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专题讲座初中数学复习课教学的研究王玉起 北京市朝阳区教育研究中心 复习课是根据学生的认知特点和规律，在学习的某一阶段，以巩固、疏理已学知识、技能，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力为主要任务的一种课型。 其目的是温故知新，查漏补缺，完善认知结构， 促进学生解题思想方法的形成， 发展数学能力，促进学生运用数学知识解决问题的能力。 复习课是教学中的重要组成部分，其内容、形式、操作方法都与新授课有着鲜明的不同之处。平时教学中点状、零散的知识需要系统化，成为线状、网状。平时学生所学知识的疑惑点需得以澄清，平时所学知识中重要的思想方法需加以提炼，通过复习课能更好的完成上述教学任务，如果说新授课是 “ 画龙 ” ，复习课则是 “ 点睛 ” 。 一个教学阶段的前、中、后或各种考试之前常需要进行复习，比如：课前、课中的随机性复习，章、节的终结性复习，期中、期末的考前复习，中考总复习等。 在课程改革的不断深入中，怎样发挥好复习课的功能？上复习课时应注意哪些问题？一些教师了解不详。针对现阶段初中数学课堂教学中复习课所存在的一些现象，以及广大教师对数学复习课研究的不够系统等现象，我们提出了本课题，力争在数学复习课教学的研究方面给大家一些帮助。 问题提出 复习课中存在的主要问题： 1 对知识的单纯重复，只 “ 温故 ” 而不 “ 知新 ” ； 2 忽略基础，盲目拔高； 3 对复习课没有明确、合理的设计理念； 4 复习课与习题课混而不清； 5 复习课的操作模式单一。 由此造成学生对知识得不到更深刻的理解，能力得不到更好的提高，学习效果无明显进展。 在复习阶段， 如果我们能够转变教学理念，恰当地调整教学设计，帮助学生建立良好的知识体系，就能使复习课的效率 “ 事半功倍 ” 。 解决问题 以下结合复习课的功能，提出一些教师教学行为方面改善的建议。 （一）查漏补缺，矫正偏差，巩固基础。 复习课的教学要根据课程标准的要求，巩固基础知识，对学生掌握知识和技能情况进行查漏补缺，对学生的数学思想、思维方法等方面查漏补缺。 有些复习课占用大量时间采用背诵、默写、齐读、罗列等形式对概念、公式、法则、定理等进行简单重复和再现。这样不利于学生对所学知识的再认识和深入理解。我们可以尝试用下面的办法进行复习： 1. 以小题带概念 复习不是让学生简单重复、再现已学的概念、公式、法则、定理等，而是精心设置一些题组，以带动概念的复习，使学生在具体的题目情境中对所学知识进行再认识，同时加深对知识应用的理解。 例如：例 1 ：一次函数的复习课 (1) （ 1 ）下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数： （ 2 ）一次函数 y =2 x -4 的图象经过 _ 象限； y 随 x 增大而 _ ； 图象与 x 轴交点坐标 _ ，与 y 轴交点坐标 _ ；求图象与 x 轴围成的三角形面积； 当 x 在什么取值范围时 y 0 例 ： 一次函数的复习课 (2) （ 3 ）函数 y=2x-4 与 y= -x+2 的图象的交点 M 坐标是 _ （ 4 ） 与一次函数 y=2x-4 平行且过（ 0 ， 5 ）点，求这个函数的解析式 _ 用类似的小题复习一次函数和正比例函数的概念，总结一次函数的图象及性质，一次函数与 x 轴， y 轴的交点坐标，理解两直线平行 K 相等，理解函数与方程不等式之间的关系等基础知识，避免学生感到大量文字概念、性质的乏味。 例 2 ： 圆周角定理复习课 通过题组式小题熟练圆周角定理，识别基本图形，掌握解题方法。让学生明确要求圆周角的度数就要找到同（等）弧所对的圆周角或者圆心角。通过这一组有代表性和能说明问题的典型习题，突出圆周角定理的应用，反映新课标关于圆周角定理的内容和要求，通过它们学生会清楚知道哪些内容是必须掌握的知识。 例 3 函数复习课 判断函数图像的题组引入： （ 1 ）分别说出下列图象所表示函数的增减性。 （ 2 ）分别说出下列图象所表示函数的自变量的取值范围和最值。 （ 3 ）下列图象中，符合函数 y=kx+b(k 0,k,b 为常数 ) ，其中 0 x 2 的大致图象是（ D ） （ 4 ）下列所给图象中，符合函数 ，其中 x0 的大致图象是（ B ） 这组习题选择的是由函数图象和性质组成的题目，对落实双基具有典型的意义。并且标题中有明确的知识指向性，提示学生要注意的问题，能让全体学生轻松把好 “ 基础关 ” 2 展示学生近期作业、练习中的错误。 平时注意搜集学生解题时常犯的错误，复习课时以改错形式重现，通过辨别达到巩固基础，查漏补缺的目的，再类比改编题目，加强对知识的正确理解。 通过这样的辨别，帮助学生查出漏洞，正确计算负指数次幂，零次幂，绝对值，合并同类二次根式及特殊角三角函数值，也可以再选取类似下面的练习题强化。 如：下列计算正确的是（） 在复习课中，需要注意错误率比较集中的问题，做好改错反思：错例是澄清概念的最好素材，因此我们要认真地分析、矫正错例。 （二）加强知识之间的横纵向联系，促进知识条理化。 无论是哪种类型的复习课， 教师都需要引导学生按一定的标准对 所学的零碎知识 进行梳理、 归纳、 整合，作不同角度的分类，弄清它们的来龙去脉，沟通其纵横联系，从整体上把握知识结构。 教师可以引导、帮助学生进行知识梳理，让学生课前采用结构框图、表格、树状图、大括号图等形式梳理知识，让学生了解所学的内容之间的联系，并发展其归纳能力。教师展示学生的梳理情况，并补充完善知识体系。 例如：第七章三角形的复习课学生课前的活动任务是：系统梳理本章的知识点和思想方法，按三角形概念和分类、性质、应用（数学应用和生活应用）三方面梳理。 课上老师根据学生的梳理完善。 等到学完了全等和轴对称，要对三角形的相关知识进行更系统的复习，纳入更大的知识体系，可以以三角形的两种元素 边和角为 “ 主杆 ” ，引出三角形的分类及边与边、角与角、边与角的相互关系等 “ 分枝 ” ，继而得出各个概念、定理等 “ 树叶 ” ，这样将主要的知识点串连起来，制作如下 “ 树型 ” 知识结构示意图： 以上两个结构框图经过学生自主归纳、课堂交流、教师指导得出，有效地帮助学生梳理了所学知识，改善了平铺式的教师展示模式，让知识结构的归纳更加有意义。（三）深化提炼数学思想方法。 数学的学习是从厚到薄，又从薄到厚的过程，复习的目的不仅是要使知识系统化，还要对所学的知识有新的认识，对解题的思想方法进行归纳或提炼，使方法系统化，让不同层次的学生都有不同的程度的提高。例如： 第七章三角形的复习应深化转化思想、方程思想以及分类讨论思想。 问题 1 一个零件的形状如图所示，按规定 A 应该等于 90° ， B 、 D 应分别等于 20° 和 30° ，李叔叔量得 BCD=142° ，就断定这个零件不合格，你能说出其中的理由吗？ 这是一个生活中的应用问题，零件形状是凹四边形，是我们一般不研究的图形，可是你为什么能这么快的解决这个问题呢？因为你学会了把它转化成你熟悉的三角形问题。连接 AC 并延长，利用三角形外角与内角的关系可知 练习 1 如图， ABC 中， A 40度 ， 把 ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部的 A'处时，求 1 2 的度数，并说明理由。 连接 AA', 转化成三角形。把这个问题一般化，任意三角形一角折起， 1 2 与 A 有什么数量关系？ 练习 2 如图， A+ B+ C+ D+ E+ F _. 连接 BC 把这个不规则的图形转化成四边形。 练习 3 已知多边形的每一个内角都等于 160° ，求这个多边形的边数。 两种方法解决：（ 1 ）利用多边形内角和公式 180 （ n-2 ） =160n ；（ 2 ）内角转化为外角，每个外角都等于 20 度，则 360÷20=18 因为外角和与边数的多少无关，固定是 360 度，所以转化为外角解决这个问题更简单。 问题 1 及练习 1 、 2 、 3 的目的是深化转化的思想方法。 问题 2 在 ABC 中，如果 A=3 B=6 C ，求三角形各角的度数。 三个角的度数都是未知的，但知道它们之间的关系，只要想到了设 x ，这个问题很容易解决，如果不设 x ，就很难解决。所以不仅要在解代数应用题时有设 x 的意识，在几何问题中，求角度、求线段长时同样要有设 x 的意识。 练习 4 如图，在 ABC 中， AB=AC BC ，周长为 15cm ， AC 边上的中线 BD 把 ABC 分成周长差为 3cm 的两个三角形，求 ABC 各边的长 。 问题 2 及练习 4 的目的是深化方程思想。 问题 3 在 ABC 中， AB=AC ，周长为 15cm ， AC 边上的中线 BD 把 ABC 分成周长差为 3cm 的两个三角形，求 ABC 各边的长 . 比较问题 3 与问题 2 有什么区别？ 没有图，腰与底的大小关系不确定，有两种情形（有瘦高型和矮胖型两种等腰三角形），分类讨论。 练习 5 如果一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 5 ，则它的周长为 。 如果一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5 ，则它的周长为 。 两边长没有明确是底还是腰，所以要分类讨论，还需注意能否组成三角形的问题。 练习 6 在 ABC 中， B=30° ， AD 是 BC 边上的高， AD 与边 AC 的夹角是 20° ，求 BAC 的度数。 没有图，高的位置不确定，有两种情形，也需注意分类讨论。 问题 3 及练习 5 、 6 的目的是深化分类讨论的思想意识。当图形不确定时需要注意分类讨论。 （四） 提高实践应用能力复习不是简单的重复， 系统化不是复习的最终目的， 它的最终目的是 促使学生将所学知识内化迁移、 举一反三、触类旁通， 综合 运用知识解决 实际 问题， 培养学生创新意识和实践能力，提高学生的数学思维品质。可以安排例题变式，如再探线段和差问题的例题变式设计： 问题 1 已知：如图，等边 ABC 的高为 5 ， D 是 BC 边的中点， DE AB ， DF AC ，垂足分别为 E 、 F 。 求： DE+DF 的值。 这个问题比较简单，是线段和问题的特殊情形，巩固基础知识，引出直接计算法，又可以给后面的一般问题搭台阶。 问题 2 已知：如图，等边 ABC 的高为 5 ， D 是 BC 边上的任意一点， DE AB ， DF AC ，垂足分别为 E 、 F 。 求： DE+DF 的值。 这个问题从特殊到一般，从有具体数值的线段和问题，过渡到后面的抽象定值问题，渗透极端位置猜想法。 让学生一题多解，探索讨论，体会多角度看图形的乐趣提高发散思维和创新思维能力，提高学习兴趣，培养刻苦钻研精神。 问题 3 已知：如图，等腰 ABC 中， D 是 BC 边上的任意一点， DE AB ， DF AC ，垂足分别为 E 、 F 。 求证： DE+DF 为定值。 总结：及时引导学生归纳线段和问题有哪些解决办法： （ 4 ）面积法 思路：看见垂线段 可以作为高 想到利用面积。 拓展 1 等腰钝角三角形的情形： 拓展 2 ： 点 D 运动到 BC 延长线上的情形： 拓展 3 ： 求证：等边三角形内一点到三边的距离之和为定值。并把这个问题再拓展。 一题多问，有利于巩固基础知识，更系统的掌握本单元的基本知识点以及知识点之间的联系。 一题多解，对同一问题尽可能鼓励学生超越常规，从不同的角度入手，寻找不同的解题途径，有利于知识、方法的融合贯通，活跃学生的思维，激发创造性。 一题多变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能，激发学习兴趣，培养发散思维和创新能力。 一题多思，引导学生多侧面，多角度，多渠道的思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效训练学生思维的完备性、深刻性。 又如，已知：如图， ABC 中， AB=AC ， D 是 AB 上一点， E 是 AC 上一点， DB=CE ， DE 交 BC 于 F ，求证： DF=FE 。 此例是一道典型的一题多解的传统题 ， 揭示了证明思路上重要手法，利用平行构造全等、平行四边形、相似等，给学生提供了开宽的思维空间，具有较强的示范性本例主要有如下三类证法： （ 1 ）构造全等三角形：过 D 作 DG AC 交 BC 于 G ，证 DGF ECF （或过 E 作 EG AB 交 BC 的延长线于 G, 证 DBF EGF ） ； （如图 (1) ） （ 2 ）构造平行四边形：过 D 作 DG AC 交 BC 于 D ，连结 DC 、 GE, 证 DG 与 CF 平行且相等得平行四边形 DGEC ，再用平行四边形性质；（如图 (2) ） （ 3 ）过 D 作 DG BC 交 AC 于 G ，证 C 是 GE 的中点，（或过 E 作 EG BC 交 AB 的延长线于 G ，证 B 是 DG 的中点）应用平行出相似。（如图 (3) ） 复习课还应注意的问题 1 复习课教学目标的制定应该建立在对前期教学效果及学生学习现状的回顾与反思的基础上制定，目标要力求准确、具体、有针对性。 2 要面向全体学生 教学设计的每个环节都要注意照顾各层次的学生，习题训练或考试最好有针对性的编制分层题目，让各类学生都能倾其所学、尽情发挥、各得其所。 3 留给学生思考的时间与空间 问题是思维的核心，只有提出了有一定深度的问题，才能引发学生的积极思维，思考需要时间，带有思考性的问题要给学生时间，先让他们独立思考，再进行师生、生生交流才能有效培养各类学生的数学能力。 许多复习题目是从同一道题中演变过来的，其思维方式和所运用的知识完全相同。如果不掌握它们之间的内在联系，就题论题，那么遇上形式稍为变化的题，便束手无策，教师在讲解中，应该引导学生对有代表性的问题进行灵活变换，使之触类旁通 , 培养学生的应变能力，提高学生的技能技巧，可从以下几方面入手： 寻找其它解法； 改变题目形式； 题目的条件和结论互换； 改变题目的条件； 把结论进一步推广与引伸； 串联不同的问题； 类比编题等。【课题：一次函数的应用】教 学 任 务 分 析 教师 北京市民族学校 日期 教 学 目 标 1. 复习一次函数的基本性质。 2. 利用数形结合探究一次函数图象与实际意义的对应，体会函数图象所反映出的函数性质。 3. 通过小组出题、编题、讲题，增强学生间的交流、合作意识和研究能力。 重点 探究一次函数图象在实际中的应用 难点 一次函数图象的辨析 教学方法 探究式学习法 教具 多媒体 学情分析 因学生入学方式的不同，使得学生差距较大，大部分学生基础较差，归纳能力，和语言表达能力相对较差。因此本节课教学设计重点关注以下问题： 1. 利用课下小组交流合作的方式。让基础好的同学带动基础相对差的学生学习。 2. 教学内容以基础知识为主体，并通过习题渗透数形结合的思想。重在落实。 3. 以学生为主体，锻炼学生的总结归纳能力和表达能力。 教 学 流 程 安 排 活动流程图 活动内容和目的 活动 1. 基础测试   活动 2. 能力展示     活动 3. 综合运用     活动 4 . 归纳小结 通过设置的问题，对一次函数的性质进行归类复习。 以小组为单位，对一次函数在实际问题中的应用，进行分类研究。 通过编题，促进学生对函数与实际问题的联系，增强函数图像的辨析能力。 师生共同小结本节课的内容 教 学 过 程 设 计问题与情境   师生行为 设计意图   活动 1. 基础练习                                           活动 2. 小组展示   各小组将课前 准备的题目展示出来，待其他小组解答后，进行适当讲解                                                             活动 3. 综合运用           活动 4. 归纳小结   教师出示题目 , 学生独立回答 , 并说明理由 ? 练习 1 ：已知函数 y=(k-2)x |k|-1 +b(k 为常数 ) 是一次函数 , 则 k=_, 若此函数是正比例函数 , 则 k=_,b=_. 练习 2 (1). 一次函数 y=2x-4 的图象经过 _ 象限 (2)y 随 x 增大而 _ (3) 图象与 x 轴交点坐标 _ 与 Y 轴交点坐标 _ (4) 图象与 X 轴围成的三角形面积 ? (5) 当 x 在什么取值范围 内 y 0 (6) 函数 y=2x-4 与 y= -x+2 的图象的交点 M 坐标是 _. (7). 与一次函数 y=2x-4 平行且过（ 0 ， 5 ）点，求这个函数的解析式 _   学生展示课前给学生布置的复习内容 . 分成小组研究 : 在实际问题中的一次函数图象 第一组 : 一个一次函数图象实际问题的联系 . 第二组 : 分段函数的图象与实际问题的联系 . 第三组 : 两个一次函数的图象与实际问题的联系 . 小组展示后，教师与学生共同对各题进行分析、评价。   教师提供练习： 、 2004 年 6 月 3 日中央新闻报道 , 为鼓励居民节约用水 , 北京市将出台新的居民用水收费标准 : 若每月每户居民用水不超过 4 立方米 , 则按每立方米 2 元计算 ; 若每月每户居民用水超过 4 立方米 , 则超过部分按每立方米 4.5 元计算 ( 不超过部分仍按每立方米 2 元计算 ). 现假设该市某户居民某月用水立方米 , 水费为元 , 则与的函数图像是 （） 3 。假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的关系如图所示，那么下面说法正确的是 ( ) A 甲比乙先出发 B 乙比甲跑的路程多 C 甲、乙两人的速度相同 D 甲先到达终点   。根据下面图象想象一个符合图中所刻画的关系的实际情景，并把它描述出来。 。根据你编实际情景还能得出哪些信息 。 教师提示： 1注意图象中的数据。 应符合现实生活。 2 所编的实际问题应符合函数图象信息。 课堂小结： 1 对函数图像你有了哪些新的认识？ 2 结合自己学习的实际情况，说说你对函数图像还有哪些疑惑？     对一次函数进行系统的复习     复习一次函数和正比例函数的概念 . 2 、 总结一次函数的图象及性质。 、一次函数与 x,y 轴的交点 . 、理解两直线平行 K 相等。 、理解函数与方程的关系 . 、理解函数与不等式之间的关系。           学生小组展示汇报。生生交流、师生交流研讨一次函数图象在实际问题中的运用。                     通过练习再次讨论函数图象、函数性质与实际问题的联系                   讨论： 函数图象反映出的实际问题的意义。 提高学生理解实际意义与对应的函数图像的辨析能力。 通过小组编题，学生间的交流增强对函数图像及函数意义的理解。     通过小结明确本节的主要内容、思想和方法，培养学生善于反思的良好习惯。 板书设计 一次函数的应用1 形式： y=kx+b(k 0) 2K 代表方向 3b 代表与 y 轴交点的纵坐标 4必过（ 0 ， b ） (-b/k,0) 5 实际问题 数学问题    【案例评析】本课教学以学生为本，结合学生的自主学习，尊重学生的个性思维，创造性地使用教材，让现代化的教学走进课堂。本节课主要内容是复习一次函数的基本概念和一次函数图像的一些应用。 本节课先以一组小题为载体，对学生进行了一次函数基本概念的复习，这种“以小题带概念”的复习方法，省时且实效性强。学生通过适量的题组练习，不仅使学生快速的回顾了一次函数的有关知识，而且避免了机械记忆，节省了课堂时间。 对于复 习课来说，学生对知识本身的吸引力有所减退，因此应该力求教学方法的多样性。本节课采用的主要方式是学生展示、交流和教师讲解相结合的 方式。 教师提前给学生布置了复习一次函数的任务。 （第一组 : 一个一次函数图象与实际问题的联系 . 第二组 : 分段函数与实际问题的联系。第三组 : 两个一次函数图象与实际问题的联系。） 学生利用课下时间对一次函数进行小组研究。筛选出函数图象与实际问题相互联系的题目作为课上的例题， 在学生复习了一次函数的一些概念后，分组展示例题，待全班学生独立解答后 ，由小组代表进行讲解，他们通过例题总结函数图象的特征。这种分组练习、汇报讲解的教学方式收到了很好的复习效果。此种复习方式有几点好处： 1 ）利用充足的时间进行课下小组研究。节约了课堂上的时间，使得课堂的容量加大，有利于课上复习的充分性。 2 ）学生在搜集材料和整理材料的过程就是复习的过程。 3 ）能够锻炼学生的各方面能力。如归纳能力、表达能力等。 4 ）利用另外一种方式教学，学生感觉新鲜增强兴趣，可以调动学生学习的积极性。 5 ）同时也提高了其他学生的听课积极性。 学生经历课前复习，课上交流等过程，对一次函数的概念、图象、性质、与实际问题的联系等有了进一步的认识，在能力的提高、思维的转化方面都有了新的进展。 值得商榷的问题；学生课前分组复习，所选例题的典型性，实际意义的吻合性等都需教师提前审核，教师课前的准备时间能否充分。 参考资料如何上好初中数学复习课随着素质教育改革的不断深化，我们的课堂教学也在不断地发生变化。数学复习课是数学的重要课型，复习绝不是对旧知识的简单重复，而是学生认识的继续、深化和提高，复习课上得好不好 , 关系到教学质量能否提高 , 学生素质能否增强。本人从多年的教学实践中认识到，复习课应该把复习过程组织成学生再认识的过程，从更高的角度掌握和理解已学过的知识和技能，进而提高他们的数学能力。 阶段性复习，通常是指一个知识点或一个单元结束时的复习。上好这一类的复习课，对学生学好数学，增强综合应用能力，发展思维能力是极其重要的；同时对教师弥补教学中的欠缺，提高教学质量也是不可缺少的环节。真正上好阶段性复习课，要求教师不重复旧课，不均匀用力，要根据平时的反馈积累 , 结合学生的弱点，注意突出基础知识，突出知识的重点和解决学生的难点。阶段性复习要给学生自主的复习空间，给学生自主权。我常采用如下模式： 1. 复习课知识的梳理 复习课首先进行知识的梳理，往往内容较多，关系复杂，教师在课上怕浪费时间往往包办代替，我通常在上复习课前一天布置一次书面作业：让学生根据自己的理解来复习章节知识，根据自己的喜好用自己的方式来整理章节知识，第二天上课时从学生作业中挑选一部分 “ 优秀作品 ” 进行展示、欣赏、交流、评析。一次基础知识的总结、比较，就是一次复习，不同形式的展示，就有不同的感受，学生的印象也很深刻。 2. 复习课例题的讲解 （ 1 ）例题的来源：第一类是学生作业中易错的题。平时我有一个记载本，每次作业批改后，我认真记录学生作业中错误的题目及错误的原因，复习时我从记载本中选择具有典型性的错题，让学生先练，让再次出现错误的学生说出或写出他的想法，由学生评讲、分析错误的原因，这样容易激发学生的兴趣，学生在纠正过程中易于接收，学生爱讲、爱听，效果要比教师讲好得多；第二类选择综合性较强但不一定繁的例题，题目设计到的知识点要尽量覆盖复习的内容，有一定的综合性，能体现 “ 通性通法 ” 并注重一题多解、一题多变，分析过程要强化。 （ 2 ）例题教学：例题教学的目的不是为了求得解答结果，而是通过题目的解答过程为学生掌握分析问题和解决问题的方法提供原形和模式，教学中应重视题目分析过程的作用，引导学生思考题目的特点，探索解题思路；例题解答之后，要引导学生反思思考过程，总结解题的经验教训，对一些常用的数学思想方法、解题策略要予以归纳概括，提示学生今后注意运用，让学生学会综合运用知识，增强综合运用知识的能力，拓宽知识面。 3. 复习课的练习题 巩固知识是复习课的主要任务，应当把引导学生自主练习作为巩固知识的主要策略 “ 精讲多练 ” 。复习时，教师除了帮助学生理清要点，说明常见的错误的防止和策略外，应大胆放心地让学生自己练习。让学生通过练习巩固知识，获得提高。当然，教师编题时要有针对性，从易到难，由简单到综合，符合学生的学习心理的习题，练习题可来自学生作业中典型错误的题目，另外与你课堂所讲例题相对应的题目，真正起到举一反三的作用。课堂及时练习、及时反馈矫正。学生通过一组基本练习题，能够回忆定理、公式等知识点的结构特征；做好一组形成性练习，可以强化知识，培养学生的解题能力；通过递进性的练习，学生从课本知识走向解决实际问题，充分调动学生思维的积极性，能使课堂教学发挥最佳效果，有助于独立思考能力及应用知识能力的培养，有利于创新教育的培养，促使全体学生学好数学。这就要求教师课前精心准备。 4. 复习课后作业 每堂复习课讲完之后，适当布置课后作业。课后作业主要与课堂所讲例题相对应的题目，另外，平时作业中错误率较高的题目认真做好记载，在复习中适当变换，继续练习。只有这样，经过多次练习、反复练习，学生顺理成章，弄清各个知识点。同时，复习中要注意因材施教，复习中对那些学习优秀的学生要备一些有深度的题目练习。通常我将试卷分为两部分：一部分是必做题，另一部分是选做题。必做题是每一个同学都必须认真完成的，基础好的同学及时关注他的帮教对象，弄清知识点，完成必做题，教师及时监督关注他们，同时鼓励多做选做题，让学生们充分感受到学习的价值和取得学习成果的满足感，做好迎接挑战的心理准备。 5. 学生自我命题 复习课后 , 每一个学生根据要求出一份 “ 试卷 ”, 学生根据自己所学的情况 , 各人的理解进行命题，而后交换完成 “ 试卷 ” ，并且由命题人批阅讲解，同学间互相帮助，不仅有利于数学的学习，也有利于培养学生的团队意识。 6. 复习课后单元测验 每一个单元复习之后要及时单元测验。每次练习之后，教师要认真整理并分析卷面情况，找出普遍性或较多人犯的错误，统计出错误情况，成绩好的、有进步的、不及格的、问题大的各是哪些人，然后有效地进行评讲。评讲课上，要大力表扬进步大的学生，激励他们介绍学习经验，帮助成绩较差的同学。同时将错误率高的题目评讲完以后模仿出题上作业本继续练。只有这样，才能达到补缺和提高的效果。 总之，复习有法，但无定法，贵在得法。只要始终注意激发兴趣，切实减轻负担，重视开发智力，专注培养能力，特别要注意发展提高学生的发现探索数学规律、解决简单实际问题和综合应用知识的能力。就一定能够取得惊喜的复习效果。如何上好初中数学复习课校信通“众享教育”数学名师座谈会 ( 第三期 )“新授课育树，复习课育林”， 上好复习课，对学生系统学好数学，发展思维能力，是极为重要的。 好的数学复习课，不仅让学生巩固已学知识、查漏补缺，还应当重在知新，提高数学知识在实际生活中的应用能力，培养更好的数学思维品质。 俗话说： 教无定法。复习课可以有各种各样的开展方式，但是 真正上好复习课并不是轻而易举的事。如果不认真安排，不精心设计，就达不到预期的效果。针对复习课如何开展这个问题， 5 月 18 日下午 ，我们邀请了 郑州大学第二附属中学、郑州市回民中学、郑州中学和郑州外国语学校 的名师举行了一次座谈会，一起沟通探讨这个问题。   首先老师和学生要制定复习计划，设定好复习目标。 大家普遍认为： 最有效的复习就是最好的复习，所以复习前要做好规划，把目标定好，然后为实现这个目标制定措施，并来检验所制定的目标是否得到实现。 这要求老师不仅仅要备好书本上的知识点，同时也要备好学生。针对不同的学生复习的重点也要各有侧重，重在出新，否则的话，程度好的学生会觉得是在一遍遍“烫剩饭”；中等程度的学生只学到一些表层的东西，进步不大；程度差的学生依然是听不懂，该不会的还是不会。   其次课堂整节课的内容要有梯度。 课堂开始前五分钟要能吸引住学生，抓住学生的注意力。但这也不一定就是说一节课一定要由易到难逐步展开，也可以把难点放在前面，一下抓住学生的兴趣，这样的效果也是很好的。关键是结合实际情况，灵活掌握。复习阶段一定给学生留有消化反思时间，让学生思考回味复习的知识点、相关题目的特征及解题规律，便于真正让学生掌握和内化。   老师们对 复习课易出现的问题、应该克服的四个关键问题 ，以及 复习课开展的六个策略 进行了深入沟通和交流。 复习课中的“三多三少”问题 第一，追求知识的层次目标多，着眼学生的能力层次少。 复习主要可以分为三大类：即时性复习、阶段性复习和经常性复习。在复习课中，老师不能树立太多的目标，这样会让学生无所适从，而是应该将题目与知识结构联系，引导学生从转化、数形结合等思想方法寻找解题思路，帮助学生解决解题策略。 第二，关注教材多，关注学生少。 有些老师对教材的钻研和研究很深，但是备学生不足，缺少对学生的了解。如果老师不能准确把握大部分学生处在什么程度，好学生处在什么程度，学困生真正在什么地方“困”，那么讲起来就没有针对性，不同程度的学生接受起来效果都会不好。 第三，练习做题多，梳理知识结构少。 这种情况表现为，在复习的时候把学生的头脑就作为一个储存知识的仓库，我什么都复习，什么都往学生的头脑里塞。这样学生头脑里记的知识虽然很多，但是在用的时候调集不出来。就像电脑硬盘一样，里面能存很多东西，但是没用明确的分类编排而是乱七八糟的，这样找起来很费劲也不容易找到。很多老师容易出现的就是这个问题，没有对知识进行梳理，帮助学生构建起知识网络。   复习课中要“四克服” 第一，克服复习中只重“一例一题”，不重知识结构的做法。 就是讲例题多，配套练习也不少，但是缺少对知识结构的介绍。这个结构一方面指的是这一章这一节在全书中所处的位置，另一方面是理解这一章节编者在编写教材时的目的和意图是什么。这些问题在新课标里面都是很重视的，也做了很详细的说明。老师应该做的就是把这些知识点像一颗颗珍珠一样用线连接起来，然后使知识结成一串美丽的知识项链，从而使学生在解题时能够很快的提取出所需的知识和方法。 第二，克服只重知识技能，不重发展学生的数学思考能力的做法。 在数学的学习中一定要注意发展学生的数学思考能力，学生数学能力的提高是在指导学生有意识应用数学思想（整体思想、函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化和化归思想、统计思想等）和方法来解题或解决问题的过程中来实现的。具体到复习中，特别是要注重转化思想的应用，怎样把实际问题转化为数学问题，把较难的问题转化为简单问题或常见问题，把新的问题转化成老的问题。 第三，克服只管上课，不管效果的做法。 到了复习阶段，有的老师一味的赶计划、赶时间，忽略了关注了解学生的实际情况和复习进度并及时进行调整，制定的复习计划就失去了价值。欲速则不达，我们制定复习计划时，一定要留有机动的课时，机动的调整，根据学生掌握到什么程度了，然后再往下进行有效的复习。 第四，克服只关注课本，而关注课标少的做法。 中招考哪些知识点，考什么难度的题，这些在课标中都有明确的说明，因此复习目标的制定和复习的实施都应该严格以课标为准绳。   复习课“五大策略” 第一，巩固知识，以练为主。 精讲精练，这是老师们总结出来的好方法、好观念。要让学生做练习，但不一定要老师领着学生去练，可以提倡学生自主练习。复习时一定要帮学生理清知识点，点出常见的错误和应该注意的问题。 第二，查漏补缺，调查为先。 我们可以从两方面做：第一：老师应建立教师错题本，以便摘录学生学习中容易出现的题目，特别是针对有相当一部分学生出现的问题，都摘录在教师错题本上，针对这些问题，复习时进行重点突破；第二：复习前可以找好学生、中等学生、学困生的代表进行一些摸底调查，摸清各程度学生、各类学生学习情况。 第三，发展提高，思维为先。 有些老师经常出现的误区是，在复习课时倾向于多讲复杂的、难一点的题目，但是并没有引导学生探索解题方法或总结规律，实际上并没有使学生发展提高。复习过程中最好选取能够让学生一题多解、一题多变、多题归一的题目去研究。一题多解的题目可以引起学生的学习兴趣，培养学生发散思维，加强学生对所学知识的体会，一题多变的题目促进学生探索能力的提高，学生的解题思路得到了拓展，解题能力也得到了很大提高。老师在讲题时，对解方法的点评是精华。 点评的时候我们要问学生四个问题： 在解题之前，是否做到了：   这个题目你审清楚了没有？哪些是已知量？哪些是未知量？   看完题我们思考，这个题和哪些知识点有联系，你是怎么思考的？ 求解了之后，是否做到了：   求解是否准确？格式是否规范？   一个题目做完后，你要回顾解这个题目有什么收获？ 第四，分层导学，错题交流。 复习课时可以在提问和作业上进行分层，布置作业的时候总会有一两道拓展提高题。另外，学生准备“课堂练习本”和“错题本”，把错题记录下来经常复习，也可以在组织复习的过程中引导学生之间相互交流，一道题这个同学错了，那个同学可能做对了，通过交流，相互弥补之间的差距，相互学习提高。 第五，反思总结。 为使复习课更有效，在平时的每节课 后 老师必须对自己的教案有反思，反思要有两方面内容：第一，反思教学目标是否合理？教学措施是否得当？教学实施是否顺畅？第二，学生是不是得到了预期发展，每一个学生都有进步？及时反思总结，胜过课堂上多讲很多道题。 复习课的备课及教学是目前教学的难点和关键点，为了解决这个难点和关键点，校信 通为 老师搭建了一个平台，可以利用这个平台充分交流，交流的途径还有很多，比如可以建立自己的网站、博客，可以通过博客多发表一些教案、教学体会，通过网络 和 老师家长进行交流。希望通过这个平台能够提 高 老师们的整体教学水平。 最后总结为一句话，上复