三角函数与平面向量.docx

三角函数与平面向量1函数ysin(2x)cos2(x)是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数2(2012年浙江)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|3已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1, )，则|ab|的最大值为()A1 B. C3D94(2012年洛阳统考)若，则sin cos 的值为()ABC.D.5在ABC中，“·0”是“ABC为直角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A()A. B C.D7函数f(x)sin(2x)，给出下列命题：函数f(x)在区间，上是减函数；直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴；函数f(x)的图象可以由函数ysin 2x的图象向左平移个单位得到其中正确的是()AB CD8.函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D19.在ABC中，A90°，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若·2，则等于 ()A. B. C. D210.ABC中，AB边的高为CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，则等于 ()A.ab B.ab C.ab D.ab11 已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则f(x)a·b的最小正周期是()A. B C2 D412 已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A.， B.， C.， D.，13.若ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且20，|，则·的值是()A3 B2 C1 D014(2012·陕西)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为()A. B. C. D15给出下列四个命题：f(x)sin2x的对称轴为x，kZ；函数f(x)sin xcos x的最大值为2；函数f(x)sin xcos x1的周期为2；函数f(x)sinx在，上是增函数其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D416设向量a，b满足：|a|1，a·b，|ab|2，则|b|_.17.在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_18.A(1,2)，B(2cos x，2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x0，若，则x的值为_19.给出下列命题：存在实数x，使得sin xcos x；若，为第一象限角，且>，则tan >tan ；函数ysin()的最小正周期为5；函数ycos()是奇函数；函数ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin(2x)的图象其中正确命题的序号是_(把你认为正确的序号都填上)20(2012年江苏)在ABC中，已知·3·.(1)求证：tan B3tan A；(2)若cos C，求A的值21已知A，B，C为锐角ABC的三个内角，向量m(22sin A，cos Asin A)，n(1sin A，cos Asin A)，且mn.(1)求A的大小；(2)求y2sin2Bcos取最大值时角B的大小21向量a(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b2.(1)求向量b；(2)若t(1,0)，且bt，c，其中A、B、C是ABC的内角，若ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|bc|的取值范围22.在分别是角A、B、C的对边，且 （1）求角B的大小； (2)设的最小正周期为上的最大值和最小值。23.在中，角的对边分别为、，已知。（1）求sinA；（2）若c=5,求的面积。24.已知函数，且。（）求函数的周期和单调递增区间；（）若，且，求的值。25.已知向量m，n.(1)若m·n1，求cos的值；(2)记f(x)m·n，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围26.(12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大小；(2)求cos Asin C的取值范围一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2012年孝感第一次统考)点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：由于2 013°5×360°211°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，从而A点在第三象限，选C.答案：C2(2011年高考课标卷)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()AB C. D.解析：由已知tan2，则cos 2.答案：B3函数ysin(2x)cos2(x)是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数解析：ysin(2x)cos2(x)·(sin 2x)·cos 2xsin 4x，因此周期T，且f(x)f(x)，函数是奇函数，选C.答案：C4(2012年浙江)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：由|ab|a|b|两边平方，得a2b22a·b|a|2|b|22|a|·|b|，即a·b|a|·|b|，故a与b方向相反又|a|b|，则存在实数1,0)，使得ba.故A，B命题不正确，C命题正确，而两向量共线，不一定有|ab|a|b|，即D命题不正确，故选C.答案：C5已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1, )，则|ab|的最大值为()A1 B. C3D9解析：|ab| ，所以|ab|的最大值为3.答案：C6(2012年洛阳统考)若，则sin cos 的值为()ABC.D.解析：依题意，得，所以sin cos ，选C.答案：C7在ABC中，“·0”是“ABC为直角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：由·0，故角B为直角，即ABC为直角三角形；反之若三角形为直角三角形，不一定角B为直角，故“·0”是“ABC为直角三角形”的充分不必要条件故选A.答案：A8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A()A.B C.D解析：mn，(bc)cos Aacos C.(sin Bsin C)cos Asin Acos C，即sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B，易知sin B0，cos A.答案：C9在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为()A.B2 C. D.解析：由(1,1)，知四边形ABCD为平行四边形，且|.又，知平行四边形ABCD为菱形，且C120°，S四边形ABCD××.故选A.答案：A10(2013届江西省百所重点高中阶段诊断)已知函数y4sin，的图象与直线ym有三个交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，那么x12x2x3等于()A. B. C. D.解析：可据题意作出函数y4sin，的图象，观察图象可知x1，x2关于直线x对称，x2，x3关于直线x对称，故x12x2x3(x1x2)(x2x3)2×2×.答案：A11如图，在平面斜坐标系中，xOy120°，平面上任意一点P的斜坐标是这样定义的：“若x e1y e2(其中e1，e2分别是与x，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)”那么，在斜坐标系中，以O为圆心，2为半径的圆的方程为()Ax2y22Bx2y24Cx2y2xy2Dx2y2xy4解析：据题意可知在斜坐标系中圆上的点P(x，y)满足|x e1y e2|2，即|x e1y e2|2x2y22xy e1·e2x2y22xycos 120°4，整理可得x2y2xy4，即为所求圆的方程故选D.答案：D12(20122013学年河北省高三教学质检)函数f(x)sin(2x)，给出下列命题：函数f(x)在区间，上是减函数；直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴；函数f(x)的图象可以由函数ysin 2x的图象向左平移个单位得到其中正确的是()AB CD解析：当x时，2x，f(x)在，上是减函数，故正确f()sin()，故正确ysin 2x向左平移个单位得ysin 2(x)cos 2xf(x)，故不正确故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设向量a，b满足：|a|1，a·b，|ab|2，则|b|_.解析：|ab|2，|ab|2a22a·bb28.又|a|1，a·b，b24，|b|2.答案：214(2011年江苏)函数f(x)Asin(x)，(A，是常数，A>0，>0)的部分图象如图所示，则f(0)_.解析：由图象知A，T4()，2，则f(x)sin(2x)，由2×，得，故f(x)sin(2x)f(0)sin.答案：15(2012年山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析：如图，由题意知OB2，圆半径为1，BAP2，故DAP2，DAAPcos(2)sin 2，DPAPsin(2)cos 2.OC2sin 2，PC1cos 2.(2sin 2,1cos 2)答案：(2sin 2,1cos 2)16(2012年衡阳六校联考)给出下列命题：存在实数x，使得sin xcos x；若，为第一象限角，且>，则tan >tan ；函数ysin()的最小正周期为5；函数ycos()是奇函数；函数ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin(2x)的图象其中正确命题的序号是_(把你认为正确的序号都填上)解析：对于，因为sin xcos xsin(x)，而>，因此不存在实数x，使得sin xcos x，故不正确；对于，取30°360°，30°，则tan tan ，因此不正确；对于，函数ysin()的最小正周期是T5，因此正确；对于，令f(x)cos()，则f(x)cos()cos()cos(7)cos()f(x)，因此正确；对于，函数ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2(x)sin(2x)的图象，因此不正确综上所述，其中正确命题的序号是.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，1822题，每题12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(2012年江苏)在ABC中，已知·3·.(1)求证：tan B3tan A；(2)若cos C，求A的值解：(1)证明：因为·3·，所以AB·AC·cos A3BA·BC·cos B，即AC·cos A3BC·cos B，由正弦定理知，从而sin Bcos A3sin Acos B，又因为0<AB<，所以cos A>0，cos B>0，所以tan B3tan A.(2)因为cos C，0<C<，所以sin C，从而tan C2，于是tan(AB)2，即tan(AB)2，亦即2，由(1)得2，解得tan A1或，因为cos A>0，故tan A1，所以A.18(2013年山东滨州联考)设ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c已知a1，b2，cos C(1)求ABC的边长(2)求cos(AC)的值解：(1)由余弦定理得：c2a2b22ab cos C142×1×2×4c>0，c2(2)sin2C1cos2C120<C<sin C由正弦定理：，即：，解得sin A，cos2A1sin2A12在三角形ABC中，a<bA<BA为锐角，cos Acos(AC)cos Acos Csin Asin B××19(2013届山西大学附属中学高三10月月考)已知A，B，C为锐角ABC的三个内角，向量m(22sin A，cos Asin A)，n(1sin A，cos Asin A)，且mn.(1)求A的大小；(2)求y2sin2Bcos取最大值时角B的大小解：(1)mn，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(cos Asin A)0，2(1sin2 A)sin2Acos2A2cos2A12cos2Acos2A.ABC是锐角三角形，cos AA.(2)ABC是锐角三角形，且A，<B<y2sin2Bcos1cos2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1当y取最大值时，2B即B.20(2012年山东)已知向量m(sin x,1)，n(Acos x，cos 2x)(A>0)，函数f(x)m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在0，上的值域解：(1)f(x)m·nAsin xcos xcos 2xAAsin.因为A>0，由题意知A6.(2)由(1)f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin的图象因此g(x)6sin.因为x，所以4x.故g(x)在上的值域为3,621(2012年辽宁锦州5月模拟)向量a(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b2.(1)求向量b；(2)若t(1,0)，且bt，c，其中A、B、C是ABC的内角，若ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|bc|的取值范围解：(1)设b(x，y)，则a·b2x2y2，且|b|1，解得或b(1,0)或b(0，1)(2)bt，且t(1,0)，b(0，1)A、B、C依次成等差数列，B.bc(cos A,2cos21)(cos A，cos C)|bc|2cos2Acos2C1(cos 2Acos 2C)1cos 2Acos(2A)1(cos 2Acos 2Asin 2A)1cos(2A)2A(，)，1cos(2A)<，|bc|2<，|bc|<.22(2012年湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，设函数f(x)a·b(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且(，1)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在区间0，上的取值范围解：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin(2x).由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin(2)±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点(，0)，得f()0，即2sin(×)2sin ，即.故f(x)2sin(x)，由0x，有x，所以sin(x)1，得12sin(x)2，故函数f(x)在0，上的取值范围为1，2江苏省邳州市第二中学高二数学 三角函数与平面向量解：（1） 2分，（） 4分所以，的周期。 6分（2）由，得， 8分 ， 9分又， 10分= 12分2、在分别是角A、B、C的对边，且 （1）求角B的大小； （2）设的最小正周期为上的最大值和最小值。解：（1）由，得由正弦定得，得又B又又 6分 （2）由已知 9分当因此，当时，当， 12分3、在，已知=5，点在线段上，且=0，设，求的值6分7分又9分12分4、在中，角的对边分别为、，已知。（1）求sinA；（2）若c=5,求的面积。本题的另一种做法：因为，所以ba因为cosB，所以cosB 4分所以a2c2a2ac即c2aca20所以ca所以bc即BC 8分所以sinAsinp(BC)sin2B2sinBcosB 11分当c5时，则b5，所以SABCbcsinA10 14分5、在四边形ABCD中， BD是它的一条对角线，且，BACD，若BCD是直角三形，求的值；在的条件下，求解析：（），在中，由余弦定理，得， （2分）由， 由得，从而 （4分）由题意可知， （5分）又BCD是，当时，则，由，； 当时，则，由，；综上， （7分）评析：本题考查平面向量和解三角形的基础知识，考查分类讨论的思想方法求解时容易发生的错误是：（1）将条件“BCD是直角三形”当作“BCD是以角是直角三形”来解，忽略对为直角的情况的讨论；（2）在计算时，将当作向量与的夹角，忽略了确定两个向量的夹角时必须将它们的起点移到一起暴露出思维的不严谨和概念理解的缺陷，在复习中要引起重视，加强 训练6、已知函数，且。（）求函数的周期和单调递增区间；（）若，且，求的值。解（）(理)2分4分函数的周期，6分单调递增区间为， 8分（）依题意得，10分或解得或12分7、已知向量.（）若求;（）设的三边满足，且边所对应的角为，若关于的方程有且仅有一个实数根，求的值.解：（）.4分.7分（）, .11分结合图象可得:.14分8、已知向量（为常数且）,函数在上的最大值为.（）求实数的值；（）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值.解：（）3分因为函数在上的最大值为，所以故5分（）由（）知：把函数的图象向右平移个单位，可得函数8分又在上为增函数的周期即所以的最大值为12分9、已知的三个内角所对的边分别为,且.()求角的大小；()现给出三个条件：；.试从中选择两个条件求的面积(注：只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分). 解:()由,得,所以(4分)则,所以(7分) ()方案一：选择.A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，则根据余弦定理，得，解得b=,则c=(11分) (14分)方案二：选择. 可转化为选择解决,类似给分.(注：选择不能确定三角形)10、已知函数.（I）求函数的最小正周期； （II）将函数的图象向左平移个单位，向下平移b个单位,得到函数的图象,求的值；（）求函数的值域. 解：（I） -2分 -3分函数的最小正周期是 -4分 例3已知向量m，n.(1)若m·n1，求cos的值；(2)记f(x)m·n，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值(2)在ABC中，求出A的范围，再求f(A)的取值范围解(1)m·nsin ·cos cos2sin sin，m·n1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0<B<，B.0<A<.<<，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.设<<，sin，求的值思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系解方法一由<<，得<<，又sin，所以cos.所以cos cos()coscos sinsin ，所以sin .故原式cos (12sin ).典例1：(5分)(2012·山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想解题策略根据整体思想，找出角x的范围，再根据图象求函数的最值解析由题意.画出y2sin x的图象如图，知，当x时，ymin.当x时，ymax2.故ymaxymin2.答案A解后反思(1)函数yAsin(x)可看作由函数yAsin t和tx构成的复合函数(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到典例2：(5分)(2012·天津)在ABC中，A90°，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若·2，则等于 ()A. B. C. D2考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力解题策略根据平面向量基本定理，将题中的向量，分别用向量，表示出来，再进行数量积计算解析(1)，·(1)224(1)342，即.1 (2012·大纲全国)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，则等于 ()A.ab B.abC.ab D.ab答案D解析利用向量的三角形法则求解如图，a·b0，ab，ACB90°，AB.又CDAB，AC2AD·AB，AD.(ab)ab.2 已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数f(x)a·b的最小正周期是()A. B C2 D4答案B解析f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，T.3 已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A.， B.， C.， D.，答案C解析由mn得m·n0，即cos Asin A0，即2cos0，<A<，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，所以sin C1，C，所以B.4 已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是 ()A. B.C. D.答案D解析由题意，得：(2cos ，2sin )，所以点A的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2012·北京)在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_答案解析利用正弦定理及三角形内角和性质求解在ABC中，由正弦定理可知，即sin B.又a>b，B.CAB.6 在直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，B(2cos x，2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x0，若，则x的值为_答案或解析因为(2cos x1，2cos 2x2)，(cos x,1)，所以·(2cos x1)cos x(2cos 2x2)·12cos2xcos x0，可得cos x0或cos x，所以x的值为或.7 已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的导函数，则_.答案解析由题意知，f(x)cos xsin x，由f(x)2f(x)，得cos xsin x2(sin xcos x)，得tan x3，所以.三、解答题(共22分)8 (10分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .9 (12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大小；(2)求cos Asin C的取值范围解(1)由a2bsin A，根据正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由ABC为锐角三角形可得B.(2)由(1)可知ACB，故CA.故cos Asin Ccos Asincos Asincos Acos Asin Acos Asin Asin，由ABC为锐角三角形可得，0<C<，故0<A<，解得<A<，又0<A<，所以<A<.故<A<，所以<sin<，所以<sin<，即cos Asin C的取值范围为.若ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且20，|，则·的值是()A3 B2 C1 D09(2012·陕西)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为()A. B. C. D10给出下列四个命题：f(x)sin2x的对称轴为x，kZ；函数f(x)sin xcos x的最大值为2；函数f(x)sin xcos x1的周期为2；函数f(x)sinx在，上是增函数其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D429