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-二次函数知识点总结1二次函数知识点 第一部分 基础知识 一、二次函数概念: 21(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，a,0)的yaxbxc,，abc函数，叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项a,0系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实数( bc22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xxb? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( abcac二、二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,开口方顶点坐对称的符号 性质 a向 标 轴 x,0yx,0y时，随的增大而增大;时，随x00 ，a,0 y轴 向上 x,0y0的增大而减小;时，有最小值( xx,0x,0yy时，随的增大而减小;时，随x00 ，a,0 y轴 向下 x,00y的增大而增大;时，有最大值( xa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 22. yaxc,，的性质:上加下减。 开口方顶点坐对称的符号 性质 a向 标 轴 x,0yx,0y时，随的增大而增大;时，随x0c a,0， y轴 向上 x,0y的增大而减小;时，有最小值( xc1 时，随的增大而减小;时，随x,0yx,0yx0c，a,0 轴 y向下 的增大而增大;时，有最大值( x,0yxc2yaxh,3. 的性质:左加右减。 ，开口方顶点坐对称的符号 性质 a向 标 轴 xh,时，y随的增大而增大;xh,时，y随的xxh0，a,0 向上 X=h 增大而减小;xh,时，y有最小值0( xh,xh,时，y随的增大而减小;时，y随的xxh0，a,0 向下 X=h xh,0增大而增大;时，y有最大值( 2yaxhk,，4. 的性质: ，开口方顶点坐对称的符号 性质 a向 标 轴 xh,yxh,y时，随的增大而增大;时，xhk ，a,0 向上 X=h xh,yk随的增大而减小;时，有最小值( xxh,xh,yy时，随的增大而减小;时，xhk a,0 ，X=h 向下 xh,ky随的增大而增大;时，有最大值( x三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 2yaxhk,，方法一:? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标，2hkhk;? 保持抛物线yax,的形状不变，将其顶点平移到处，具体平，移方法如下: 2 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 2. 平移规律 hk 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 方法二: 22yy,ax，bx，cy,ax，bx，c?沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成 m22y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m(或) 22y,ax，bx，cy,ax，bx，c?沿轴平移:向左(右)平移个单位，变成m22y,a(x，m)，b(x，m)，cy,a(x,m)，b(x,m)，c(或) 22yaxhk,，四、二次函数与的比较 yaxbxc,，22yaxhk,，从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通yaxbxc,，222bacb4,bacb4,过配方可以得到前者，即，其中hk,( yax,，,24aa24aa,2五、二次函数yaxbxc,，图象的画法 22五点绘图法:利用配方法将二次函数yaxbxc,，化为顶点式yaxhk,，()，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画y0c0c图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称，2hc，x0x0轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有交点，则取xx，12两组关于对称轴对称的点). y画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴x3 的交点. 2六、二次函数的性质 yaxbxc,，b 1. 当a,0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为x,2a2,bacb4,( ,24aa,bb当时，y随的增大而减小;当时，y随的增大而增大;当x,x,xx2a2a2b4acb,时，y有最小值( x,2a4aba,0 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为x,，顶点坐标为2a2,bbbacb4,yy,(当x,时，随的增大而增大;当x,时，随的xx,2a2a24aa,2b4acb,y增大而减小;当x,时，有最大值( 2a4a七、二次函数解析式的表示方法 2ba,01. 一般式:(，为常数，); yaxbxc,，ac2hka,02. 顶点式:(，为常数，); yaxhk,，()aa,03. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标). xxyaxxxx,()()x1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次2函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线xbac,40的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2a,0二次函数yaxbxc,，中，作为二次项系数，显然( aa,0 ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，aa开口越大; a,0 ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，aa开口越大( 4 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的aaa大小决定开口的大小( 2. 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴( a? 在a,0的前提下， b当b,0时，即抛物线的对称轴在y轴左侧; ,02ab当b,0时，即抛物线的对称轴就是y轴; ,02ab当b,0时，即抛物线对称轴在y轴的右侧( ,02aa,0? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 bb,0y当时，即抛物线的对称轴在轴右侧; ,02abb,0y当时，即抛物线的对称轴就是轴; ,02abb,0y当时，即抛物线对称轴在轴的左侧( ,02ab总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( ababx,ab,0yy的符号的判定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则2aab,0，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项 cc,0yy ? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵x坐标为正; c,0yy ? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的0纵坐标为; c,0yy ? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵x坐标为负( y 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置( c总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( abc二次函数解析式的确定: 5 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式或两根式; x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,x22yaxhk,，yaxhk,关于轴对称后，得到的解析式是; x，2. 关于y轴对称 22 关于y轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，22yaxhk,，yaxhk,，y关于轴对称后，得到的解析式是; ，3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22yaxhk,，yaxhk,，, 关于原点对称后，得到的解析式是; ，4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) 2b22yaxbxc,，, yaxbxc,，关于顶点对称后，得到的解析式是; 2a22yaxhk,，yaxhk,，关于顶点对称后，得到的解析式是( ，mn 5. 关于点对称 ，22yaxhk,，yaxhmnk,，,，,22mn关于点对称后，得到的解析式是 ，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生a变化，因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已6 知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊yaxbxc,，y,0axbxc，,0情况. 图象与轴的交点个数: x2? 当时，图象与轴交于两点，其中AxBx，00()xx,x,bac40，12122axbxca，,00的是一元二次方程的两根(这两点间的距离xx，122bac,4ABxx,. 21a,0? 当时，图象与轴只有一个交点; x,0? 当时，图象与轴没有交点. x1'a,0 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; xxy,02'a,0当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( xxy,02y2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，; yaxbxc,，(0c)3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; x? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2b? 根据图象的位置判断二次函数yaxbxc,，中，的符号，或由二次acb函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合; ac? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. x2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxca，,(0)本身就是a,0所含字母的二次函数;下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一 x元二次方程之间的内在联系: ,0 抛物线与轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实x有两个交点 正、可零、可负 根 7 ,0轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实抛物线与x只有一个交点 非负 数根 ,0轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根. 抛物线与x无交点 为正 图像参考: 2y=2x2y=x2xy=22xy= -22y= -x2y=-2x2+2y=2x2y=2x22y=2xy=2(x-4)2y=2x-42y=2(x-4)-38 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 十一、函数的应用 刹车距离,何时获得最大利润二次函数应用 ,最大面积是多少,二次函数考查重点与常见题型 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 22y,(m,2)x，m,m,2已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则x的值是 m综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数y,kx，b2y,kx，bx,1的图像大致是( ) y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 9 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如: 5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解x,3析式。 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如: 2已知抛物线(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与yyaxbxc,，3轴交点的纵坐标是, 2(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5(考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 c2M(b,)例1 (1)二次函数的图像如图1，则点在( ) yaxbxc,，aA(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 2 (2)已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图2所示，则下列结论:?a、b同号;?当x=1和x=3时，函数值相等;?4a+b=0;?当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键( 2例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x，0)，且1<x<2，11与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方(下列结论:?a<b<0;?2a+c>O;?4a+c<O;?2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D(4个 答案:D 10 会用待定系数法求二次函数解析式 2例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数2y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案:C 例4、(2006年烟台市)如图(单位:m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合(设x秒时，三角形与正方形重叠部2分的面积为ym( (1)写出y与x的关系式; (2)当x=2，3.5时，y分别是多少, (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间,求抛物线顶点坐标、对称轴. 152例5、已知抛物线y=x+x-( 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴( (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长( 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系( 2例6.已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB( A(x,0)B(x,0)(x,x)1212(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角?MCO>?ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在，请你说明理由( (1)解:如图?抛物线交x轴于点A(x，0)，B(x2，O)， 1则x?x=3<0，又?x<x， 1212?x>O，x<O，?30A=OB，?x=-3x( 212122 ?x?x=-3x=-3(?x=1. 1211x<0，?x=-1(?(x=3( 112?点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 2 ?(二次函数的解析式为y-2x-4x-6( (2)存在点M使?MC0<?ACO( (2)解:点A关于y轴的对称点A(1，O)， ?直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)( ?符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5( 当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，?MCO>?ACO( 11 12y,x，bx，c例7、 “已知函数的图象经过点A(c，,2)， 2求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。 (2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评: 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c，,2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 12y,x，bx，c解答 (1)根据的图象经过点A(c，,2)，图象的对称轴21,2，,2,cbcc,2,是x=3，得 b,3,12,2,b,3,解得 ,c,2.,12y,x,3x，2.所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 212x,3x，2,0x,3，5,x,3,5.(2)在解析式中令y=0，得，解得 1225,0)所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x(3,5,0).轴的一个交点的坐标是 5y,令x=3代入解析式，得 212 152y,x,3x，2(3,),所以抛物线的顶点坐标为 225所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。 (3,)2函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2，BF=1(试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积( 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力(同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间( 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数( (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,此时 每日销售利润是多少元, 1525,kb，, 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b(则 解得k=-1，,220kb，,b=40，即一次函数表达式为y=-x+40( (2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225( 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元( 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;(2)问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程( 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线(如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2(5 m处(绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶(已知学生丙的身高是1(5 m，则学生丁的身13 高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A(1(5 m B(1(625 m C(1(66 m D(1(67 m 分析:本题考查二次函数的应用 答案:B 第二部分 典型习题 2,.抛物线y,x，2x,2的顶点坐标是 ( D ) A.(2，,2) B.(1，,2) C.(1，,3) D.(,1，,3) A2y,ax，bx，c,.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( C ) ,(ab,0，c,0 ,(ab,0，c,0 ,(ab,0，c,0 ,(ab,0，c,0 FEBC D第,题图 第4题图 2y,ax，bx，c,.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( , ) A(a,0，b,0，c,0 B(a,0，b,0，c,0 C(a,0，b,0，c,0 D(a,0，b,0，c,0 ,.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，交ABEFBC/h,4,ABC,DEF于点E，交AC于点F(EF不过A、B)，设E到BC的距离为，则的面积y关x于的函数的图象大致为( , ) x14 y4444 O2O4O2424O2x4BCDA EFx4,2,？,，EFxyxx82,4 842,.抛物线y,x,2x,3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ( 26.y,kx，(2k,1)x,1已知二次函数与x轴交点的横坐标为、()，则对于xxx,x12122kx，(2k,1)x,1,0下列结论:?当x,2时，y,1;?当时，y,0;?方程x,x2214，k有两个不相等的实数根、;?，;?，其中xx,xxx,1x,1121221k所有正确的结论是 ? (只需填写序号)( 7.已知直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y,2x，bb,02，y,x,b，10x，c. (1)若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解y,2x，b析式; (2)过点B作直线BC?AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式. y,2x，b22y,x,10y,x,4x,6解:(1)或 2bbb，1016100cb, 将代入，得.顶点坐标为，由题意得(，0)b(,),242bbb，1016100bb,10,6，解得. ,，,2b122415 (2) y,2x,28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入yy,21,4值为,0,时, 相应的输出值分别为5,( ,3(1)求此二次函数的解析式; )在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数(2y时输入值的取值范围. x2解:(1)设所求二次函数的解析式为y,ax，bx，c, 2,a(,2)，b(,2)，c,5c,3a,1,2,0，,0，,3abc则,即 ,解得 2a,b,4b,2,y ,abc，,4a，b,1c,3,2y,x,2x,3. 故所求的解析式为:x O (2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y为正数时， 输入值的取值范围是x,1或x,3( x9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同(他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图(请根据图象回答: ?第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升第9题 到最高需要多少时间? ?第三天12时这头骆驼的体温是多少? ?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式( 16 解:?第一天中，从4时到16时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12小时 ?第三天12时这头骆驼的体温是39? 12，y,x，2x，2410,x,22? 1642y,ax，(，3a)x，410.已知抛物线与x轴交于A、 3B两点，与y轴交于点C(是否存在实数a，使得 ?ABC为直角三角形(若存在，请求出a的值;若不 存在，请说明理由( 解:依题意，得点C的坐标为(0，4)( 设点A、B的坐标分别为(，0)，(，0)， xx12442ax，(，3a)x，4,0,x 由，解得 ，( x,3213a34, ? 点A、B的坐标分别为(-3，0)，(，0)( 3a422AB,|,，3| ? ， AC,AO，OC,53a42222|,|，4( BC,BO，OC,3a416416822AB,|,，3|,2，3，9,，9 ? ， 223a9a3a9aa1622BC,，16 ，( AC,2529a222 ?当时，?ACB,90?( AB,AC，BC222 由， AB,AC，BC16816,，9,25，(，16) 得( 229aa9a17 1a, 解得 ( 4526116400222a,AB,BC, ? 当时，点B的坐标为(，0)，( AC,254399222 于是( AB,AC，BC1a, ? 当时，?ABC为直角三角形( 4222 ?当时，?ABC,90?( AC,AB，BC1681622225,(,，9)，(，16) 由，得( AC,AB，BC22a9a9a4a,解得 ( 9444a, 当时，点B(-3，0)与点A重合，不合题意( ,3493a3，9222 ?当时，?BAC,90?( BC,AC，AB16168222，16,25，(,，9) 由，得( BC,AC，AB22a9a9a4a, 解得 (不合题意( 91a, 综合?、?、?，当时，?ABC为直角三角形( 4211.已知抛物线y,x，mx,m，2. 5(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB,，试求m的值; (2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 ?MNC的面积等于27，试求m的值. 2解: (1),(x，0),B(x，0) . 则x ，x是方程 x,mx，m,2,0的两根. 1212?x，x ,m , x?x =m,2 ,0 即m,2 ; 1 2122又AB,?xx?, , (xxxx+),451 212122?m,4m，3=0 . 18 y 解得:m=1或m=3(舍去) , ?m的值为1 . C (2)M(a，b)，则N(,a，,b) . ?M、N是抛物线上的两点, M 2,，,，,amamb2,?x , ?,2O ,，,amamb2.?,N 22?，?得:,2a,2m，4,0 . ?a,m，2 . ?当m,2时，才存在满足条件中的两点M、N. ? . am,2这时M、N到y轴的距离均为2,m, 又点C坐标为(0，2,m),而S= 27 , ?M N C 12?(2,m)?=27 . ?2,m2?解得m=,7 . 2y,ax，4ax，t12.已知:抛物线与x轴的一个交点为A(,1，0)( (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标; (2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式; (3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5?2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问:在抛物线的对称轴上是否存在点P，使?APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由( 解法一: (1)依题意，抛物线的对称轴为x,2( ? 抛物线与x轴的一个交点为A(,1，0)， ? 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(,3，0)( 19 2(2)? 抛物线y,ax，4ax，t与x轴的一个交点为A(,1， 0)， 22 ? a(,1)，4a(,1)，t,0(? t,3a(? y,ax，4ax，3a( 2 ? D(0，3a)(? 梯形ABCD中，AB?CD，且点C在抛物线y,ax，4ax，3a 上， ? C(,4，3a)(? AB,2，CD,4( 11(AB，CD),OD,9(2，4)3a,9 ? 梯形ABCD的面积为9，? (? ( 22? a?1( 22y,x，4x，3y,x,4ax,3 ? 所求抛物线的解析式为或( xyx,0y,0 (3)设点E坐标为(，).依题意， 0000y550y,x 且(? ( ,002x202y,x，4x，3?设点E在抛物线上， 2y,x，4x，3?( 0001,5,x,，0,y,x,6，x,0002 解方程组 得 2,y,15;520,y,x，4x，3y,(000,0,4,15, ? 点E与点A在对称轴x,2的同侧，? 点E坐标为(，)( 24设在抛物线的对称轴x,2上存在一点P，使?APE的周长最小( ? AE长为定值，? 要使?APE的周长最小，只须PA，PE最小( ? 点A关于对称轴x,2的对称点是B(,3，0)， ? 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x,2的交点( 设过点E、B的直线的解析式为， y,mx，n20 1,15m,m，n,2 ? 解得 24,3,3m，n,0.n,.,2,131y,x，y, ? 直线BE的解析式为(? 把x,2代入上式，得( 2221 ? 点P坐标为(,2，)( 222y,x,4x,3 ?设点E在抛物线y,x,4x,3上，? ( 0005,y,x,3,002yx，x，3,0 解方程组 消去，得( 2,00022,y,x,4x,3.000,? ?,0 . ? 此方程无实数根( 1 综上，在抛物线的对称轴上存在点P(,2，)，使?APE的周长最小( 2解法二: 2y,ax，4ax，t (1)? 抛物线与x轴的一个交点为A(,1，0)， 22a(,1)，4a(,1)，t,0y,ax，4ax，3a ? (? t,3a(? ( 2 令 y,0，即(解得 ，( x,1x,3ax，4ax，3a,012? 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(,3，0)( 2y,ax，4ax，3a (2)由，得D(0，3a)( ? 梯形ABCD中，AB?CD，且点C在抛物线 2y,ax，4ax，3a上， ? C(,4，3a)(? AB,2，CD,4( 1(AB，CD),OD,9 ? 梯形ABCD的面积为9，? (解得OD,3( 221 ? (? a?1( 3a,322 ? 所求抛物线的解析式为y,x，4x，3或y,x,4x,3( (3)同解法一得，P是直线BE与对称轴x,2的交点( ? 如图，过点E作EQ?x轴于点Q(设对称轴与x轴的交点为F( BFPF11PFPF, ,由PF?EQ，可得(? (? ( ,552BQEQ241 ? 点P坐标为(,2，)( 2以下同解法一( 13.已知二次函数的图象如图所示( (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标( (2)若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q(当点N在线段BM上运动时(点N不与点B，点M重合)，设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使?PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; (4)将?OAC补成矩形，使?OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)( 解:(1)设抛物线的解析式， y,a(x，1)(x,2)2a,1y,x,x,2 ? (? (? ( ,2,a，1，(,2)19,，, 其顶点M的坐标是( ,24,22 (2)设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为N(t，h)， y,kx，b0,2k，b，,3,k,b,3 ? (解得，( ,912,k，b.,42,3y,x,3 ? 线段BM所在的直线的解析式为( 211231312,t,2h,t,3s,，1，2，(2，t,3)t,t,t，1 ? ，其中(? ( 22422233112,t,2S,t,t，1 ? s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是( 2423557,P，, (3)存在符合条件的点P，且坐标是，( P,212424,2 设点P的坐标为P，则( (m，n)n,m,m,22222222PA,(m，1)，nPC,m，(n，2)，AC,5，( 分以下几种情况讨论: 222 i)若?PAC,90?，则( PC,PA，AC2,n,m,m,2，,? ,2222,m，(n，2),(m，1)，n，5.,575,m,P， 解得:，m,1(舍去)( ? 点( ,112224,222 ii)若?PCA,90?，则( PA,PC，AC2,n,m,m,2，, ? ,2222,(m，1)，n,m，(n，2)，5.,335,m,，m,0P，, 解得:(舍去)(? 点( ,342224,PA,AC iii)由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，所以边AC的对角?APC23 不可能是直角( (4)以点O，点A(或点O，点C)为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D(,1，,2)， 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图1248,b，此时未知顶点坐标是E,，F，,( ,5555,图a 图b 2y,ax,214.已知二次函数的图象经过点(1，,1)(求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数( 解:根据题意，得a,2,1. 2y,x,2? a,1( ? 这个二次函数解析式是( 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是(0，,2)，所以该函数图象与x轴有两个交点( 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分(在大桥截面1?11000的比例图上，跨度AB,5 cm，拱高OC,0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥