反比函数图像上四种三角形的面积.doc
反比函数图像上的四种三角形的面积襄樊市第四十七中学 熊沙函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。一、三角形面积的四个结论结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。设P（a，b）是反比例函数y=（k0）图像上的一点，过点P作PAx轴，垂足为A，三角形PAO的面积是S，则结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。设P（a，b）是反比例函数y=（k0）图像上的一点，过点P作PBy轴，垂足为B，三角形PBO的面积是S，则。结论3、正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k0）的图像交于A、B两点，过A点作ACx轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。证明：I因为，正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k0）的图像交于A、B两点，所以，所以，x=±，当x=时，y= k1x=，所以，点A的坐标是（，），当x=-时，y= k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-），所以，OC的长度是，三角形ABC 的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积=×OC×AC+×OC×BD=××+××|-|=k+k=k。所以，与k1无关。证明II、根据结论1，知道三角形AOC的面积是k，三角形BOC的面积=×OC×BD××|-|=，所以，三角形ABC 的面积= 。结论4、正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k0）的图像交于A、B两点，过A点作ACx轴，过B点作BCy轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。因为，正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k0）的图像交于A、B两点，所以，所以，x=±，当x=时，y= k1x=，所以，点A的坐标是（，），当x=-时，y= k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-），所以，OC的长度是，三角形ABC 的面积=三角形AOE的面积+三角形BOD的面积+矩形ODCE的面积=×OE×AE+×OD×BD+OD×DC=××+×|-|×|-|+×|-|=k+k+k=2k。所以，与k1无关。二、结论的具体应用这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。例1、如图5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 （08年巴中市）分析：根据结论1，知道面积S与k之间有如下的关系：|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k0，所以 k=-6.解：-6.例2、两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象，如图6所示，点P在y=的图象上，PCx轴于点C，交y=的图象于点A，PDy轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论： ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市）分析：因为，点A、B都在反比例函数y=的图像上，根据结论1和结论2，知道; ODB与OCA的面积相等,所以，是正确的；如图7所示，连接OP，根据结论1知道，三角形POC的面积为k，是个常数，三角形OAC的面积是，所以，三角形PAO的面积是k-，是个常数，根据结论2知道，三角形POD的面积为k，是个常数，三角形OBD的面积是，所以，三角形PBO的面积是k-，是个常数，所以，四边形PBOA的面积等于三角形PAO的面积+三角形PBO的面积=k-+k-=k-1，是一个定值，所以是正确的；设点P的坐标为（m，n），因为，点P在的图象上，反比例函数在第一象限内，所以，mn=k，m0，n0，因为，PCx轴于点C，交的图象于点A，所以，点A的横坐标为m，所以，点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）；因为，PDy轴于点D，交的图象于点B，所以，点B的纵坐标为n，所以，点A的横坐标为，即点B 的坐标为（，n），PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=，分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n时，PA=PB才能成立，所以，即是不正确的；当点A是PC的中点时，有PA=AC即=，所以，mn=2，即k=2，所以，点P的坐标为（m，），即点B 的坐标为（，），所以，点B是PD的中点，所以，当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点即是正确的；因此，一定正确的是.解：正确的结论是.例3、如图8，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，则k的值和Q点的坐标分别为_.（08年荆州市）简析：根据结论1知道：因为k是大于0的，所以，k=2S=2×=3，即y=，设Q的坐标为（m，n），则mn=3，因为，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，所以，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，-2），所以，线段OA =4,因为，PC为AOB的中位线，所以，点C是线段OA 的中点，所以，OC=2,即点Q的横坐标为m =2，所以，n=，所以点Q的坐标为（2，）。例4、如图9，反比例函数y=的图象与直线y=kx（k0）相交于A、B两点，AC轴，BC轴，则ABC的面积等于 个面积单位。 简析：因为，反比例函数y=中k=5，根据结论4，所以，ABC的面积等于2=10。
