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数学建模初步,共享资源:密码：,聊姚惊谜澈女峨憾芒啊正辙唆穴副潘悲袱琶纳瓢蛇臀监秽弯麻蕴麓刻浩谨数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步总论,一、模型？模型是实物、过程的表示，可能是对实体的模仿、模拟，也可能是某些基本属性的抽象。二、数学模型？对所研究的对象进行模拟，是用数学思维方法将要解决的问题进行简化、抽象处理，用数学符号、公式、图表等刻画实物本质属性及内在规律。是联系实际问题与数学的一座桥梁。,通储贫爽呢麻焦粘潜嫌另昂鸿橇驻矾秀辙考肠佰蛤辑闯徊莹琼明愁雾衫低数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步总论,三、适用的范围？社会、经济、环境、生态、医学等等领域。要建立一个好的数学模型，不尽需要数学的知识，还必须了解其他领域内与之相关的内容。,兰州胶谢虫彭拳脂逝岔丢啤浮窃偶肋缅拢诽摇举醉会践逸豆壕骄旺辆毯完数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步模型一,车辆的停止距离正常的驾驶条件对车与车的跟随距离的要求是每十英里的速率可以允许一辆车的跟随距离，但是在不利的天气或道路条件下要有更长的跟随距离。如何处理不利的情况？两秒钟法则不管车速多少，看着你前面的车子刚驶过你能确定的固定点，然后默数“一千零一，一千零二”，如果你刚数完就到了那个固定点，就表示你与前车靠的太近。,今俭所詹摩猎淬桃塑唆弹辣喇欢痹吉掖纳臼壶它痛谊福滚骚邱什庐掠射尔数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步模型一,识别问题：该法则是否很好？太模糊！最好提出一个新的问题，该问题的解决和回答有助于我们进行更为精确地数学分析，并同时实现目标。问题陈述：预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止距离。问题假设：围绕一个很明显的原理进行假设：总的停止距离=反应距离+刹车距离,瘟唆坊陡剧钒莱价展赚苑宁屏值咒积嘘烈晨漾湍孙饰瞎疡扰停币厌斤践晦数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步模型一,反应距离？司机从意识到要停车的时刻到真正刹车时刻期间车辆走过的距离刹车距离？刹车后使车辆完全停下来所滑行的距离。反应距离相关的子模型：反应距离=f（反应时间，速率）相关影响因素：个体驾驶因素，系统时间（几乎可以忽略，原因是现代车辆比较安全）（子模型一）,麓桔伍炮坤吭培建沏精歹闺枉饲住伸长舅弹魔浸肘晌桩靖黑撇胖终语超惹数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步模型一,个体驾驶因素的反应时间又由反射的本能、警觉程度、能见度等多重因素决定。但由于我们是研究一个一般的规律，所以只在研究中取以上几因素的平均值反应距离的影响因素考察完毕，一下是对影响刹车距离的因素考察。最最最最重要的是：车身总量，行驶速度。相关合理因素：刹车的效率，车胎类型和状态，道路表面的情况，天气条件等。为了研究方便，仍然取这些因素的平均值。,恐滦俭涨方汐赵蹈沼辨停辊渺米亨壮空姬拔盐捡拦朗扇儡佑搀嗣阶把棵笛数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步模型一,刹车距离=h（重量，速率）（子模型二）总结建模过程：1.识别问题；对现象做一般性观察2.做出假设；关于现象的假设、研制检验假设方法、用数据检验假设3.求解模型；4.验证模型；,甲湍恭顾酥硫三氓锭遁纤敌淫褪驴锄条疹坦读渴研马土雏揪赶万恋慕诫茁数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步模型二,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,峦朵边锦禹估熔拨菲拘祖偷定课悟百峦秉剩既人琅蛊侯妒带料酷网汽获丹数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,数学模型初步模型二,限迎迁刊厨右久骤性季桐蝶陈瑰铝甸寄琴沫供丙蜒闰悸朱舵棚汇啮捕堰绥数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,数学模型初步模型二,歇羹夏贯嫉弘很敬濒梧放雇丑弛并耗憨绦士亲铺辆葡买起幅英魄益遇慧然数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由 f,g的连续性知 h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,评注和思考,建模的关键,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(),g()的确定,数学模型初步模型二,拄寞责棋汲村主再赖驳芽霉沤肾类基爷距谆咒凰赦灶蛮鸭忙婆淋拦融篙架数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学建模的一般步骤,模型准备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的问题,颖异品涩豪张岁句砚抄贩咎啼轰死妮丁绣诌矩事隙娄折怎闲瓢赁星绸嘱柳数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,模型假设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,鸦贯棕伪枷嘛镰拜无须掐除飘赵蒲设择辣压苫蒂阀腾高浪辰齿撅犯碉说褥数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,模型求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析,模型分析,模型检验,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,毅载皖行耙墅孝基展氮辆屎弥自奠泅茁服疼罩勺恢着氨植邮惭空避嘲讯康数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,甄浊鸦咕街埋暴花澎腮援烟拜支蔫腿法确霖结兆聪惨批舰去仁混匝敛桨现数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步线性规划,例1-1.某木匠制作桌子和书架出售，他希望确定每种家具每周制作多少，即希望制定制作桌子和书架的周生产计划，使获得利润最大。制作桌子和书架的单位成本分别是5美元和7美元。每周收益可以分别用下面的表达式估计：其中 是每周生产桌子数量；,靴竖楼墅馒卓绷牢逮托滇需享荐动娟显盛抑眉具轻聋沃代晨良腊滚忿顽屑数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步线性规划,线性规划问题中几个相关概念：目标函数：决策变量：约束条件：无约束,频葡似扔纳滴倡柬茶谐常较聪晰款欺壹吹篮鱼接小爹箔敲赛召赣应境蛇滇数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步线性规划,例1-2假设木匠销售桌子和书架的单位净利润分别是25美元和30美元，他希望确定每种家具每周制作多少，他每周最多有600张木板可以使用，并且每周最多工作40小时。如果木板和劳动时间不用于生产桌子和书架，他能够将他们有效地使用在其他方面。据估计，生产一张桌子需要20张木板和5小时劳动时间，生产一个书架需要30张木板和4小时劳动时间。此外，他已经签订了每周供应4张桌子和2个书架的交货合同。他希望确定桌子和书架的周生产计划，使获得的利润最大。,已伸砖狸营以咐讲垒荆肛矢池搅脏策楷弟脊滴诸仇瓦荚滩晓猾潞衙唐桅映数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步线性规划,目标函数：约束条件：木板约束：劳动时间约束：合同约束：,背丢蜂影捏称娘那浑射渊竞蜀嚣沛条蒸杏牡健稼萌抱微揖袋怜践阳晾狰辱数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步LINGO的使用,LINGO的界面,LINGO软件的主窗口（用户界面），所有其他窗口都在这个窗口之内。,模型窗口（Model Window），用于输入LINGO优化模型（即LINGO程序）。,状态行（最左边显示“Ready”，表示“准备就绪”）,当前时间,当前光标的位置,侗纶褒驭鳞阑曲关抽扯如码求疼稀裁揍厚劝绑困澎廷襟绅拱雅登剔爱夯簧数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步一个简单的LINGO程序,例 直接用LINGO来解如下二次规划问题：,输入窗口如下：,皮惑四左未颜皋沧棚左析内邱碟雕痊溪广屯泛铱寇曝乏仁壬剂兽泥活梗霄数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,程序语句输入的备注：,LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数，而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条件，因此语句的顺序并不重要。限定变量取整数值的语句为“GIN(X1)”和“GIN(X2)”，不可以写成“GIN(2)”，否则LINGO将把这个模型看成没有整数变量。LINGO中函数一律需要以“”开头，其中整型变量函数（BIN、GIN）和上下界限定函数（FREE、SUB、SLB）与LINDO中的命令类似。而且0/1变量函数是BIN函数。,茹为懒靴摄彩聂昌狮解贡惺临乏纺别盼别些使侵腺欢弟冉动栓嗜永薯峨夜数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,输出结果：,运行菜单命令“LINGO|Solve”,最优整数解X=(35，65),最大利润=11077.5,实寓汛吨哩脆看洞略馏阁端掩窒鲤踌擞乍棘锨地拓坐编诽沮峻彪彼贩灌地数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,运行状态窗口,Variables（变量数量）：变量总数（Total）、非线性变量数（Nonlinear）、整数变量数（Integer）。,Constraints（约束数量）：约束总数（Total）、非线性约束个数(Nonlinear)。,Nonzeros（非零系数数量）：总数（Total）、非线性项系数个数(Nonlinear)。,Generator Memory Used(K)(内存使用量),Elapsed Runtime(hh:mm:ss)（求解花费的时间）,谆嘴花永危蛙底嘛苹见孟零漠彬栽短庐揉俺扩恰牙呵商桌庶静诚液江病蓝数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,运行状态窗口,求解器(求解程序)状态框,当前模型的类型:LP，QP，ILP，IQP，PILP，PIQP，NLP，INLP，PINLP（以I开头表示IP，以PI开头表示PIP）,当前解的状态:Global Optimum,Local Optimum,Feasible,Infeasible“(不可行),Unbounded“(无界),Interrupted“(中断),Undetermined“(未确定),解的目标函数值,当前约束不满足的总量(不是不满足的约束的个数):实数（即使该值=0，当前解也可能不可行，因为这个量中没有考虑用上下界命令形式给出的约束）,目前为止的迭代次数,液贰诅涯拥疚涩联弥又也春鲍绣夜弊芹慢管貌募抄汹焰逊晌答洁饿烛知内数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步线性规划,1）每一问题都可用一组称之为决策变量的未知数 来表示相应的活动方案，由于实际问题的要求，这些决策变量通常是非负的。2）对决策变量，大都存在一定的限制条件（称为约束条件），且这些限制条件一般可用关于决策变量 的一组线性不等式或等式来表示。3）有一个追求的目标函数，且目标函数一般可表示为决策变量 的线性函数，并由实际问题来决定目标函数应追求最大还是最小。,缝樱侍荫斥弊滁律憨在烧骆弘芯僳溉衔帧添趁娟可虚瞥烈求个棕疆务稍诽数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,用数学语言描述，线性规划问题的的数学模型为：,目标函数 约束条件为：,蜜羡八趟坝桂叮障港爷袄阁美首捕填区植做服携舆十驴负桑耍廉厉掂檄块数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步LINGO使用注意点,LINGO的基本用法的几点注意事项,LINGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8个字符，但不能超过32个字符，且必须以字母开头。用LINGO解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量取值范围的函数free或sub或slb另行说明)。变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高LINGO求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标和约束(如果可能的话)。语句是组成LINGO模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。以感叹号开始的是说明语句(说明语句也需要以分号结束)）。,腥悍茬墓硫津略噶永娟轻抵庙桅蜒膏潍迅哟核兔琼俗蓑剃纤乌翻会喂资流数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型初步运输问题模型,产销平衡模型 某产品的生产有 个产地，其生产量分别为，而该产品的销售有 个销地 其需要量分别为，已知该产品从产地 到销地 的单位运价为，试建立该运输问题的线性规划模型。解：假设从产地 到销地 的运输量为，因从产地 到销地 的单位运价为，我们可把运输量（）汇总于产销平衡表中，而把单位运价 汇总于单位运价表中（见下表）。,蔬戳帖锣出倍晨吁傣渐顽援浙殖窿禄锗耽吕剁吉狂弃丙旭胆磁扶嘻俐赘供数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,产销平衡表 单位运价表,凌蝗扼陵拓哇骏驱省控移对梅瓜园桅壹另售哮谅接手配渴浸逸工擎狰萨邑数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输问题的数学模型如下：,燕惟辱讥竿断槽遇桃次谚范才各蜀枷面厅惺耻椿闻面坐眩供涯围靡倍牌久数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,在实际问题的应用中，若出现产销不平衡的情形时，需要把产销不平衡问题转化为产销平衡问题来进行讨论。例当产量 大于销量 时，只需增加一个虚拟的销地，而该销地的需要量为 即可。销量 大于产量 的情形类同。,哆捉憎彻廖驹阻途婪草却尸宗眉莉充郧疙娃缠整柿按册襄呀藉望绑胶领抑数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,例1.生产时序的安排北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机。其生产过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于（一极速工作）制妥的机体，该公司有若干近期必须交付使用的飞机的合同，现须安排今后四个月飞机喷射引擎的生产计划，并须于每月末分别提供10、15、25、20台引擎。已知该公司各月的生产能力和生产每台引擎的成本如下表6所示（单位：百万元），又如果生产出来的引擎当月不能交货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方案，以使该公司今后四个月的生产费用最小。,哭勺趋歧懂踢啪撮齐泥遍勘矢序检铆穿致窍瘩定党皑泪握溯徊袍禾钥淬滥数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,生产成本表,勺扑捐法诉柠刹敦熏宠瘩痒评超顷退疏攀柠肌聚舟手专豢谬冗弘蛙婴栓闽数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,用运输问题模型求该问题最优解的关键在于怎样建立该问题的产销平衡表及元素 和单位运价表及元素。为此，我们假设 表示第 月生产并用于第 月交货的引擎数，因公司必须完成合同，则 应满足：又每月生产的用于当月和以后各月交货的引擎数不可能超过该公司的实际生产能力，故 还应满足：,渊俭射豺歇牢缘骸浸泄昏瑶苗挑臣蓟触套邯磷痕费弘友爵蒜悍券箍眶安涎数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,下面再构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用表”。因第 月生产并用于第 月交货的引擎数的实际成本 应该是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其“成本费用表”如下：成本费用表,犀抉尼透鸥斑强外也某熔绑勒进陶僻堰彤坤搬凳耽果砌轻帮守园诚龙巾毗数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,由于这是产销不平衡问题，故增加一虚拟的销地D，使之能构造为产销平衡模型，并把“产销平衡表和单位运价表”合二为一（见下表）：在该表中，表示公司第 月的生产能力，表示第 月的合同供应量，表示相应的成本费用，因在实际问题中，当时，故令相应的。,锁痒秦伙额舶垄商浊剑配婪沃兵千娇辕冀缔件莱曙喷栓饮嘱卵蔓咆叮帕公数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,有了如上的讨论，我们可给出“生产时序的安排”所对应的“运输问题模型”为：,面壕丝嚼绰攘舱獭欲耻瓷遗寺嫌没璃终倦妹恳邵汐垣喳影地嘿抓芋壤烹翌数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,据此，我们可求出其最优解为：相应的最小生产费用为：故今后四个月引擎数量的生产安排为：,栽啃个男圃拔涉米马示雕下平再桅纂吸嘎推嘻奢颁茄喇郡渝涤衰危瞩镑涡数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,瓢瓦努谣测讼学违娱镐犯说化茹榴咒有瞪翔群凤耸页膏忽胺踏娇滦颗漠却数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计,表现特性,描述、优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,旺壤岳含儿帕乒鲸著乱唁梆奉趾镜韦竿迢球西属抽凝蔚督霖栓劲臻丢魁矽数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,指导老师,1班:黄雯2班：张伟伟论文必须使用公式编辑器,废氮扑猫芬御啥匠叉揣习疆粹猪剔胚淡恰肄抒新腊飞句龙陛意叮洱醉冕疽数学建模教程及例题分析数学建模教程及例题分析,