得到的图像是二维的。一幅图像可以用一个二维函数f(x,y)来表示，也可看作是一个二维数组，x和y表示二维空间XY中一个坐标点的位置，而f则代表图像在点(x,y)的某种性质F的数值。例如常用的图像一般是灰度图像，此时f表示灰度值，它常对应客观景物被观察到的亮度。需要指出，一般是根据图像内不同位置的不同性质来利用图像的11。日常见到的图像多是连续的，即f、x和y的值可以是任意实数。为了便于计算机处理和存储，需要将连续的图像在坐标空间XY和性质空间F都离散化。这种离散化的图像是数字图像(digital image)，在不致引起混淆的情况下我们用f(x,y)表示数字图像。如不特别说明，f、x和y都在整数集合中取值。数字图像与图像的关系简单讲是用一个网格把待处理的图像覆盖，然后把每一个方格中的图像的各个亮度取平均值，作为该小方格中点的值；或者把方格的交叉点处的图像的亮度值作为该方格交叉点上的值。这样，一幅图像变化成只用小方格中点的值来代表的离散值图像12，或者只用方格交叉点的值表示的离散值图像。数字图像置乱(Digital Image Scrambling)随着Internet技术的飞速发展，越来越多的信息在网上传播，而关系到个人隐私、公司机密乃至国家利益的信息安全问题便受到社会的普遍关注。图像是人们表达和获取信息的主要媒体之一，对数字图像的安全保密有更高的要求。例如，图像数据所有者在Internet上传输他所拥有的图像时,为了保护自身的利益，就需要对发送的图像通过可靠的加密技术进行处理；在远程医疗系统中，病人的照片等图像数据必须在加密之后才能在网上传输。于是图像的加密、隐藏技术就应运而生了。数字图像置乱技术是近年来研究得较多的一种图像加密方法，它既是一种独立的图像加密技术，又可以用于数字图像水印、数字图像分存的预处理和后处理过程。置乱技术利用数字图像具有的数字阵列的特点,搅乱图像中像素的位置或颜色使之变成一幅杂乱无章的图像13，达到无法辨认出原图像的目的。二维数字图像可以用一个矩阵表示,矩阵元素代表图像第行第列像素的灰度值。位置空间上的置乱实质上是由原图像矩阵到密图矩阵的一个矩阵变换： ,这里是置乱后的图像矩阵.置乱不改变原图像素的灰度值,密图与原图有相同的灰度直方图,但改变了原图像中像素的相邻位置,使得视觉系统无法从杂乱无章的图像中获得原图像信息，从而达到加密的目的。基于置乱的图像加密技术在恢复加密后的图像时一般采用相反的变换处理，因此是一种对称性变换。对称性加密的安全性依赖于加密算法，由于算法和密钥没有有效地分离，一旦加密方案被他人获取，则图像的保密性降低14。因此应设计出尽可能灵活多变的加密算法。2.2 数字图像置乱方法的分类数字图像置乱方法有很多种。若按置乱空间的不同来分，可分为基于位置空间的数字图像置乱和基于色彩空间的数字图像置乱，也可能是两者的结合。其中，大部分的数字图像置乱方法都是基于位置空间的置乱15，这些方法都能使图像变得“面目全非”，从而达到图像置乱的目的。黄石提出了一种基于灰度变换的置乱方法，其置乱思想来源于数字图像处理中的灰度直方图变换，针对图像像素值进行置乱，这种置乱方法有以下几个优点:(1)置乱算法可以采用密钥进行置乱，增加了破解的难度，提高了图像的安全性。(2)可采用传统流加密算法对图像灰度进行变换，研究空间更广泛，也可采用当前一些成熟的算法，如DES等。图像置乱效果较好，在达到相似效果的前提下，运行时间更短。该文使人们意识到置乱技术不仅可以考虑图像的像素位置置乱，像素灰度值也可以进行置乱处理。但是基于灰度空间数字图像置乱对JPEG2000压缩、高斯噪声、图像丢失等一般的攻击的健壮性差。从矩阵理论与方法的角度的来分，可分为基于排列的和仿射变换的数字图像置乱。其中，仿射变换的数字图像置乱的算法16比较多。Arnold变换也是仿射变换的一种，讨论了平面上Arnold变换的周期性，计算了不同的阶数N下Arnold变换的周期,把Arnold变换应用于数字图像置乱，对位置空间和彩色空间做了实验测试,把二维Arnold变换推广到了三维空间;给出了一般的非线性模变换有周期性的充分必要条件，讨论了平面上Arnold变换的周期性问题，给出了判别周期的一组必要条件，从理论上对Arnold变换的周期性有了更深的认识;将Arnold变换推广到高维，给出了高维变换具有周期性的充分必要条件，并讨论了该变换的置乱效果。基于Arnold变换的数字图像置乱方法17简单易行，基本达到置乱的目的，但较易从其纹理看出是通过Arnold变换进行的预处理，并且需要进行多次重复置乱才能达到满意的效果，此外还要考虑到其置乱变换的参数少，使得用于图像置乱时的密钥量小，算法中的取模(mod)运算，也增大了算法的计算复杂度。柏森提出了一种仿射变换的置乱技术，该技术避免了取模运算，且其逆变换有简洁的解析表达式，无需进行周期次数的迭代即可恢复图像。其置乱效果好且计算时间复杂度低。但是仍需对文献中所提出的猜想做详细证明，对各种图像尺寸的周期进行详细估算等等。此外，他还进一步研究了另一类新的置乱技术-基于几何中仿射变换的思想的亚仿射变换，给出了亚仿射变换的性质，讨论了亚仿射变换的周期性，得出了亚仿射变换构成变换群、亚仿射变换具有周期性等结论。该置乱技术不仅增加了置乱时的参数选择，而且有很好的置乱效果，对于机密图像的置乱加密有一定的应用价值。吴昊升给出了两种基于排列变换的图像生成方法基于采样理论和基于几何运算的排列变换。但前者使得变换后的图像“在视觉上通常具有基本上相同的形态”，达不到置乱加密的要求，后者推广了Arnold变换，却没有克服取模(mod)运算，文中所提出的排列变换，实质上是图像在像素平面上各个像素重新进行一次排列，文中没有给出一般性的具有很好置乱效果的排列变换构造方法。对于混沌系统来说，不同的系统可以产生不同的随机序列，即使对于同一系统，如果参数不同其混沌特性也不同，因此可以作为混沌加密系统18的密钥。另外由于混沌系统对初值的敏感性，甚至是在系统和参数完全相同的情况下，不同的初值也可以得到不同的随机序列，另有研究表明非线性动力学系统在一定的控制参数范围内会出现混沌现象，产生的混沌序列具有确定性、伪随机性、非周期性和不收敛等性质，并且对初始值有极其敏感的依赖性。由此可以看出，用混沌序列对图像进行置乱具有随机性好、保密性以及复杂性高，抗攻击性强，从而得到很好的保密安全性。根据非线性动力学系统的Logistic映射，可生成混沌序列，从而得到一种新的置乱方法-魔方变换。还可以先由密钥生成实数值混沌序列，然后将其通过离散映射生成相应的符号矩阵和置换矩阵，最后，在变换域利用其进行数字图像置乱方法，可获得好的效果。研究者还讨论了一种以实数值混沌序列为基础，进行图像置乱变换的方法，算法简单、速度快、安全性高，可利用指数性混沌序列来产生两个密钥序列，然后分别把它们映射到区间(但不改变混沌特性)，进而应用这两个密钥序列所组成的矩阵作为加密模板设计加密算法，并把加密算法应用于灰度图像数据加密。从上面的所描述的数字图像置乱的分类来看，大部分提出的算法都是基于位置空间的置乱，基于色彩空间的置乱比较少，尽管很多基于位置空间的置乱可直接应用到色彩空间，但其健壮性不太令人满意，还有提高的空间，同时算法的健壮性的讨论不多，有必要讨论各种算法的抗攻击力(如JPEG2000压缩、高斯噪声、数据丢失等)。2.3 图像置乱程度的衡量评价数字图像可看作是一个矩阵，这个矩阵的元素有其特殊性，这就是相关性19，即距离相近的元素，其代表的图像信息如灰度值，RGB分量值等相差不大。根据这一性质，可以知道图像置乱程度的大小与加密后图像的相关性有关，相关性越小说明置乱程度越高，反之越低。图像的相关系数，可以直接反映任意两个像素之间的相关性，也就是在统计平均的意义上来计算它们之间的相似程度。自相关系数平均值的曲线基本上呈指数规律衰减，即表明了相邻像素之间存在的相关性随着两者之间的距离增加而迅速减小。显然与原始图像相比，置乱图像相邻元素的灰度值差值越大说明它的相关性越小，从而置乱程度也就越好。置乱程度： (2-1)其中：为原始图像，为加密后的图像，和分别为图像的水平，垂直，主对角线，次对角线线相邻元素差值的平方和。即：对于一般的自然图像，由于存在较平滑的区域（灰度值差别小），而图像置乱加密破坏了这种平滑的区域。因此，一般地，有。因此容易证明如下的性质。性质1：。性质2：当图像没有置乱时，。现实操作中的图像置乱是无法做到的，它是一个理想化的置乱度，即所谓的完全置乱。而且，一个好的置乱算法不能把图像置乱程度作为唯一的衡量标准，还要看是否能抵抗各种各样的攻击，包括统计攻击，穷举攻击等。不然前面所讲的置乱图像会被还原，信息被他人窃取，置乱的工作都是徒劳的。2.4 数字图像置乱技术具体实现方法2.4.1 基于Arnold变换的图像置乱方法Arnold变换是Arnold在遍历理论研究中提出的一种变换，俗称猫脸变换，原意为cat mapping20。设想在平面单位正方形内绘制一个猫脸图像，通过如下变换： (2-2)这个猫脸图像将由清晰变模糊，这就是Arnold变换。注意到式(2-2)定义的Arnold变换实际上是一种点的位置移动，并且这种变换是一一对应的。此外，这个变换可以迭代地做下去。(1)基于Arnold变换的数字图像位置置乱对于数字图像来说，可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值，这样我们就得到了一个表示图像的矩阵。矩阵中元素的值是对应点处的灰度值或RGB颜色分量值。对于正方形数字图像，我们有离散化的Arnold变换其中N为图像的宽度和高度。对于数字化图像而言，我们所说的位置移动实际上是对应点的灰度值或者RGB颜色值的移动，即将原来点处象素对应的灰度值或RGB颜色值移动至变换后的点处。如果我们对一个数字图像迭代地使用离散化的Arnold变换，即将左端输出的T作为下一次Arnold变换的输入，可以重复这个过程一直作下去.当迭代到某一步时，如果出现的图像符合我们对图像的“杂乱无章”标准的要求，这即是一幅置乱了的图像。需要注意的是，Arnold变换具有周期性,即当迭代到某一步时，将重新得到原始图像。Dyson和Falk分析了离散Arnold变换的周期性，给出了对于任意N>2，Arnold变换的周期TN N2/2，这也许是迄今为止最好的结果了。图2-1是Arnold变换周期与图像尺寸N之间的一个简单示意图。事实上,对于二维平面上的位置变换来说，可以由Arnold变换推广出一类变换，满足这种“位置移动”的要求。齐东旭等证明了对于如下2×2矩阵： (2-3)当其元素满足时，它对平面坐标的变换可作为一种置乱变换。周期图像尺寸图2-1 Arnold变换周期和图像尺寸关系图(2)基于Arnold变换的数字图像色彩置乱 齐东旭等将Arnold变换推广到高维情形，相应的变换矩阵为： (2-4) (2-5)这就给定了一种在N维空间上离散网格点的移动方式。对于图像的色彩空间而言，在这里我们提出两种基于推广的高维Arnold变换的置乱方式。基于RGB色彩空间的图像置乱 RGB色彩空间可以看作是三维空间中的一个正方体，其中一个顶点位于坐标原点。由于通常计算机中表示的RGB颜色分量都是整数，所以我们使用的实际上是这个正方体中的离散网格点：。 对于如上表示的RGB颜色，我们使用扩展三维变换在这个三维网格上做置乱，达到对图像的RGB颜色进行置乱的效果。 (2-6)对于RGB色彩空间，如果我们迭代地运用式(2-6)的变换，完全可以通过计算确定其周期为448但是对图像而言，因为不同的图像可能的色彩组合排列不尽相同，所以我们只能认为这个周期是这种变换下的一个上确界。此外,这种置乱的一个问题是：对于不同位置的同一种颜色无法进行置乱。因为其R，G，B分量值是固定的，所以经过这种置乱变换(无论多少次迭代)后，这些不同位置点的颜色仍是一样的，这样就产生了原始图像(特别是颜色数比较少的图像)轮廓可见的问题。对这个问题的一个简单的改进是采用下面的置乱方法。即基于数字图像行、列的色彩空间置乱对于一个数字图像F，可以将它表示为一个函数在矩形网格点处的函数值：，即数字图像可以表示为如下矩阵：对于RGB色彩而言，。以列为例,我们选取如式(2-4)定义的N阶扩展Arnold变换矩阵A,做如下变换：即可得到一幅置乱图像。将左侧的输出列放回到原始图像的相应位置，还可以迭代重复此过程。对于N维空间的扩展Arnold变换，其周期计算要复杂得多。而且由于图像不同行，不同列，可能的色彩值有不同的组合排列，这导致要恢复原始图像需要完成的变换次数很大，而且难以确定,给破译造成了困难。显然，采用这种基于Arnold变换的置乱方法，即使是同一种颜色，只要它出现在图像的不同位置，就会生成新的颜色。这就使图像变得更加混乱，从而达到我们的要求，弥补由于RGB色彩空间的三维颜色置乱带来的不足。2.4.2 基于抽样技术的图像置乱方法从抽样理论来看，数字图像是二维连续曲面L按照某一间隔和某种策略进行抽样所得的一个二维离散点阵21。为了描述抽样，可先定义和的抽样过程，然后将其推广到的抽样过程。抽样过程(1)抽样过程原始图像用矩阵A表示，大小为时，把矩阵A中的奇数(被2整除余数为1)列抽出来排成矩阵B，把偶数(被2整除余数为零)列抽来排成矩阵C，再把矩阵B和C组合成A，A=B C。设矩阵A的列号为，则经过按上述的列抽样后排成；然后按行抽样同样做一次就完成了抽样。时，除最后一列，最后一行不变外，其它同时一样。示例图如下: 取一个的方块，用1到16的数字填满。123456789101112131415161324576891110121315141613245111089761213151416列抽样行抽样图2-2 抽样示意图若令则以上的抽样可描述为：示例图的抽样过程可表示为: ， 为原始图像。当图像大小为时，矩阵X可表示为(下标表示所在列的位置)当N为偶数时，有: (2-7)当N为奇数时： (2-8)因此抽样过程可表示为：, 其中为原始图像。(2)抽样过程若图像大小N被3整除余数为零，把原始图像先按列分成3个的矩阵B， C，D，矩阵B为能被3整除的列号所组成的矩阵，C为被3整除余数为1的列号所组成的矩阵，D为被3整涂余数为2的列号所组成的矩阵，然后按BCD重排成矩阵A，即A=C D B，再按行号同样做一次，就完成了抽样过程。假设矩阵A的列号为1, 2, 3, 4, 5,3n-2, 3n-1, 3n，按列抽样后列号重排为1, 4, 7,3n-2, 2,5,8,，3n-1, 3, 6, 9,3n若图像大小N被3整除余数为1，则最后一行，最后一列不变，其余和N被3整除余数为零时一样。若图像大小N被3整除余数为2，则最后两行，最后两列不变，其余和N被3整除余数为零时一样。示例图如下：抽样162534192420232122712811910253026292728131814171516313632353334163452712910118131815161714192421222320253027282926313633343532图2-3 抽样示意图定义了和抽样过程，可以把其思想推广到抽样。(3)抽样过程 令，余数为, ，余数为，如果时，则最后列，最后行不变，剩下的按能被, 整除()时抽样。 当时，抽样过程可描述如下 把原始图像按列号分成，i=1，2，g，表示列号被整除后的余数为的矩阵，则再排行号把矩阵分为， 表示行号被整除后的余数为的矩阵。则，这样就完成了抽样。 若令，其中 (2-9)