北京专版中考数学一轮复习第七章专题拓展7.6几何压轴综合题试卷部分课件.pptx

1.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.,好题精练,解析(1)证明:如图,连接DF.四边形ABCD为正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.又点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL),GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH=45.EHDE,DE=EH,DEH=90,A=90,1+AED=90,5+AED=90,1=5.在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),ME=BH.A=90,AM=AE,ME=AE,BH=AE.,思路分析本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.,解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角形全等,从而将BH和AE转化到AME中证明数量关系.,2.(2015北京,28,7分)在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移ADP,使点D移动到点C,得到BCQ,过点Q作QHBD于点H,连接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1.依题意补全图1;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ=152,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)图1 备用图,解析(1)补全图形,如图1所示.图1AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AHPH.证明:如图1.由平移可知,PQ=DC.四边形ABCD是正方形,AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ.QHBD,HQD=HDQ=45.HD=HQ,ADB=DQH.ADHPQH.,AH=PH,AHD=PHQ.AHD+DHP=PHQ+DHP.即AHP=DHQ=90.AHPH.(2)求解思路如下:a.由AHQ=152画出图形,如图2所示;b.与同理,可证AHDPHQ,可得AH=PH;c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰直角三角形;d.由AHQ=152,BHQ=90,可求BHA,DAH,PAD的度数;e.在RtADP中,由PAD的度数和AD的长,可求DP的长.,图2,解题关键准确画出图形,用平移的性质得PQ=CD,才能得到后续结论,同时对于考查思路的题目,还需要按照“由,可得(可求)”这样的句式一步一步进行操作.,3.(2014北京,24,7分)在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若PAB=20,求ADF的度数;(3)如图2,若45PAB90,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.,解析(1)补全图形,如图所示.(2)连接AE,如图.,点E与点B关于直线AP对称,AE=AB,EAP=BAP=20.AB=AD,AE=AD,AED=ADF.又BAD=90,2ADF+40+90=180.ADF=25.(3)AB,FE,FD满足的数量关系为FE2+FD2=2AB2.证明:连接AE,BF,BD,设BF交AD于点G,如图.,点E与点B关于直线AP对称,AE=AB,FE=FB.可证得FEA=FBA.AB=AD,AE=AD.ADE=AED.ADE=ABF.又DGF=AGB,DFB=BAD=90.FB2+FD2=BD2.BD2=2AB2,FE2+FD2=2AB2.,4.(2012北京,24,7分)在ABC中,BA=BC,BAC=,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.(1)若=60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数;(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围.,解析(1)补全图形,如图1.CDB=30.图1(2)猜想:CDB=90-.证明:如图2,连接AD,PC.BA=BC,M是AC的中点,BMAC.,图2点D,P在直线BM上,PA=PC,DA=DC.又DP为公共边,ADPCDP.DAP=DCP,ADP=CDP.又PA=PQ,PQ=PC.,DCP=PQC.DAP=PQC.PQC+DQP=180,DAP+DQP=180.在四边形APQD中,ADQ+APQ=180.APQ=2,ADQ=180-2.CDB=ADQ=90-.(3)的范围是4560.,5.(2018北京东城一模,27)已知在ABC中,AD是BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂线,交 AD的延长线于点H.(1)如图1,若BAC=60,直接写出B和ACB的度数;若AB=2,求AC和AH的长;(2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.,解析(1)B=75,ACB=45.作DEAC交AC于点E.RtADE中,由DAC=30,AD=AB=2可得DE=1,AE=.RtCDE中,由ACD=45,DE=1,可得EC=1.AC=+1.RtACH中,由DAC=30,可得AH=.(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系为2AH=AB+AC.证明:延长AB和CH,交于点F,取BF的中点G,连接GH.易证ACH AFH.,AC=AF,HC=HF.GHBC.AB=AD,ABD=ADB,AGH=AHG,AG=AH.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.,解题关键解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关系.,6.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转,所得射线与线段BD交于点M,作CEAM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.(1)如图1,当045时,依题意补全图形;用等式表示NCE与BAM之间的数量关系:;(2)当4590时,探究NCE与BAM之间的数量关系,并加以证明;(3)当090时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF的最大值.,解析(1)补全的图形如图1所示.图1NCE=2BAM.(2)当4590时,NCE=180-2BAM.证明:如图2,连接CM,设射线AM与CD的交点为H.,图2四边形ABCD为正方形,BAD=ADC=BCD=90,直线BD为正方形ABCD的对称轴,且点A与点C关于直线BD对称.射线AM与线段BD交于点M,BAM=BCM=,1=2=90-.CEAM,CEH=90,3+5=90.又1+4=90,4=5,1=3,3=2=90-.点N与点M关于直线CE对称,NCE=MCE=2+3=180-2BAM.(3)+1.提示:CEA=90,点E在以AC为直径的圆上,线段EF的最大值为1+.,7.(2018北京海淀一模,27)如图,已知AOB=60,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PEOB,交OB于点E,点D在AOB内,且满足DPA=OPE,DP+PE=6.(1)当DP=PE时,求DE的长;(2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得的值不变,并证明你的判断.,解析(1)作PFDE交DE于F.PEBO,AOB=60,OPE=30,DPA=OPE=30,EPD=120.DP=PE,DP+PE=6,PDE=30,DP=PE=3.DF=PDcos 30=,DE=2DF=3.(2)存在.当点M在射线OA上且满足MO=2时,的值不变,始终为1.理由如下:当点P与点M不重合时,延长EP到K,使得PK=PD,连接MK.DPA=OPE,OPE=KPA,KPA=DPA.KPM=DPM.PK=PD,PM是公共边,KPMDPM.MK=MD.作MLOE于L,MNEK于N.MO=2,MOL=60,ML=MOsin 60=3,PEBO,MLOE,MNEK,四边形MNEL为矩形,EN=ML=3.EK=PE+PK=PE+PD=6,EN=NK.MNEK,MK=ME.ME=MK=MD,即=1.当点P与点M重合时,OP=OM=2,易求得PD=PE=3,=1.综上,存在定点M,点M在射线OA上且满足MO=2时,的值不变,始终为1.,解题关键解决本题第二问的关键是要能够借助对称性和解直角三角形的相关知识发现线段之间的数量关系.,8.(2018北京朝阳一模,27)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,点E为AB边上的动点(与点A,B不重合),连接CE,将ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心顺时针旋转120,分别交射线AD于点F,G.(1)依题意补全图形;(2)若ACE=,求AFC 的大小(用含的式子表示);(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明.,解析(1)补全的图形如图所示.(2)由题意可知,ECF=ACG=120.FCG=ACE=.四边形ABCD是菱形,DAB=60,DAC=BAC=30.AGC=30.AFC=+30.(3)线段AE、AF与CG之间的数量关系为AE+AF=CG.,证明:作CHAG于点H.由(2)可知BAC=DAC=AGC=30,CA=CG.HG=AG.ACE=GCF,CAE=CGF,ACEGCF,AE=FG.在RtHCG中,HG=CGcosCGH=CG,AG=CG.即AF+AE=CG.,解题关键解决本题的关键是要根据120角构造含30角的直角三角形,进而通过全等三角形、解直角三角形相关知识来解决.,9.(2018北京丰台一模,28)如图,RtABC中,ACB=90,CA=CB,过点C在ABC外作射线CE,且BCE=,点B关于CE的对称点为点D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CE于点M,N.(1)依题意补全图形;(2)当=30时,直接写出CMA的度数;(3)当045时,用等式表示线段AM,CN之间的数量关系,并证明.,解析(1)如图.(2)45.(3)结论:AM=CN.证明:作AGNC交NC的延长线于点G.点B与点D关于CE对称,CE是BD的垂直平分线,CB=CD.,1=2=.CA=CB,CA=CD,3=CAD.4=90,3=(180-ACD)=(180-90-)=45-.5=2+3=+45-=45.4=90,CE是BD的垂直平分线,1+7=90,1+6=90,6=7.AGEC,G=90=8.在BCN和CAG中,BCNCAG.,CN=AG.RtAMG中,G=90,5=45,AM=AG.AM=CN.,思路分析本题最后一问需要构造全等三角形来解决.,解题关键求线段之间的关系时经常会利用全等、旋转、轴对称等变换将不在同一个三角形的线段转化到同一个三角形中,然后找出关系.,10.(2018北京通州一模,27)如图,直线l是线段MN的垂直平分线,交线段MN于点O,在MN下方的直线l上取一点P,连接PN,以线段PN为边,在PN的上方作正方形NPAB.射线MA交直线l于点C,连接BC.(1)设ONP=,求AMN的度数;(2)写出线段AM与BC之间的等量关系,并证明.,解析(1)连接PM,如图1所示.图1l是线段MN的垂直平分线,PM=PN,ONP=OMP=.四边形APNB是正方形,PA=PN,APN=90.PM=PA,AMP=MAP.,APC+CPN=90,CPN+ONP=90,APC=ONP=.MPA=90-=90-2.AMP=PAM=(180-MPA)=45+.AMN=AMP-PMN=45.(2)AM=BC.证明如下:作AEMN,交直线MN于点E,作AGl,交直线l于点G,连接EP,如图2所示.图2,在AGP与PON中,AGPPON(AAS),PO=AG.又易知AG=EO,EP=OE=AG=AC.又APG=BAG,45-APG=45-BAG,即EPA=CAB.在ACB与EPA中,ACBPEA(AAS),BC=AE.又AM=AE,AM=BC.,11.(2018北京大兴一模,27)如图,在等腰直角ABC中,CAB=90,F是AB边上一点,作射线CF,过点B作BGCF于点G,连接AG.(1)求证:ABG=ACF;(2)用等式表示线段CG,AG,BG之间的数量关系,并证明.,解析(1)证明:CAB=90,BGCF于点G,BGF=CAB=90.GFB=CFA.ABG=ACF.(2)CG=AG+BG.证明:在CG上截取CH=BG,连接AH,ABC是等腰直角三角形,CAB=90,AB=AC.又ABG=ACH,ABGACH.AG=AH,GAB=HAC,GAH=90,AG2+AH2=GH2,GH=AG,CG=GH+CH=AG+BG.,12.(2018北京顺义一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,延长CB至点F,使BF=BE,过点F作FHAE于点H,射线FH分别交AB、CD于点M、N,交对角线AC于点P,连接AF.(1)依题意补全图形;(2)求证:FAC=APF;(3)用等式表示线段FM与PN之间的数量关系,并加以证明.,解析(1)补全图如图所示.(2)证明:四边形ABCD为正方形,BAC=BCA=45,ABC=90,PAH=45-BAE.FHAE,APF=45+BAE.BF=BE,AF=AE,BAF=BAE.FAC=45+BAF=45+BAE.FAC=APF.(3)FM=PN.证明:过B作BQMN交CD于点Q,MN=BQ,BQAE.四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=BCD=90,BAE=CBQ,ABEBCQ,AE=BQ,AE=MN.FAC=APF,AF=FP.AF=AE,AE=FP,FP=MN,FM=PN.,13.(2018北京房山一模,27)如图,已知RtABC中,C=90,BAC=30,点D为边BC上的点,连接AD,BAD=,点D关于AB的对称点为E,点E关于AC的对称点为G,线段EG交AB于点F,连接AE,DE,DG,AG.(1)依题意补全图形;(2)求AGE的度数(用含的式子表示);(3)用等式表示线段EG与EF,AF之间的数量关系,并说明理由.,解析(1)如图.(2)由对称性可知,AB为线段ED的垂直平分线,AC为线段EG的垂直平分线.AE=AG=AD.AEG=AGE,BAE=BAD=,EAC=BAC+BAE=30+,EAG=2EAC=60+2,AGE=(180-EAG)=60-.(3)EG=2EF+AF.设AC交EG于点H.BAC=30,AHF=90,FH=AF,EH=EF+FH=EF+AF,又点E,G关于AC对称,EG=2EH,EG=2=2EF+AF.,14.(2018北京怀柔一模,27)如图,在ABC中,A=90,AB=AC,点D是BC上任意一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE,连接EC.(1)依题意补全图形;(2)求ECD的度数;(3)若CAE=7.5,AD=1,将射线DA绕点D顺时针旋转60,交EC的延长线于点F,请写出求AF长的思路.,解析(1)如图.(2)线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE.DAE=90,AD=AE.DAC+CAE=90.BAC=90,BAD+DAC=90.BAD=CAE.又AB=AC,ABDACE,B=ACE.ABC中,A=90,AB=AC,B=ACB=ACE=45.ECD=ACB+ACE=90.(3)连接DE,由于ADE为等腰直角三角形,所以可求出DE的长.由ADF=60,CAE=7.5,可求EDC的度数和CDF的度数,从而可知DF的长.过点A作AHDF于点H,在RtADH中,由ADF=60,AD=1可求AH、DH的长.由DF、DH的长可求HF的长.在RtAHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长.,15.(2018北京延庆一模,27)如图,正方形ABCD中,点E是BC延长线上一点,连接DE,过点B作BFDE于点F,连接FC.(1)求证:FBC=CDF.(2)作点C关于直线DE的对称点G,连接CG,FG.依据题意补全图形;用等式表示线段DF,BF,CG之间的数量关系,并加以证明.,解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,DCB=90.CDF+E=90.BFDE,FBC+E=90.FBC=CDF.(2)如图1.,图1,线段DF,BF,CG之间的数量关系为BF=DF+CG.证明:在BF上取点M,使得BM=DF,连接CM,如图2所示.四边形ABCD是正方形,BC=DC.FBC=CDF,BM=DF,BMCDFC,CM=CF,BCM=DCF,MCF是等腰直角三角形.BFC=45.点C与点G关于直线DE对称,CF=GF,CFE=GFE.BFDE,BFC=45,CFE=45,CFG=90,CFG=MCF,CMGF.CM=CF,CF=GF,CM=GF,四边形CGFM是平行四边形,CG=MF,BF=BM+FM=DF+CG.,图2,16.(2018北京东城二模,27)如图所示,点P位于等边ABC的内部,且ACP=CBP.(1)BPC的度数为;(2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD,依题意补全图形;证明:AD+CD=BD;(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.,解析(1)120.(2)如图1所示.图1在等边ABC中,ACB=60,ACP+BCP=60.ACP=CBP,CBP+BCP=60,BPC=180-(CBP+BCP)=120,CPD=180-BPC=60,PD=PC,CPD为等边三角形.ACD+ACP=ACP+BCP=60,ACD=BCP.在ACD和BCP中,ACDBCP(SAS).AD=BP,AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图2,作BMAD于点M,BNDC延长线于点N.,图2,ADB=ADC-PDC=60,ADB=CDB=60,BM=BN=BD=.又由(2)得,AD+CD=BD=2,S四边形ABCD=SABD+SBCD=ADBM+CDBN=(AD+CD)=2=.,17.(2018北京海淀二模,27)如图,在等边ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,且CD=CE,DBC30,点C与点F关于直线BD对称,连接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G.(1)DE,DF之间的数量关系是;(2)若DBC=,求FEC的大小;(用的式子表示)(3)用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系,并证明.,解析(1)DE=DF.(2)ABC是等边三角形,C=60.DBC=,BDC=120-.点C与点F关于直线BD对称,BDF=BDC=120-,DF=DC.FDC=120+2.由(1)知DE=DF,F,E,C在以D为圆心,DC为半径的圆上.FEC=FDC=60+.(3)BG=GF+FA.证明:连接BF,延长AF,BD,交于点H,ABC是等边三角形,ABC=BAC=60,AB=BC=CA.点C与点F关于直线BD对称,BF=BC,FBD=CBD.BF=BA,BAF=BFA.设CBD=,则ABF=60-2,BAF=60+,FAD=,FAD=DBC.由(2)知FEC=60+.BGE=FEC-DBC=60.FGB=120,FGD=60.四边形AFGB中,AFE=360-FAB-ABG-FGB=120,HFG=60,FGH是等边三角形,FH=FG,H=60.CD=CE,DA=EB.在AHD与BGE中,AHDBGE.,BG=AH.AH=HF+FA=GF+FA,BG=GF+FA.,18.(2018北京西城二模,27)如图,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺时针旋转,使得点A对应的点E落在射线BC上,连接BQ,设DAQ=(060且30).(1)当030时,在图中依题意画出图形,并求BQE(用含的式子表示);探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明;(2)当3060时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.,解析(1)画出的图形如图1所示.图1ABC为等边三角形,ABC=60.CD为等边三角形的中线,Q为线段CD上的点,由等边三角形的对称性得QA=QB.DAQ=,ABQ=DAQ=,QBE=60-.线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,QE=QA,QB=QE,可得BQE=180-2QBE=180-2(60-)=60+2.CE+AC=CQ.证明:如图2,延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QHAC于点H.图2BQE=60+2,点E在BC上,QEC=BQE+QBE=(60+2)+(60-)=120+.点F在CA的延长线上,DAQ=,QAF=BAF+DAQ=120+.,QAF=QEC.又AF=EC,QA=QE,QAFQEC,QF=QC.QHAC于点H,FH=CH,CF=2CH.在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在CD上,ACQ=ACB=30,即QCF为底角为30的等腰三角形.CH=CQcosHCQ=CQcos 30=CQ.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=CQ,即CE+AC=CQ.(2)当3060时,AC-CE=CQ.,19.(2017北京朝阳二模,28)在ABC中,ACB=90,以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,且点D与点C在直线AB的两侧,连接CD.(1)如图1,若ABC=30,则CAD的度数为.(2)已知AC=1,BC=3.依题意将图2补全;求CD的长;小聪通过观察、实验、提出猜想,与同学们进行交流,通过讨论,形成了求CD长的几种想法:想法1:延长CB,在CB延长线上截取BE=AC,连接DE.要求CD的长,需证明ACDBED,CDE为等腰直角三角形.想法2:过点D作DHBC于点H,DGCA,交CA的延长线于点G,要求CD的长,需证明BDHADG,CHD为等腰直角三角形.请参考上面的想法,帮助小聪求出CD的长(一种方法即可).(3)用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系(直接写出即可).,图1 图2,解析(1)105.(2)补全图形,如图1所示.图1证法一:如图2.ACB=ADB=90,CAD+CBD=180.DBE+CBD=180,CAD=DBE.DA=DB,AC=BE,ACDBED.DC=DE,ADC=BDE.,CDE=90.CDE为等腰直角三角形.AC=1,BC=3,CE=4.CD=2.图2证法二:如图3.ACB=ADB=90,CAD+CBD=180.DAG+CAD=180,CBD=DAG.DA=DB,DGA=DHB=90,BDHADG.DH=DG,BH=AG.易证四边形DGCH为正方形,CHD为等腰直角三角形.AC=1,BC=3,CH=2.CD=2.,图3(3)AC+BC=CD.(提示:由全等三角形的性质和等腰直角三角形三边关系即可证明AC、BC、CD的数量关系),20.(2017北京海淀二模,28)在锐角ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AC的中点.(1)如图1,过点C作CFAB于F点,连接EF,若BAD=20,求AFE的度数;(2)若M为线段BD上的动点(点M与点D不重合),过点C作CNAM于N点,射线EN,AB交于P点.依题意将图2补全;小宇通过观察、实验,提出猜想:在点M运动的过程中,始终有APE=2MAD.小宇把这个猜想与同学们进行讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:连接DE,要证APE=2MAD,只需证PED=2MAD.想法2:设MAD=,DAC=,只需用,表示出PEC,通过角度计算得APE=2.想法3:在NE上取点Q,使NAQ=2MAD,要证APE=2MAD,只需证NAQAPQ.请你参考上面的想法,帮助小宇证明APE=2MAD.(一种方法即可),解析(1)证明:AB=AC,AD为BC边上的高,BAD=20,BAC=2BAD=40.CFAB,AFC=90.E为AC的中点,EF=EA=AC.AFE=BAC=40.(2)补全图形如图(画出一种即可).,画出一种即可.证明:想法1:连接DE.AB=AC,AD为BC边上的高,D为BC的中点.E为AC的中点,EDAB,1=APE.ADC=90,E为AC的中点,AE=DE=CE=AC.同理,AE=NE=CE=AC.,AE=NE=CE=DE.A,N,D,C在以点E为圆心,AC为直径的圆上.1=2MAD.APE=2MAD.想法2:设MAD=,DAC=,CNAM,ANC=90.E为AC的中点,AE=NE=AC.ANE=NAC=MAD+DAC=+.PEC=ANE+NAC=2+2.AB=AC,ADBC,BAC=2DAC=2.APE=PEC-BAC=2.APE=2MAD.,想法3:在NE上取点Q,连接AQ,使NAQ=2MAD.1=2.AB=AC,ADBC,BAD=CAD.BAD-1=CAD-2,即3=4.3+NAQ=4+NAQ,即PAQ=EAN.CNAM,ANC=90.E为AC的中点,AE=NE=AC.ANE=EAN.PAQ=ANE.AQP=AQP,PAQANQ.APE=NAQ=2MAD.,21.(2017北京东城二模,28)取一张正方形的纸片进行折叠,具体操作过程如下:第一步:如图1,先把正方形ABCD对折,折痕为MN;第二步:点G在线段MD上,将GCD沿GC翻折,点D恰好落在MN上,记为点P,连接BP.图1(1)判断PBC的形状,并说明理由;(2)作点C关于直线AP的对称点C,连接PC,DC.在图2中补全图形,并求出APC的度数;猜想PCD的度数,并加以证明.(温馨提示:当你遇到困难时,不妨连接AC,CC,研究图形中特殊的三角形),图2,解析(1)PBC是等边三角形.理由如下:在正方形ABCD中,BC=CD,又CD=CP,BC=CP,P在MN上,PB=PC.PB=BC=PC.PBC是等边三角形.(2)补全图形,如图所示.,由BA=BP,CBP=60,可求得APB=75,由BPC=60,可得APC=135.根据对称性,得APC=APC=135.PCD=15.证法一:连接AC,CC.由可得CPC=90.由对称性可知PC=PC,从而可求得AC=AC=CC=AB.从而ACC为等边三角形.由AC=CC,DA=DC,CD=CD,可证ACDCCD,可得ACD=CCD=30.根据对称性得ACC=ACC,PCC=PCC,所以ACP=ACP,由ABC为等腰直角三角形,可得ACB=45,由PBC为等边三角形,可得BCP=60,从而ACP=ACP=15.所以PCD=ACD-ACP=15.证法二:连接AC,CC.由BA=BP,CBP=60,可求得BAP=APB=75,又BAC=45,CAP=30.根据对称性,得CAP=CAP=30,从而CAC=60.由对称性可知AC=AC,从而ACC为等边三角形.以下同证法一.,22.(2017北京西城一模,28)在ABC中,AB=BC,BDAC于点D.(1)如图1,当ABC=90时,若CE平分ACB,交AB于点E,交BD于点F,求证:BEF是等腰三角形;求证:BD=(BC+BF);(2)点E在AB边上,连接CE.若BD=(BC+BF),在图2中补全图形,判断ACE与ABC之间的数量关系,写出你的结论,并写出求解ACE与ABC关系的思路.图1 图2,解析在ABC中,AB=BC,BDAC于点D.ABD=CBD,AD=CD.(1)证明:ABC=90,ACB=45.CE平分ACB,ECB=ACE=22.5.BEF=CFD=BFE=67.5.BE=BF.BEF是等腰三角形.证明:延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.,BDCM,BD=CM,BCM=DBC=ABD=BMC=45,BFE=MCE.BC=BM.由可得,BEF=BFE,BE=BF.BFE=MCE=BEF.EM=MC,BD=EM=(BC+BF).,(2)ACE=ABC.a.与(1)同理可证BDPC,BD=PC,BP=BC;b.由BD=(BC+BF)可知PEC和BEF分别是等腰三角形;c.由BEF+BFE+EBF=180,FCD+DFC=90,可知ACE=ABC.,解题关键解决本题的关键是借助辅助线(建议使用“延长”)构造等腰三角形,寻找边角关系.,23.(2017北京朝阳一模,28)在ABC中,ACB=90,ACBC,点D在AC的延长线上,点E在BC边上,且BE=AD,(1)如图1,连接AE,DE,当AEB=110时,求DAE的度数;(2)在图2中,点D是AC延长线上的一个动点,点E在BC边上(不与点C重合),且BE=AD,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90得到线段EF,连接BF,DE.依题意补全图形;求证:BF=DE.,解析(1)AEB=110,ACB=90,DAE=20.(2)补全图形,如图所示.证明:由题意可知AEF=90,EF=AE.ACB=90,AEC+BEF=AEC+DAE=90.BEF=DAE.BE=AD,EBFADE.DE=BF.,24.(2017北京丰台一模,28)在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的两个动点(不与点B,C,D重合),且AEEF.(1)如图1,当BE=2时,求FC的长;(2)延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P.依题意将图2补全;小京通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有AE=PE.小京把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法:想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证AGEECP.想法2:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH,要证AE=PE,需证EHP为等腰三角形.想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90,得到线段BM,连接CM,EM,要证AE=PE,需证四边形MCPE为平行四边形.请你参考上面的想法,帮助小京证明AE=PE.(一种方法即可),解析(1)正方形ABCD的边长为5,BE=2,EC=3.,四边形ABCD是正方形,B=C=90,1+3=90,AEEF,2+3=90,1=2.ABEECF,=,即=,FC=.(2)依题意补全图形.证法一:在AB上截取AG=EC,连接EG.AB=BC,GB=EB.B=90,BGE=45,AGE=135.,DCB=90,CP是正方形ABCD的外角平分线,ECP=135.AGE=ECP.又1=2,AGEECP.AE=PE.证法二:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH.AB=BH=BC,ABE=HBE=90.1=4,BHC=BCH=45,AE=EH,4+5=45.1=2,2+5=45.,ECP=135,HCP=180,点H,C,P在同一条直线上.6=2+P=45,5=P.EH=PE,AE=PE.证法三:将线段BE绕点B顺时针旋转90,得到线段BM,连接CM,EM.MB=EB,MEB=45,MEC=135.由证法一知ECP=135,MEC=ECP.MEPC.又AB=BC,ABC=MBC=90,ABECBM.1=BCM,MC=AE.由(1)知1=2,2=BCM,MCEP.四边形MCPE为平行四边形.MC=PE.AE=PE.,解题关键本题提供了三种方法,都是正确的,但有简有繁.构造全等在有角等的情况下,选择截取边.解决本题的关键是要根据已知添加辅助线,同时要掌握全等三角形的判定方法.,25.(2017北京顺义一模,28)在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点.(1)如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长;(2)如图2,连接AH,GH.小宇观察图2,提出猜想:AH=GH,AHGH.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证GAM是等腰直角三角形;,想法2:连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证AMHHNG.请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AHGH.(一种方法即可),解析(1)在正方形ABCD和正方形DEFG中,ABD,GDF为等腰直角三角形.AB=1,DG=2,由勾股定理求得BD=,DF=2.B、D、F三点共线,BF=3.H是BF的中点,BH=BF=.(2)证法一:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,在正方形ABCD和正方形DEFG中,ABD=DFE=45,又B、D、F共线,ABH=MFH.又BH=FH,AHB=MHF,ABHMFH.AH=MH,AB=MF.AB=AD,AD=MF.DG=FG,ADG=MFG=90,ADGMFG.AGD=MGF,AG=MG.又DGM+MGF=90,AGD+DGM=90.AGM为等腰直角三角形.AH=MH,AH=GH,AHGH.,证法二:连接AC,GE分别交BF于点M,N,在正方形ABCD和正方形DEFG中,ACBD,GEDF,DM=BD,DN=DF.AMD=GNH=90,B、D、F三点共线,MN=BF.H是BF的中点,BH=BF.BH=MN.,BH-MH=MN-MH.BM=HN.AM=BM=DM,AM=HN=DM.MD+DH=NH+DH.MH=DN.DN=GN,MH=GN.AMHHNG.AH=GH,AHM=HGN.HGN+GHN=90,AHM+GHN=90.AHG=90.AHGH.,26.(2017北京海淀一模,28)在ABCD中,点B关于直线AD的对称点为B,连接AB,CB,CB交AD于F点.(1)如图1,ABC=90,求证:F为CB的中点.(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:过点B作BGCD交AD于G点,只需证三角形全等;想法2:连接BB交AD于H点,只需证H为BB的中点;想法3:连接BB,BF,只需证BBC=90.请你参考上面的想法,证明F为CB的中点.(一种方法即可)(3)如图3,当ABC=135时,AB,CD的延长线相交于点E,求的值.,图3,解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ABC=90,ABCD为矩形,AB=CD.D=BAD=90.B,B关于直线AD对称,BAD=BAD=90,AB=AB.BAD=D,AB=CD.AFB=CFD,AFBDFC(AAS).FB=FC.F是CB的中点.(2)证法一:过点B作BGCD交AD于G点.,B,B关于直线AD对称,1=2,AB=AB.BGCD,ABCD,BGAB.2=3.1=3.BA=BG.AB=CD,AB=AB,BG=CD.BGCD,4=D.BFG=CFD,BFGCFD(AAS).FB=FC.F是CB的中点.,证法二:连接BB交AD于H点.B,B关于直线AD对称,直线AD是线段BB的垂直平分线.BH=HB.ADBC,=1.FB=FC.F是CB的中点.证法三:连接BB,BF.,B,B关于直线AD对称,直线AD是线段BB的垂直平分线.BF=FB.1=2.ADBC,BBBC.BBC=90.1+3=90,2+4=90.3=4.FB=FC.BF=FB=FC.F是CB的中点.,(3)取BE的中点G,连接GF.由(2)得,F为CB的中点,FGCE,FG=CE.ABC=135,ADBC,BAD=180-ABC=45.由对称性,知EAD=BAD=45.FGCE,ABCD,FGAB.GFA=FAB=45.,FGA=90,GA=GF.FG=sinEADAF=AF.由可得=.,解题思路(1)利用三角形全等证线段相等.(2)根据题目中的想法证明.(3)连接GF,证明AFG是等腰直角三角形,以FG为中间量求解.,解题关键解决本题第(3)问的关键是要通过构造中点寻找45角,并借助FG寻找等量关系.,27.(2017北京东城一模,28)在等腰ABC中,(1)如图1,若ABC为等边三角形,