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中学教育初中二次函数知识点详解最新助记口诀二次函数知识点详解 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。 a,b知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 ,x,0,y,0点P(x,y)在第二象限 ,x,0,y,0点P(x,y)在第三象限 ,x,0,y,0点P(x,y)在第四象限 ,x,0,y,02、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 ,y,0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 ,x,0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0) ,3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 ,点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 ,4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 1 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 ,点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 ,点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 ,6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x轴的距离等于 y(2)点P(x,y)到y轴的距离等于 x22(3)点P(x,y)到原点的距离等于 x，y知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 2 知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果(k，b是常数，k,0)，那么y叫做x的一次函数。 y,kx，b特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k,0)。这时，y叫做x的正比y,kx，by,kx例函数。 、一次函数的图像 2所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0，0)y,kx，by,kx的直线。 k的符号 b的符号 函数图像 图像特征 y 图像经过一、二、三象限，y随xb>0 0 x 的增大而增大。 k>0 y 图像经过一、三、四象限，y随xb<0 0 x 的增大而增大。 y 图像经过一、二、四象限，y随xb>0 的增大而减小 0 x K<0 图像经过二、三、四象限，y随xb<0 y 的增大而减小。 3 0 x 注:当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数有下列性质: y,kx(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大; (2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地，一次函数有下列性质: y,kx，b(1)当k>0时，y随x的增大而增大 (2)当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 ,确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函y,kx,数，需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法 y,kx，b知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 k,1,一般地，函数y,(k是常数，k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y,kxx,的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，4 它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交,点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 k反比例 y,(k,0)函数 xk的符号 k>0 k<0 y y 图像 O x O x ,?x的取值范围是x0， 0， ?x的取值范围是x, y的取值范围是y0; y的取值范围是y0; 性质 ?当k>0时，函数图像的两个分支分别 ?当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 k确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要y,x一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 k如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形y,(k,0)xk,PMON的面积S=PMPN=。 。 y,x,xy？y,？xy,k,S,kx知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 2一般地，如果特，特别注意a不为零 y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)那么y叫做x 的二次函数。 2叫做二次函数的一般式。 y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)2、二次函数的图像 5 b二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 x,2a抛物线的主要特征: ?有开口方向;?有对称轴;?有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 2(2)求抛物线与坐标轴的交点: y,ax，bx，c当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点七、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀- 一般 两根 三顶点 2(1)一般 一般式: y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)22(2)两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有y,ax，bx，cax，bx，c,02实根x和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数xax，bx，c,a(x,x)(x,x)12122可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 y,ax，bx，cy,a(x,x)(x,x)12a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2(3)三顶点 顶点式: y,a(x,h)，k(a,h,k是常数，a,0)知识点八、二次函数的最值 6 b如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，x,2a24acb,y。 ,最值4ab如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，,x,x,xx,x,x12122a24acbb,若在此范围内，则当x=时，y;若不在此范围内，则需要考虑函数在范,x,x,x,12最值2a4a2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当x,xy,ax，bx，cx,x2221最大22时，;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，y,ax，bx，cx,xy,ax，bx，c11111最小最大2当时，。 x,xy,ax，bx，c222最小知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质 二次函数 函数 2 y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)a>0 a<0 图像 7 y y 0 x 0 x (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸; (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸; bbbb(2)对称轴是x=，顶点坐标是(，顶点坐标是(，,(2)对称轴是x=,2a2a2a2a224acb4acb,); ); 4a4abb(3)在对称轴的左侧，即当x<,时，y随x(3)在对称轴的左侧，即当x<,时，y随2a2a性质 的增大而减小;在对称轴的右侧，即当x的增大而增大;在对称轴的右侧，即当bbx>,时，y随x的增大而增大，简记左减x>,时，y随x的增大而减小，简记左2a2a右增; 增右减; bb(4)抛物线有最低点，当x=,时，y有最小(4)抛物线有最高点，当x=,时，y有最2a2a224acb4acb,yy值， 大值， ,最小值最大值4a4a22、二次函数中，的含义: y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)a、b、c表示开口方向:>0时，抛物线开口向上 aa<0时，抛物线开口向下 ab,与对称轴有关:对称轴为x= b2a表示抛物线与y轴的交点坐标:(0，) cc3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 2因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 ,b,4ac,当>0时，图像与x轴有两个交点; ,当=0时，图像与x轴有一个交点; 8 当<0时，图像与x轴没有交点。 ,知识点十 中考二次函数压轴题常考公式(必记必会，理解记忆) 1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法) y 如图:点A坐标为(x，y)点B坐标为(x，y) 112222则AB间的距离，即线段AB的长度为 A ，x,x，y,y12120 x B 2，二次函数图象的平移 2? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; hkyaxhk,，2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: hkyax,，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位?平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk函数平移图像大致位置规律(中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间) 9 特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆) 说明? 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右 ?向左向上移动为加，向右向下移动为减 左上加右下减3 b4 、直线斜率:为直线在y轴上的截距、直线方程:y,y21k,tan,x,x21?由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:4、两点y,y21y,y,kx，b,(tan,)x，b,x(x,x) 11 此公式有多种变形 牢记 x,x21y,y,kx(x,x) ?点斜11ykxbk0?直线的斜截式方程，简称斜截式:,，(?) 斜截xyyx，,1? 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式:截距ab牢记 口诀 -两点 点斜 斜截 截距 两点斜截距ykxb,，ll/llykxb,，llkk/,5 、设两条直线分别为，:若，则有111222121212bb, 且。若 12llkk,11212kx,y，bkx,y，b0000d,xy6、点P(，)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离: 00222k，(,1)k，127、抛物线中， a b c,的作用 y,ax，bx，c2 (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. aay,ax2 (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 aby,ax，bx，cbbx,，故:?时，对称轴为轴;?(即、同号)时，对称轴在轴左侧;y,0yab,0b2aa10 b?(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 口诀 - 同左 异右 ,0yaba2 (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. ycy,ax，bx，c2 当时，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，): y,cycx,0y,ax，bx，c?，抛物线经过原点; c,0?,与轴交于正半轴; yc,0?,与轴交于负半轴. yc,0b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . y,0a十一，中考点击 考点分析: 内容 要求 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 ? 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 ? 3、一次函数的概念和图像 ? 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 ? 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 ? 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次? 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题预测:函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右(一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右(反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36分;二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中(要求:能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称11 轴，并能解决实际问题(会求一元二次方程的近似值( 分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2009年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解(同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用( 十二，初中数学助记口诀(函数部分) 特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;X轴上y为0,x为0在Y轴。 对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号;原点对称最好记,横纵坐标变符号。 自变量的取值范围:分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。 函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍, 同左上加 异右下减 一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象现;开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。 正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。 反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。 二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，?的符号最简便，x轴上数12 交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 1 对称点坐标: 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号; 原点对称最好记,横纵坐标变符号。 轴对称 关于x22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，xyaxbxc,22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，xyaxhk,，关于轴对称 y22 关于轴对称后，得到的解析式是; yyaxbxc,，yaxbxc,，22关于轴对称后，得到的解析式是; yyaxhk,，yaxhk,，关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22 关于原点对称后，得到的解析式是 yaxhk,，yaxhk,，,，关于顶点对称 2b22yaxbxc,，, 关于顶点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，2a22关于顶点对称后，得到的解析式是( yaxhk,，yaxhk,，关于点mn对称 ，22mn关于点对称后，得到的解析式是 yaxhk,，yaxhmnk,，,，,22，13 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求抛a物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 口诀- - Y反对X，X反对Y，都反对原点 2 自变量的取值范围: 分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零， 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b， 二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式， 则用下面后的口诀: “左右平移在括号,上下平移在末稍, 左正右负须牢记,上正下负错不了”。 一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限; 正比例函数更简单,经过原点一直线; 两个系数k与b,作用之大莫小看， k是斜率定夹角,b与Y轴来相见, k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反; k的绝对值越大,线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键; 14 开口、顶点和交点,它们确定图象限; 开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点,双曲线相背离的远; k为正,图在一、三(象)限;k为负,图在二、四(象)限; 图在一、三函数减,两个分支分别减;图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。 函数学习口决:正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键; 反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换; 二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，?的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 求定义域: 求定义域有讲究，四项原则须留意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 指是分数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，满足多个不等式。 求定义域要过关，四项原则须注意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 15 分数指数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，不等式组求解集。 解一元一次不等式: 先去分母再括号，移项合并同类项。 系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。 先去分母再括号，移项别忘要变号。 同类各项去合并，系数化“1”注意了。 同乘除正无防碍，同乘除负也变号。 解一元二次不等式: 首先化成一般式，构造函数第二站。 判别式值若非负，曲线横轴有交点。 a正开口它向上，大于零则取两边。 代数式若小于零，解集交点数之间。 方程若无实数根，口上大零解为全。 小于零将没有解，开口向下正相反。 13.1 用公式法解一元二次方程 要用公式解方程，首先化成一般式。 调整系数随其后，使其成为最简比。 确定参数abc，计算方程判别式。 判别式值与零比，有无实根便得知。 有实根可套公式，没有实根要告之。 16 用常规配方法解一元二次方程: 左未右已先分离，二系化“1”是其次。 一系折半再平方，两边同加没问题。 左边分解右合并，直接开方去解题。 该种解法叫配方，解方程时多练习。 用间接配方法解一元二次方程: 已知未知先分离，因式分解是其次。 调整系数等互反，和差积套恒等式。 完全平方等常数，间接配方显优势 【注】 恒等式 解一元二次方程: 方程没有一次项，直接开方最理想。 如果缺少常数项，因式分解没商量。 b、c相等都为零，等根是零不要忘。 b、c同时不为零，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方。 正比例函数的鉴别: 判断正比例函数，检验当分两步走。 一量表示另一量， 有没有。 若有再去看取值，全体实数都需要。 17 区分正比例函数，衡量可分两步走。 一量表示另一量， 是与否。 若有还要看取值，全体实数都要有。 正比例函数的图象与性质: 正比函数图直线，经过 和原点。 K正一三负二四，变化趋势记心间。 K正左低右边高，同大同小向爬山。 K负左高右边低，一大另小下山峦。 一次函数: 一次函数图直线，经过 点。 K正左低右边高，越走越高向爬山。 K负左高右边低，越来越低很明显。 K称斜率b截距，截距为零变正函。 反比例函数: 反比函数双曲线，经过 点。 K正一三负二四，两轴是它渐近线。 K正左高右边低，一三象限滑下山。 K负左低右边高，二四象限如爬山。 18 二次函数: 二次方程零换y，二次函数便出现。 全体实数定义域，图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线，平移也可去描点， 提取配方定顶点，两条途径再挑选。 列表描点后连线，平移规律记心间。 左加右减括号内，号外上加下要减。 二次方程零换y，就得到二次函数。 图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。 绝对值大开口小，开口向下A负数。 抛物线有对称轴，增减特性可看图。 线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。 列表描点后连线，三点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小随基础。 【注】基础抛物线 列方程解应用题: 19 列方程解应用题，审设列解双检答。 审题弄清已未知，设元直间两办法。 列表画图造方程，解方程时守章法。 检验准且合题意，问求同一才作答。 两点间距离公式: 同轴两点求距离，大减小数就为之。 与轴等距两个点，间距求法亦如此。 平面任意两个点，横纵标差先求值。 差方相加开平方，距离公式要牢记。 1楼 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a?0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2;+bx+c(a，b，c为常数，a?0) 顶点式:y=a(x-h)2;+k 抛物线的顶点P(h，k) 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线 注:在3种形式的互相转化中，有如下关系: 20 h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b?b2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P -b/2a ，(4ac-b2;)/4a 。 当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a,0时，抛物线向上开口;当a,0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab,0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab,0)，对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac,0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac,0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2;+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)， 即ax2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 答案补充 画抛物线y,ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式:y,ax2+bx+c (a,b,c为常数，a?0). (2)顶点式:y,a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a?0). 21 (3)两根式:y,a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c,0的两个根，a?0. 说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y,a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h,0时，抛物线y,ax2+k的顶点在y轴上;当k,0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h,0且k,0时，抛物线y,ax2的顶点在原点 2、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。答案补充 2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2;如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k 定义与定义表达式 （3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系: (1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.y=ax2+bx+c 4.二次函数的应用： 几何方面(a，b，c为常数，a?0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。) 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.则称y为x的二次函数。 3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ?一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a?0) ?顶点式抛物线的顶点 P(h，k) :y=a(x-h)2+k 5、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。?交点式仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化: 第二章 二次函数?一般式和顶点式的关系 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a ?一般式和交点式的关系 x1,x2=-b?(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式) 22