D7_3齐次方程.ppt

,齐次方程,第三节,一、齐次方程,*二、可化为齐次方程的方程,第七章,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,由光的反射定律:,可得 OMA=OAM=,例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由,解:将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角=反射角,能的要求,在其旋转轴(x 轴)上一点O处发出的一切光线，,从而 AO=OM,xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成,按聚光性,而 AO,于是得微分方程:,经它反射后都与旋转轴平行.,求曲线 L 的方程.,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为 h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得,作业,(h,k 为待,*二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出 h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,例4.求解,解:,令,得,再令 YX u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,得 C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,作业,P309 1(1),(4),(6);2(2),(3);3;*4(4),第四节,