浅议初中几何证明的教学.doc

浅议初中几何证明的教学 作者：逸夫中学 /郑宝燕 来源：摘自：厦门逸夫中学 摘要：从学生害怕学几何证明，逃避学几何证明的现状入手，分析初中学生学习几何证明困难的原因，提出教师在教学中应注意几何语言的教学，注意分析过程综合化的教学，注意图形变换在证明中的应用，注意设计开放性的题目 关键词：几何证明现状、学习困难、教学建议 “ 天呀，又要开始学几何证明了 ”， “几何的证明太难学 ”每次在上几何课的时候，总是可以听到几何证明学习困难的学生的声音学生的这种情绪与抱怨很容易助长学习几何证明消极的心理，增加逃避学几何证明的可能性鉴于这种实际，作为初中的一名数学老师陷入思考 -是否是平常在教书的过程中对几何证明教学认识不足、重视不够，还是对几何证明教学方式方法运用不当，影响了课堂教学效果，制约了学生逻辑推理能力的发展，影响了学生的后续学习为了更好地落实新课程的目标，培养学生的逻辑推理能力，提高学生学习几何证明的能力，笔者对几何证明的现状，学习几何证明困难的原因以及如何进行几何证明教学进行研究与思考 一、初中几何证明的现状 从多年的教学中笔者体会到：初中几何证明不但是学习的重点，而且是学习的难点很多同学对几何证明，不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写这样，导致大部分的学生失去了几何证明学习的信心 新课程中对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在 “图形与几何 ”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整 二、几何证明学习困难的原因分析 初中学生的几何证明学习在内容上正在经历从 “直观 ”到 “论证 ”的转轨在思维方式上需要解决从 “形象思维 ”到 “演绎思维 ”的过渡学生学习几何证明从直观到论证之间存在着一个思维要求上的跳跃学生来不及适应这种高一级的思维方式这是几何证明学习的认知障碍因此，笔者觉得初中几何证明难，主要还难在 “转轨 ”与 “过渡 ”上在事物发展的过程中，经历一种 “转变 ”的时节，正是良好的机遇所在有必要提醒学生把握机遇，适应转变 学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式，语言表达方面的特别要求，作业练习常被判为错误，几次碰壁后就觉得 “几何证明确实难学 ”面对着这种学习的失败，几何证明学习困难的学生在讨论发言、回答问题和动手练习等方面与普通同学存在着差异他们几乎一直处在旁听陪读的地位，作业又无法独立完成，只得抄袭，更失去了参与学习的机会 三、几何证明教学的几点建议 教学中怎样才能把几何证明的求解过程叙述清楚呢？根据多年的教学经验，笔者在教学中是这样做的，与大家探讨 （一）注意几何语言的教学 几何教学有三种不同形式的语言即图形语言、文字语言及符号语言教学中不仅要让学生建立三种几何语言，还要培养学生对三种语言相互转化的能力由于三种语言的特点不同，在几何教学中各自发挥的作用也不同图形语言形象、直观，能帮助学生认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，对图形本身及图形中所蕴含的结论能精确地予以的描述、解释，对几何的定义、公理、定理、命题等内容能精确地予以表达，而符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象，具有更强的抽象性，在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力基础因此教师在教学过程中应不失时机地训练、培养学生对这三种语言相互转化的意识和能力比如： 等腰三角形的性质 1-等腰三角形的两个底角相等，教师应及时引导学生 画出图形，结合图形，将文字语言符号化（如图 1-1）： 等腰三角形的性质 2-等腰三角形 “三线合一 ”到底是哪三线重合呢，学生非常容易出错，而且学生在将其进行符号化的时候，往往会把等腰三角形 “三线 ”中的已知身份忽视因此，教师应强调学生画出图形，结合图形对其进行符号化，其表达形式为（如图 1-2）： （ 1） AB=AC， BAD= CAD BD=CD， AD BC （ 2） AB=AC， BD=CD BAD= CAD， AD BC （ 3） AB=AC， AD BC BD=CD， BAD= CAD 将文字语言图形化，符号化的意识应贯穿几何教学的始终，只有这样才能为学生几何证明的学习建立良好的基础 （二）注意分析过程综合化的教学 分析过程综合化就是指分析问题时从已知出发、从结论入手、结合图形进行问题解决在几何证明问题的分析过程中通常使用两种逻辑思维方法即综合法和分析法所谓分析综合法是指从命题的两头（题设和结论）向中间靠拢，使思维更集中，目标更明确， 容易发现问题的突破口，利于找到问题的简捷证 .一方面从结论出发，一步步往上推；另一方面，从已知条件出发一步步往下推，最后在中途汇合比如： 已知：如图 2，分别以 ABC的边 AB、 AC为直角边向 ABC外部作等腰直角三角形 ABD和 ACE，点 P、 M、 N分别为 BC、 BD、 EC的中点 求证： PM=PN 分析：如果从已知条件 “ ABD和 ACE是等腰直角三角形 ”出发就可以直接得到结论 AB=AD， AC=AE及 BAD= CAE=90°，再根据已有的解题经验，由 AB=AD， AC=AE及 BAD= CAE=90°，又显而易见地能得到 ADC ABE，从而可以得到 ADC和 ABE的对应边相等、对应角相等这道题从结论 PM=PN入手，已知 PM和 PN分别是只要 BDC和 CBE的中位线，只须证 CD=BE即可从已知条件出发我们可以得到 CD=BE，从结论入手我们需要 CD=BE，这样我们就找到了问题的接洽点，使这个问题得到顺利解决 在分析问题时，采用分析过程综合化的策略，不仅可以使学生掌握数学基本的思维方法，同时培养了学生的思维能力，提高了学生解决问题的水平 （三）注意图形变换在证明中的应用 新课程标准下的初中数学课程增加了图形变换的内容，特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何证明问题打开了一扇找到解题思路和方法的窗户平移、旋转和轴对称三种变换的共同特点是改变图形的位置的同时，保证图形变换前与变换后的对应元素的大小不发生变化这三种变换有利于培养学生的空间感、丰富学生的解题方法，因而教师在 教学中应加以注意比如： 已知，如图 3所示， M是正方形 ABCD的 BC边上的一点， K是 DAM的平分线与 CD的交点， 求证： AM=DK+BM 图 3 分析：延长 CB到点 H，使 BH=DK，则 MH=DK+BM这样问题即转化为证明 AM=HM，即证 AHM为等腰三角形因而需要添加辅助线如何添加辅助线是几何教学的难点，如果恰当地运用旋转变换，将 ADK绕着点 A顺时针旋转 90°，使 AD与 AB重合，使原来分散的 DK和 MB集中成一条线段 MH，并与 AM构成三角形，把问题转化为证等腰三角形 可见，几何变换是一种思维的艺术，用它来思考几何证明问题会使学生体会到心灵的智巧，领悟到理性的力量，是一曲优美的旋律，是一种美的欣赏因此，教师要将几何变换的思想渗透到初中几何证明的教学之中，使学生学习这种变换的艺术！ （四）注意设计开放性的题目 改变常规封闭问题的呈现形式，不直接给出问题的结论或使问题的条件不完备，问题的结论由学生设计或问题的条件由学生探究完成开放性的题目体现了新课程理念，体现了教师以学生为中心的教学观教师要注意开放度，既要大胆地放，把时间留给学生，让学生有机会去尝试问题设计，又要善于把握全局设计开放性的题目有效地激发学生敢于思考问题、主动参与知识的建构过程，有利于激发学生的好奇心和求知欲；改变了原有的封闭思维模式，促进学生思维的发 展比如： 已知：如图 4， C为 AB上一点， ACD、 BCE都是正三角形 求证： 学生经过思考后，可创造出多种结论 结论一： AE=DB 结论二：由 AD CE，可得 APD ECP、 ABD CBQ、 AMD ECP；而三角形 相似又可得到对应边成比例；同理还有 DC BE得对应边成比例； 结论三：由比例式又可判定 PQ AB； 结论四：可证等边 PQC 本题将问题设计的机会留给学生，让学生展开合理的联想和想象，并根据自己的认知起点和学习经验，从多角度、多方位、多层次进行思考，既体现了学生个性化学习，又体现了学生之间的合作学习，有利于学生良好思维品质的形成 总之，初中学生的几何证明内容是不可缺少的，要使学生能够学好几何证明，教师要充分认识到初中生学几何证明的困难，并认真研究几何证明较好的教学方法，才能提高几何证明教与学的效率，才能提高学生的逻辑思维水平 【论文 2】 几何教学中逻辑思维能力的培养 作者：岳阳市弘毅中学 /周振武 来源：摘自：岳阳市弘毅中学 逻辑思维能力是指正确、合理思考的能力。即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力 ,采用科学的逻辑方法 ,准确而有条理地表达自己思维过程的能力。它与形象思维能力截然不同。 逻辑思维能力不仅是学好数学必须具备的能力，也是学好其他学科，处理日常生活问题所必须的能力。数学是用数量关系（包括空间形式）反映客观世界的一门学科，逻辑性很强、很严密。 由于课改之后，强调学生的动手能力，所以教材越来越形象，越来越向生活贴近。但是数学学科却有其抽象，逻辑思维严密的特点，并不能每个内容都能直观的展现，所以在几何教学中具体与抽象的矛盾非常明显。由于课改的需要，我们必须在几何教学中解决这一矛盾。而解决矛盾应避免出现两大问题：一是光重视兴趣，而忽略学生抽象的逻辑思维能力；二是只重视逻辑能力，而不考虑学生的兴趣，造成课堂效果差。 数学思维能力是数学素质的重要表现，如何在几何课中培养学生的逻辑思维能力是需要认真探索的。几何的学习和研究时时刻刻在概念、判断、推理过程中运动着，而概念、判断、推理是逻辑思维的基本形式，其它知识内容，如性质、定理、公式等无非是一种判断。培养学生逻辑思维能力有利于学生自觉、深刻而牢固地理解和掌握几何知识。然而培养学生逻辑思维能力又是初中几何课教学的一个难点，所以在几何入门阶段，教师应该首先激发学生的学习兴趣，然后从概念、作图、推理这三个环节中着手，重视逻辑思维能力的启蒙，帮助学生打好学习几何的基础。 1 、创设情境，激发学生学习几何的兴趣。 兴趣是最好的老师，没有学生的学习兴趣，任何教学改革都是搞不好的。在学习正课之前，首先上两节预备课，主要谈几何的作用。从古希腊的测地术以及将军饮马到今日的高楼大厦，从工农业生产到日常生活，到处都可以看到几何踪影，到处都可以看到数学家的功绩。几何是学习其它学科的工具，更是开发智力，培养逻辑思维能力的新起点。然后介绍几何的发展史，提出一些有趣的几何问题，为学生创设情境，启动思维，以激发了学生学习几何的兴趣。 2 、分成三个阶段，逐步培养学生的逻辑思维能力。 第一阶段，培养学生的判断能力。这一阶段主要是通过直线、射线、线段、角几部分的教学来培养。要求学生在搞清概念的基础上，通过图形直观能有根据地作出判断。如 “对顶角是相等的角 ”、 “两点确定一条直线 ”、 “两直线相交，只有一个交点 ”，等等。这个阶段，学生从 “数 ”的学习转入对 “形 ”的研究是很大的变化，而对形的学习开始又接触较多的概念，所以使学生理解所学的概念是一个难点，学生难以适应，不少小学时的优等生适应不了这一转变，以致学习掉队了。解决的办法，主要是注意从感性认识到理性认识，即从感性认识出发，充分利用几何的直观性，再提高到理性认识，从特殊的具体的直观图形抽象出一般的本质属性。并注意用生动形象的语言讲清基本概念。例如讲直线这一概念时，问：你能画一条完整的直线吗？学生感到问题提的新鲜，谁不会画直线呢！有些莫明其妙，我指出：一个人从出生记事之日起，一直到老为止也画不了一条完整的直线，因为直线是无限长的，正因为画不了一条完整的直线，才用画直线的上的一段来表示直线，但决不止这么长！这样学生在开头对直线就建立了向两方无限延伸的印象。又如在学过 “角的概念 ”后，可让学生回答：直线是平角吗？射线是周角吗？在学习 “互为余角、互为补角 ”的概念后，可以问： 与 90º- 互为余角吗？ 与 180º- 互为补角吗？并要求用 “因为 ，所以 ，根据 ”的模式回答，这能使掌握线与角、角与角的联系和区别的同时，熟悉推理谁论证的日常用语，逐步养成科学判断的习惯。 第二阶段，培养学生进行简单推理论证的能力。这一阶段主要是通过定义、定理、平行线、等腰三角形几部分的教学来培养，要求学生能正确地辨别条件和结论，掌握证明的步骤和书写格式。做法是：（ 1）分步写好推理说明过程，让学生的括号内注明每一步的理由； “加注理由 ”的练习题，主要在第三章，这无疑把学生引入逻辑推理的王国，教师在教学中应十分重视它的作用，指导学生认真阅读教材中每个例题，认真完成教材中每一个练习，并强调推理论证中的每一步都有根据，每一对 “ ”都言必有据，都是有定义、定理、公理做保证的。此外，还要学生象学写作文一样背记一些证明的 “范句 ”，熟悉一些 “范例 ”，做到既掌握证明方法步骤和书写格式，也努力弄清证题的来龙去脉和编写意图。（ 2）让学生论证一些写好了已知、求证并附有图形的证明题，先是一两步推理，然后逐渐增加推理的步数，主要是模仿证明；（ 3）让学生自己写出已知、求证、并自己画出图形来证明，每一步都得注明理由。另一方面通过例题、练习向学生总结出推理的规律，简单概括为 “从题设出发，根据已学过的定义、定理用分析的方法寻求推理的途径，用综合的方法写出证明过程。 第三阶段，培养学生对较复杂证明题的分析能力。这一阶段主要通过全等三角形以后的教学来培养。要求学生对题中的每个条件，包括求证的内容，要一个一个地思考，按照定义、公理或定理把已知条件一步步推理，得出新的条件，延伸出尽可能多的条件，避免忽视有些较难找的条件，同时不要忽视题中的隐含条件，比如图形中的 “对顶角 ”、 “三角形内角和 ”、 “三角形外角 ”等等。 实践证明，培养学生逻辑思维能力，要有一个较长的过程，初二仅仅是一个开始，不能操之过急，必须有意识、有计划的从简单到复杂循序渐进，使学生逐步学会推理论证的方法。 3 、狠抓几何语言训练 “ 语言是思想的直接现实 ”候选任何一门学科都有自己待有的语言，数学等别要通过一些符号和字母来表达，它抽象精确、简便，这是数学语言的特点，也是它的优点，要跨入几何的大门，首先就要过好 “语言关 ”，为此，我作了如下训练：（ 1）要求学生理解和熟记几何常用语。几何教材开始就明确地给了一些常用语，如 “直线 AB与 CD相交于点 A”、 “直线 AB经过点 C”，经过即通过，对某些字 “咬文嚼字 ”，加强学生的理解，为了让学生熟记 “几何常用语 ”，经常组织学生在课堂上朗读和学说，以提高他们的口头表达能力。（ 2）由基本语句画出图形，给出基本语句，要求学生画出图形，把语句和图形结合起来，训练学生熟记语句，如延长线段 AB到 D使 BD=AB，在线段 AB的反向延长线上取一点 C，使 AC=AD，等等。（ 3）将定义、定理等翻译成符号语言，并画出图形，符号语言能将文字语言与图形结合起来，有利于学生理解几何概念的本质属性，也为文字证明打下基础，如点 M是线段 AB的中点，翻译成符号语言： AM=BM或 BM=1/2AB或 AB=2AM=2BM等。（ 4）编写范句，形成规范的书写：如延长 _到点 _，使 _=_。此外，我讲课时，努力做到语言规范化。对几何语言的教学，我是随着几何知识的教学逐步进行，通过培养和训练学生的几何语言，使学生的思维能力在探讨中进一步得以发展。 4 、教学中时刻注意几何的思维方式 学生初接触几何，不知道应怎样学习，于是在教学中注意教学生怎样学概念、怎样学定理、怎样分析问题、怎样总结几何知识。 几何概念往往是很抽象的，因此引入概念或定理教学时，尽可能从实际事例、模型或学生已有的知识引入，结合分析图形的特征得出几何概念和图形性质，并用文字定义把概念表述出来，这样，使学生对几何图形的认识有实际模型作基础，对概念的理解有几何图形作依据，也就是使学生能够真正抓信几何概念所反映的几何图形的本质属性，在他们使用定义时，即运用概念进行思维或者在口头上或书面中表述的时候，在头脑中能呈现出相应的图形，以及这个图形的基本特征，而不是机械模仿，硬背概念的字句。 在运用几何定理时应该引导学生从已知条件出发，或者从问题出发，联想与及有关的定理，比如在讲三角形的内角和为什么等于 180°时。联想学过关于 180°的知识有哪些？学生马上会去回顾，平角啊，同旁内角啊，从而想到辅助线，在思维过程中学生也体会到从问题出发的思维方式。同时在讲轴对称这节中的垂直平分线、等腰三角形等知识时，在题目中一出垂直平分线有关的条件我就会问我们想垂直平分线的什么性质。让学生体会从条件出发的思维方式。 与代数一样我们还要注意 “转化 ”思维方式的培养，比如在讲 “等角对等边，等边对等角 ”。我会强调这两个定理其实是把边的关系与角的关系相互转化，所以在三角形中知道边的关系求角的关系，应想到 “等边对等角 ”，在知道角的关系求边的关系时，想到 “等角对等边 ”。 思维能力的培养并不是完全不可捉摸的，培养学生逻辑思维能力，要有一个较长的过程，不能操之过急，必须有意识、有计划的从简单到复杂循序渐进，使学生逐步学会推理论证的方法。 【论文 3】 初探初中几何证明的困难与成因 2001 年教育部制定的新的数学课程标准）中，对于几何内容的安排体现了三个特点：一是几何课的开设时间提前了，不光是相当于初中的 7-9年级学段，而且在相当于小学的 1-6年级学段都安排有简单几何知识的内容。二是几何课的课时压缩了，过去初中数学课是代数与几何两大分支齐头并进，而现在却是代数、几何、概率三大内容，几何的份量显然压缩了。三是几何课以 “空间与图形 ”的名目出现，一开始就兼有平面和立体的内容，而且重实践，轻体系。 几何是整个中学数学教学内容的重要部分。平面几何是运用逻辑推理的方法来研究平面图形性质的一门学科，按照新课标在图形与证明中的要求，应掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。因此，培养学生逻辑推理能力是平面几何教学的重要目的之一。初中七年级的学生虽然在小学接触了一些几何图形，但对于逻辑推理的思维方式完全是陌生的，尽管初中七年级上册还没有要求进行逻辑推理形式的书写，但是到了下册，就出现了较多由“已知结论”这样的书写形式，而到了八年级下册，便用“，”来书写推理论证的格式了。学生如果没有一定的基础，在学习上自然会产生困难。所以几何课在整个初中课程中是难点，是瓶颈。从初一下学期开设几何课开始，数学成绩就明显出现分化。数学成绩好的学生必定几何成绩好，而相当大一部分学生几何成绩开始下滑，而且由怕几何而怕数学，因几何学不好便认为自己学数学不行，更有甚者就此对数学丧失了信心。怕几何 怕数学 厌数学 最终放弃数学，致使部分学生就这样不自愿而又无可奈何地成为 “文科生 ”。所以就日常教学中的积累分析如下： 中学生几何学习困难主要反映在以下几个方面： （ 1）畏惧心理和依赖心理 第一：数学内容向来具有枯燥乏味的“坏名声“，它的高度概括性与抽象性，严谨的逻辑思维性让一部分学生在小学就觉得晦涩难懂，而到了初中，对学生的运算能力，逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力要求就更高了，几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学，使学生就产生了畏惧心理。 第二：现在学生普遍对教师存有依赖心理，缺乏学习的主动钻研和创新精神，期望教师对几何问题进行归纳概括，突出重点，难点和关键，并且提供详尽的解题示范 ,习惯于一步一步模仿硬套 ,只重视结论 ,而忽视了结论的发生发展过程 ,忽视对解题方法的探索，难以深刻领会结论，所以致使智慧得不到启迪，思维的方法和习惯得不到训练和养成，观察，分析，综合等能力都得不到提高。所以经常能听到有学生说：“我把几何定理，公理都背得滚瓜烂熟，但我拿到几何题却不知道怎么用！” （ 2）基本的逻辑常识欠缺。对逆命题、反证法等理解不了。 （ 3）语言表述关。过分专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无法逾越语言表述的障碍。本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了。有些学生口头叙述挺好，但一碰到要书写时，不知道如何下手，或者书写层次混乱 ;没有因果关系的，不管有用没用，把已知条件一律都罗列上；或者跳步，三言两语就写完了，让人看了摸不着头脑。 （ 4）不会画图、看图、用图。给了几何语句，画不出正确的几何图形，就无法做题；给了条件，在图形上看不出条件有什么用处，同时对课本上的图形没有充分研究利用，反成障碍。 （ 5）害怕几何证明题。对证明无从下手，不知道要做什么事，不知道做到哪一步就算证出来了。同时对现行教材几何体系产生困惑，七年级，八年级在学习过程中都已经说明的正确结论在有些几何证明题中不能用，什么结论能用，什么不能用，学生困惑，老走弯路。 （ 6）不善于与周围实际生活联系起来去丰富想象， “数学问题解决 ”的意识淡薄，停留在模仿做现成题的水平，遇到需要作辅助线的题目束手无策。思路狭窄。综合应用能力较弱。 二、原因分析 （一）现行教材体系的原因 现行中学数学教材中的几何素材以其严谨、抽象、枯燥的呈现方式相对单一。几何内容的过分抽象，过分强调演绎推理，几何教材的过分 “数学化 ”，使学生缺少将所学知识与现实生活紧密联系的机会，教材几何体系缺乏自身的严谨性，使学生也处于矛盾中，使学生的空间观念、空间想象能力的形成和培养受到相当大的限制。特别是教材中造成更多的人害怕几何，厌恶几何，甚至远离几何，对几何乃至整个数学丧失信心和继续学习的兴趣。 （二）教师方面的原因 教师是教学的关键。学生怕几何，学不好几何，教师要做很大的努力做好下面几点： 第一：教师要培养学生的兴趣，克服语言障碍，克服几何学习的心理障碍。首先，在教学中，认真钻研课程标准和教材，严格按照课程标准提取知识点，突出重点和难点，让学生清楚教学内容和知识结构体系以及各自在结构体系中的地位和作用 ;其次，加强与实践的联系，重视过程与方法的指导，挖掘数学美，激发学生的几何学习兴趣。 第二：做好引导学生几何人门，重视数学语言的教学。数学语言是学好几何的“敲门石。部分学生对数学产生畏惧心理，感到数学难学就是数学语言没有掌握好。在几何中，数学语言分为：文字语言，符号语言，图形语言。三种语言可以互译，互相补充，使之“尽善尽美”。学好几何，必须培养学生会读题，理解题意，在课堂上要多训练学生的口头表达能力，同时注重书面语言的训练，作业必须严格要求，重视文字语言的叙述，要求用词准确，叙述有条理，逻辑性强。符号语言以简练，明确的特点对思维活动进行本质性的描述，因此，在教学中应该要求学生掌握一些规定符号，如，它们是如何书写的，各表示什么意义。其次要配合这些符号做适当的练习，多变换形式，不断强化，第三加强三种语言的互译训练。但要注意的是要循序渐进，不能操之过急，如果学生遇到困难，教师应多帮助其找原因，多鼓励他们，使其树立信心，克服心理障碍，使学生的知识不断巩固提高。在图形语言方面应鼓励学生多观察现实生活中的图形多接触各种图形。其次，让学生多画一些满足条件的图形。第三，练习用简洁的符号表示一些相关的内容（如：平行，两条线段相等，两角相等），培养学生的图形感。总之，要突出图形特征，培养学生识图能力：突出图形变化、揭示概念、定理的本质属性；借 “标准图形 ”记忆定理、定义；用 “基本图形 ”解剖复杂图形。最后，强化板书的规范训练。 第三，要善于联系实际，充分利用周围丰富的几何素材，不要从书本到书本，枯燥无味。使得学生对于几何始终亲不起来，爱不起来。 第四，教师要学习新的教学理念，提高自身素质，注重学生发散思维的培养。鼓励学生进行一题多解或改变条件，让学生思考会得到什么不同的结论，在数学语言的转化过程中发展思维能力。没有创新意识，方法陈旧，教得太死，扼制了学生的思维发展。 【论文 4】 浅谈学生对初中几何推理与证明的困难及措施 作者： 何雷忠 ( 初中数学 甘肃张掖山丹二期初中数学一班 ) 初中学生基于学生年龄的特点，学生在空间想象能力和抽象思维能力方面还不够成熟，缺乏解决几何问题的经验，学习几何的困难的较大。学生表现出的问题集中在以下几个方面： 1、不会读题，常常是读完题目后没有感觉，抓不住题中的已知条件，也不能把一些题中的已知条件和基本图形结合起来，从而在证明过程中往往出现一些碲笑皆非的结论； 2、逻辑推理不严谨，无法简明准确的表达思路，要麽证明过程跳跃思维，要麽证明过程非常罗嗦； 3、对推理过程书写不合规范，不能把自己的思考写出来，或出很多错误，推理不是很严密，特别对书上的定理或推论掌握不是很好； 4、逆向思维能力差 .对于某些数学问题需要从题目的结论去思考，借助已知条件和图形应逆向猜想到结论的证明方法和所需图形，即使能够逆向思维，但无法写出过程； 5、对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策 .不会借助辅助线构造所需基本图。 6、几何语言表达不清，难于根据几何语言画出正确的图形。 7、不注重数学思想的应用，在数学学习中不领会一些数学思想，不会用数学思想，造成几何问题束手无策。 8、规范的证明过程在教材中出现较晚也是造成学生学习困难的原因，学生在学习过程中出现心里明白却写不出来的现象 ,就是因为例题中并没有给出规范的证明过程 . 【论文 5】 新课程背景下初中几何学习困难的研究 田甜【摘要】：几何作为世界上最早的教育科目之一，其历史是非常悠久的。如果说，数学是各国中小学课程中最为统一的一门学科的话，那么，几何就是其中最不统一的一部分，其原因就在于几何特点的多样性，而几何特点的多样性决定了几何具有众多的教育价值。因此，学习几何对提高学生思维素质、对学生文化素质的培养是其他学科难以取代的。 本文在对数学学习困难，几何学习困难，中学生数学思维的特点以及范 ·希尔几何思维水平进行文献研究的基础上，根据新课程标准、北师大版数学教材中的几何部分，并结合几何的教育价值，针对学生的空间观念、说理与推理、几何语言表述三方面进行调查，调查方法主要有：问卷法，测试，访谈。 通过对调查结果分析，了解到学生主要存在以下问题： (1)学生对概念和定理的理解，常常停留在表面。 (2)学生害怕几何证明题。对证明无从下手，不知道要做什么事，不知道做到哪一步就算证出来了。 (3)学生已有的几何知识间缺乏必要的联系，导致概念、公式、定理记不住，学过就忘。 (4)学生的空间观念发展相对滞后。 (5)学生对图形语言与文字语言、符号语言的转换仍存在困难。 (6)在进行根据前提推导结论的演绎推理时，学生经常使用非逻辑方式代替演绎推理。 (7)学生 “数学问题解决 ”的意识淡薄，停留在模仿做现成题的水平，遇到需要做辅助线的题目束手无策，学生在解决问题时正迁移较难发生。 在调查的基础上，从教材、教师、学生三方面分析了以上问题产生的原因。 在对调查结果分析的基础上，参考其他资料 (包括文献资料、对教师的访谈记录、教师问卷 )，结合中学生数学思维发展规律，以及自己的认识，对改进初中平面几何教学提出以下几点思考：注重发展学生的几何语言；注重平面几何推理论证的教学；注重发展学生的空间观念；开展变式教学。 【论文 6】 7-9 年级学生几何推理能力发展及其教学研究 李红婷【摘要】：几何在数学教育中具有悠久的历史，但在不同国家普遍开设的数学课程中的地位却存在较大差异，主要原因在于对几何教育价值的认识存在着较大争议，其中，几何推理论证问题始终是争议的焦点。 现行几何课程在强调 “说理 ”和 “推理 ”的同时，在一定程度上弱化了通过几何形式逻辑推理进行证明的要求，但几何怎么教 ?教到什么程度 ?仍然困扰着广大教师。课程改革呼唤来自于实践调研基础上的有针对性的教学研究，一线教师期待具有可操作性的有效教学范式的引领。 本研究依据学生几何推理能力发展的认知顺序，提出了 79年级学生进行几何推理的主要推理方式及其技能特点，指出了不同年级学生几何推理能力发展的差异性，进而提出了以系统地发展学生几何推理能力为主线的层级教学策略。主要研究结果如下： 第一， 79年级学生的几何推理方式可归纳为：直观推理、描述推理、结构关联推理、形式逻辑推理。学生在不同推理方式上有其不同的技能特点，在不同推理方式上的推理能力表现有其明显的差异性。 第二，从总体上来看，在直观推理、描述推理、结构关联推理、形式演绎推理四种推理方式上呈现层级递进的发展趋势。同一年级学生在不同推理方式上以及不同年级在同一推理方式上均呈现层级递进的发展趋势。不同年级学生在几何推理中的表现有其不同的特征。 第三，根据 79年级学生几何推理能力层级递进发展的事实，提出几何推理层级结构模型。几何推理层级结构模型隐含了推理能力发展的两条线：一条是按照直观推理、描述推理、结构关联推理、形式逻辑推理层级提升的顺序发展综合推理能力。另一条是按照证明预备、证明入门、证明发展的顺序发展学生的形式逻辑推理能力。本研究主张沿着第一条线来设计几何教学系统，但同时重视第二条线的发展。有效的教学设计体现在促进学生综合推理能力发展的同时，形式逻辑推理能力也 “拾级而上 ”。 第四，提出几何层级教学设计的总体框架。注重课程目标和课程内容、问题情景与活动设计、过程性评价和反馈，将几何推理层级结构模型嵌入总体框架内，通过 “垂直组织 ”和 “水平组织 ”两个维度进行课程建构，一方面使整体的框架在横向和纵向组织上体现为具体的层级支撑；另一方面为各层级推理目标和活动更好地规划发展方向，以避免课程组织可能存在的随意性。 提出符合学生在不同推理方式上的技能特点的层级教学设计思路。在不同推理层级上的横向教学设计流程如下： (1)在几何直观推理层级的教学设计可按照形象识别 实验验证 直观感知的程序组织教学。 (2)在几何描述推理层级的教学设计可按照概念描述 语言转换 描述推理的程序组织教学。 (3)在几何结构关联推理层级的教学设计可按照信息接受 关系转换 验证 回顾的程序组织教学。 (4)在形式逻辑推理层级的教学设计可按照信息接受 规则化呈现 关系转化和重组 形式逻辑表达的程序组织教学。各推理方式的纵向教学设计有其不同的规律性。 提出课题教学设计思路和课题实验研究。课题教学设计可按照问题情境 经验材料的数学化 逻辑化组织 应用 反思的程序组织教学。实验研究结果表明，按照几何推理方式的划分和层级发展顺序组织课题教学，可以有效地改变教师的教学观念，发展教师几何教学设计和组织实施能力，改变师生在几何课堂教学中的生命状态，促进学生的几何推理能力发展和层级提升。 第五，本研究提出如下建议： (1)系统地发展学生的几何推理能力； (2)多视角思考和控制不同推理方式可能造成的学习 “分化 ”现象； (3)系统地安排直观推理发展过程； (4)促进几何推理活动和表达的协调发展； (5)重视发展学生的几何结构关联推理能力； (6)恰当地选择几何 “形式化 ”要求的时机； (7)重视高年级教学内容的多样化，发展学生的综合推理能力。 本研究创新之处： (1)依据学生几何推理能力发展的认知顺序，提出 79年级学生几何推理可划分为直观推理、描述推理、结构关联推理、形式逻辑推理四种方式； (2)提出学生在不同推理方式上的技能特点，分析了学生几何推理能力发展的差异性及层级递进规律，提出几何推理层级发展的理论模型； (3)提出了几何层级教学设计的总体框架和几何推理层级教学设计思路。 “ 空间与图形 ”是七年级第四章的教学内容，从 “图形的认识 ”、 “图形与变换 ”、 “图形与坐标 ”、 “图形与证明 ”四个方面展开学习。本人结合多年的教学实际，体会出通过本章知识的学习，学生不仅能认识一些基本的图形，了解一些基本图形的性质，而且将接触从物体的影子到中心投影、平行投影，从不同的方向观察物体等十分现实的内容，感受丰富多彩的图形世界。在这些内容的学习过程中，学生将感受到空间与图形和自然社会以及人类生活的密切关系，感受其文化价值，进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间与图形的好奇心，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。下面是本人在这部分内容教学中的一些实践操作与体会。 一、通过由物绘图，由图想物，提高学生空间观念 在教学中，为充分发展学生的空间观念，使空间观念具有丰富的内涵，在教学中，我首先注重培养学生能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状的能力，并进行几何体与其它视图，展开图形之间的转化，能根据条件作出主体模型或画出图形。 例如：下图是一个由五个正方体组成的立体图形，分别从正面、左侧面、上面观察这个图形，各能得出什么平行图形？并把你得出的图形画出来。 初中数学 “空间与图形 ”教学中的几个困惑 在数学新课程标准中对空间与图形的具体教学要求是：探索图形的基本性质，丰富对空间图形的认识和感受，与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想；学习平移、旋转、对称的性质，欣赏并体验变换在生活中的应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。 根据新课程标准和多年一线教学的感受，在 “推理与论证 ”这块内容的教学中有许多问题感到困惑。 困惑一：新课程标准中要求能通过观察、实验、归纳、类比等方法获得数学猜想，并进一步给出证明或举出反例。而在实际教学中，经常让学生动手操作，但有许多学生根本操作不了（也许是基础太差），学生操作往往需要较多的时间，其他的教学内容有时就完成不了。例如教材八（上）勾股定理（ 2）中，画三个边长分别为 3、 4、 5； 5、 12、 13； 8、 15、 17的三角形，学生在实际画图中画边长为 8、 15、 17的三角形许多学生有困难，同时也不容易操作。又如等腰三角形的判定中，先让学生画一个有两个角相等的三角形，没有要求用什么工具，学生也会有疑惑。 针对上述问题，我们在设计操作题时，采取方法有： 1、课前让学生准备相关材料节省时间； 2、有些只有数据不同的操作题，让学生分组操作得出结论； 3、操作题设计充分考虑可操作性； 4、小组成员互帮互学等。 困惑二：使用规范的数学语言表述论证的过程。七、八年级数学教材和作业本的设计中对简单推理的训练不多，导致许多学生的条理性不清楚，叙述感到无从下手。例如结论 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”用几何语言叙述时，很多学生叙述成 “因为 CD是 ABC的中线，所以 CD等于 AB的一半 ”，漏了直角的条件。 学生在叙述辅助线时经常出现不规范，如证明 “有两个角相等的三角形是等腰三角形 ”时（如图（ 2），己知：在 ABC中， C B。求证： AB AC），学生已学过等腰三角形的三线合一，因此作辅助线时学生就会出现过点 A作 BC的中垂线 AD，垂足为 D