求递推数列通项公式的若干方法.doc

2005年数学教学通讯第四期求递推数列通项公式的若干方法江苏省响水中学高数组 魏立国 邮编：2246001、不动点法：把方程f(x)=x的根叫做函数f(x)的不动点，方程f(x)=x叫特征方程。(1) 一般对递推数列当函数f(x)有两个不同的不动点，令，则问题转化为等比数列.当函数f(x)有一个不动点，可令 问题转化为等差数列.(2)设函数有两个不同不动点x1,x2且确定数列an则 证明：x1,x2是方程两根，例1、( 04年南京市高模题)已知函数，数列xn满足xn+1=f(xn)，(nN*)且x1=1，设，求证：an+1<an证明：由得，则 =即，显然易得说明：这里只要求出an通项公式，即可得证.例2（2004年杭州高模题）设函数（a,b为常数，a0）若只有一个实根.(1) f(x)解析式 (2)若数列an满足关系式，求an通项公式.解：(1)易求 (2)由得，等根x=0，即令得， 说明：本题是不动点只有一个的情形，不用上面结论，当然也可以直接取倒数转化.例3、数列求通项an.解：方程两根即 2、特征根法 递推式的通项，由齐次解和特解组成，其中齐次方程解可由特征方程求，其特解由f(n)形式按一定规律，类似给出。例1、(03年全国高考题)设a0为常数且证明：对任意证明：特征方程解是，则齐次解，设特解为代入原递推式，故通解为 即证例2、已知sn是数列an前n项和，并且求数列an通项公式以及前n项和Sn解：特征方程得，即齐次方程解，即a2=5，得 即例3、数列an中，,求通项an.解：特征方程，特征根,齐次方程解，设特解为代入原递推式，得 ， 例4、已知数列an满足条件：(1)a1=a2=1, a3=2, a4=4, (2)an=an-1+an-3+an-4(n>4)求通项公式an.解：特征方程x4-x3-x-1=0四根通项公式由初值条件得 即 说明：特征根求通项公式实际包括平时所说形式3、转化法：通过适当变形转化成熟悉的基本数列例1、（2004年北京西城区高模题）已知正项数列an和bn中，a1=a，（0<a<1），b1=1-a，当n2时，an=an-1·bn, (1) 证明：对任意nN有an+bn=1 （2）求数列an通项公式(1) 证明：由数学归纳法易证（2）解：由bn=1-an得，又 即，即例2、数列an中，a1=1，n2时，其前n项和Sn，满足，求sn表达式.解：由an=sn-sn-1得，即， ， 例3、设a0为常数，且证明对任意n1.证明：两边同除以3n得， 令 ，即 即说明：例1、例2把所求数列转化成倒数，例3其实把an=an-1+qn转化成形式4、取对数法例：在正项数列an中，求通项公式解：两边取对数得即 说明：运用对数方法，可将含有指数或根式递推式转化为等差，等比数列求解.5、数学归纳法（全国高考题）设数列an满足当a1=2时，求a2,a3, 并猜想an一个通项公式，并证明当a1=2时，易得a2=3,a3=4，猜想an=n+1证明：当n=1时，显然成立，若n=k时成立，则当n=k+1时，即当n=k+1时也成立，所以an=n+1成立.6