《例谈数列通项公式的求法》.doc

例谈数学通项公式的求法四川省什邡市七一中学 代小锋 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、 累加法形如 (n=2、3、4.) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1. 在数列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通项公式。 解： 这n-1个等式累加得：= 故 且也满足该式 (). 二、 累乘法形如 (n=2、3、4)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例2已知数列满足=，求。解：由已知得，分别令n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即= 所以，又因为也满足该式，所以。三、构造等比数列法原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=，其中b、c为不相等的常数。例3、已知数列满足=1，= ()，求数列的通项公式。解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即= 整理得：=使之满足= p=1即是首项为=2，q=2的等比数列= = 四、构造等差数列法数列既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。例4、数列满足= ()，首项为，求数列的通项公式。解：= 两边同除以得=+1数列是首项为=1，d=1的等差数列 =1+ 故=五、 取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。例5、已知数列，= ， ，求=？解：把原式变形得 两边同除以得是首项为，d=的等差数列，故 。例6、已知数列满足，且（），求数列的通项公式。解：把原式变形成 两边同除以得即 构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列即整理得： 满足式使 数列是首项为，q= 的等比数列 。六利用公式求通项有些数列给出的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。例7.已知各项均为正数的数列的前n项和为满足1且6= n 求的通项公式。解：由=解得=1或=2，由已知1，因此=2又由=得=0 0 从而是首项为2，公差为3的等差数列，故的通项为=2+3(n-1)=3n-1.4