几个重要的不等式.doc

竞赛培训专题7-几个重要不等式(一)一、平均值不等式设a1,a2, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=an时取等号1.二维平均值不等式的变形(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有(3)对b>0，有， (4)对ab2>0有， (5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2(9) 对实数a，b及l¹0，有二、例题选讲例1.证明柯西不等式证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取代入(9)得有两边平方得法二、，即二次式不等式恒成立则判别式例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：(1)(2)证明：(1)左=³(2)由知同理：相加得：左³例3.求证：证明：法一、取，有a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b), an(an-b)³b(an-b)相加得(a12+ a22+ an2)-( a1+ a2+ an)b³b(a1+ a2+ an)-nb³0所以法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+ an)2=(a1×1+ a2×1+ an×1)2£(a12+ a22+ an2)(12+12+12)=(a12+ a22+ an2)n,所以原不等式成立例4.已知a1, a2,an是正实数，且a1+ a2+ an<1，证明：证明：设1-(a1+ a2+ an)=an+1>0,则原不等式即nn+1a1a2an+1£(1-a1)(1-a2)(1-an)1-a1=a2+a3+an+1³n1-a2=a1+a3+an+1³n1-an+1=a1+a1+an³n相乘得(1-a1)(1-a2)(1-an)³nn+1例5.对于正整数n，求证：证明：法一、>法二、左=例6.已知a1,a2,a3,an为正数，且，求证：(1)(2)证明：(1)相乘左边³=(n2+1)n证明(2)左边= -n+2(= -n+2×(2-a1)+(2-a2)+(2-an)( ³ -n+2×n