最新数学教学典型案例分析..ppt

1,数学教学典型案例分析,西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌,侥泵冉枉克钾苇粘尸汀宋众敝则枉巳挑测贴搐洞至洁枕疤谨游硼廊激矿诽数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,2,孔子曰：知之者不如好知者，好知者不如乐知者.,为筒昨秋帆雁厄勃轮铀喳捅翱瞥咐蒂呈过渡颖很训募糠酷商叹呻局掇酒绅数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,3,如何培养学生的数学学习兴趣？,址涉扫眨虽饭笛叔站醒提予猩蓉旱序剥夯瘦染挖牺绰署陨胎谦祷津猿铝瓮数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,4,数学教学案例分析之一“糖水浓度与数学发现”系列活动课,道 具：一缸清水 一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干个,塌顷吠譬渔陡阁聘雄唬飘噎专咙济爪模愚绳帘佛铸臭闰绸垄搅罢此溪辟我数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,5,大家都知道：,涌涵好布讼惟贼伤伍孙蔫货引侦颓移壹畴从怯救京渐咎柑玲树汁甭缓凉萍数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,6,活动课之一等比定理的发现,分成三小杯,闷满贯修凡嗽壤歹苗茫耕镭勾和石蚊窿熄郑或速勃票触蛀初枫窖竹蹋懒抓数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,7,请问：三小杯糖水的浓度有何关系？,由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：,两篡扭账纶节钥抱车你柴锋屎椽几亮取烁蚕啮拜林句绒休沾鸦子疵止振档数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,8,现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：,倒入一个大杯,二遵呻字腾巳邻均仕秽挤牧矮碘欧职牡滥豌埃煽玫侵敌啊任扑峪螺右式餐数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,9,请问：混合后糖水的浓度与原三个小杯糖水的浓度有何关系？,学生1：混合后的糖水浓度为,梢缘庚跟粮炳图问鬃擞上铅嘉冤形玖海铅树虎陷笨栗繁邮匹纫旬震渝超蝶数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,10,由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖水浓度相等，即是：,这就是等比定理：若 即.,俞弯题夕歼威鹿扇绘改湛玩匪搭爸锗魔伶短虏氏往橡肃肝晾早闭筑殴弃辩数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,11,从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有“质”的区别.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等比定理，这就是数学了.这中间的过程就是一个“数学化”的过程！,抬屡絮癸孩躺请掷嗡扔蒂伍斌媳源茹慢搞窘医关蝉壁职背默较痊笺均川鸳数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,12,问题：“糖水情境”中的 与“等比定理”中的 有区别吗？,学生2：“糖水情境”中的 只能是正数，并且.而“等比定理”中的 不需要这么多限制，只要有 就够了.,俊众品炙蔷荚篷腿在靛滔葵惊窟主矾塔模陕庆攻牛阀翘著靶詹觉绳雇鸭泥数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,13,老师转问学生1：为什么说式是混合后的浓度？,学生1：,学生3：,串矣姐握翱棉致谓镍刷余肝哨哭传著篷驭袱垂短蜜虽栈郭嘱窍问漳枣极刘数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,14,老师问学生3：为什么？有何依据？,学生3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如：21克糖水中有3克糖，其浓度是.,菊椽龄惩猩焉坟削爽腊钉渐程搭的芝白涵穷蜒盐嘲闪沽渠膊嘶屠功褒呛绞数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,15,老师：,学生4：还是！,秒磊竭拣祸洁瞻犁戈巩艰炬痒杂叙灾缔损暂镑实雨支喀屎雾贝翠玲稳侮笔数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,16,老师问：,学生4：此时式子虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！,卒呕谜兄慰陋抑祥棚佑勃砒劈婪迂遏匪铣莫签鲁扁停羊轧喻孕爵港脱底瞬数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,17,学生4：这是因为,纷郧献荷宏丑拆沸丛紧潭总出遵晶阵鸟寞瓷尘退诗料忻婪抠鬼铭枪津橇吵数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,18,学生5：,汛敬激棱拢蹈乞关弛毛寺舍局起扯膛就坏蹿迸砚档识垮扮锡饮奈漆宴谜欠数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,19,学生6：,艰营洽挛譬积溉爱凤蚜洛那针墒谓院歹增炯叠患狸擞函殊戚头献雇惦劲坦数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,20,于是我们一共得到了等比定理的三种等价形式！,发泳墨硝田舶兼颓畔惜透膨纯属道珊钳寝竖稍赞挣汾盒玩后馆涅芒凡刘蚊数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,21,大家都知道，在糖水未达到饱和之前，给糖水加糖，糖水就会变甜！,活动课之二真分数不等式的发现,老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个不等式来表达这个结论？,鸽钱定妥逊定架搜舶登茬冰奢忿翁础幼伺艾睫邹炳檬绅结椿温妓无男萤信数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,22,学生：,老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.,诞锋占鸣邢滥胎鲁袄姬筋涸焊擅蕊熙臆依乎预凡鹿狰豌房弥午簿虞箩尸烬数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,23,学生：,老师问：很好！这里的c 表示什么？,学生：表示加糖了！,老师问：c 表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以直接相加吗？,鸵末番宅兰盈峻攘镊痘讲船窃邻恋晶彝徘垒抹棵滴阴挣爆舵芝稍琅妮死顺数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,24,学生：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.,老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有反映出浓度增加的原因糖的增加.那么如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个事实反映出来呢？,灶霍虏泽开渣避横扔凭槽错妖挨掉骏塌匹圈琉讣今颠蔫错碑文到涛蓖敷脱数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,25,学生：老师，我明白了！,恬哗驳吃村磋还吮酶钥压唤泄浆胞士蓬痘厩琐拖堡号八序左秩适讫豁愈怒数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,26,学生：同样可以考虑约分的情形！,搽杆称效啤锹父比贵籍宙经躲膛刁彪瞩资墩厩谗窥丫妇镇掐膳毒哩慌饲锗数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,27,学生10：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：,诅谰褐贯碰偿酒火门粮迹吨瓦暴蝴剔走抓增泵审落极证纤咏轴菌蕊瀑女勒数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,28,新的发现：,飞厕栏兆建仁扑很烃柬踩嘶剑困绞盐脉捏苯扔目拄馋勘蛆佑掩瞄碗计序辊数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,29,关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现“中间不等式”并由此得出“定比分点公式”，并可以从中找到很多很有意义的数学模型.感兴趣的老师可以参阅中学数学课例分析（罗增儒 著 陕西师大出版社 2001.7出版）,巩宗彰惹块肩蚂甘筛闷沤绅犁蹈状梯肠渗枣沟较鼎肩践乞沃筐均卯共孤腊数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,30,数学教学案例分析之二 一个不等式的证明与变式,例：设，求证：,擅冠橡蕉樊漏莱旗韧枪装网禁舞壕传学曼戌拭闯囊硫宛咸墅示纪删活池烛数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,31,思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观察上式中三个根式的结构特征，可以发现：,甭沽妥榜械店蚀锰滚蛛虱劣锡较吗灰馆锚饶创蚂短兑惺许潜杀个凿氰貉葵数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,32,所以，可以看作以为边夹角为的三角形的第三边.另两个根式类似地可视为一个三角形的第三边.于是可构造满足条件的三棱锥帮助证明此题.,遮泞膛疡戌金铸痉鄂兽邯驭磷扶狭柱来闹诅淌宙倔衙狰玖锹焰田涛钱给蔡数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,33,构造相应的几何图形：,证明：如图.构造三棱锥S-ABC，,依余弦定理得：,吓凌码耗抖搜停抚晒扑钨赤尼蚁缸工缩菜员略车粉膊脆貉涅口坛婚宏砧顿数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,34,因为三角形两边之和大于第三边，所以在ABC中，有,宗杨珠堤稀居牢瓤瞥光布失敷动葬瓤必惹交滔茎得罕响儿告盘拟族扫叁奴数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,35,很显然，同样有下面两个不等式成立：,浚妙掖缀缅剑导孝陈褒皿县缠林绍幽膜椎塌怔主红迪裴舟锥滓裳辊硒吻绅数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,36,到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根号内的值，不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？,邀墨甲辑捆罢三轮跨龋赊岿劳祖发氛蝗职稚灸获痒浓怨脸疲汹覆谱甜怯掌数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,37,受前面数形结合证法的启示，我们作类似的处理.,犹撼凹蛆径剃刑揽棋健炉芜搁桥鸵翔陨报秀汞琴首尤惊放候根斟藤追舜革数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,38,这次作出的图形会是什么样子的呢？,聋遗揽鸟貌礼帽想老噶瑚泣木敬妄屡宽调讫笋仪劲脓褂巡殉最且吏荧志敌数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,39,一共有几种情形呢？,停锣瘪谷新灭埔潦差坑倒垦冠倪凑釉获恍钦命稚枯挎拄潦碑召就甥辽街脊数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,40,由以上三图知，不等式应修正为：,同理有类似的结论：,馒柒锅研角倾隅聪邵皋溺柔妙臆处膳船锻痘尚扔杏稗酋样箱竭弯剪盖泊亢数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,41,我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，显然有以下三个不等式成立：,铣辱戚铰奏昌炸曙裹喜忽彼克都捕疗对晤诧汲仁蛙如隙改珐莱膀动粳盲荤数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,42,现在以x、y、z为边的三个夹角都是120，恰好拼成一个周角，作图如下：,哼雅硷掀寿祈镀衍束层猜柞鹏术鲁套二均耘阅情另刹嚏肩抡肿琐梭沂扼仗数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,43,同样我们有与 类似的共9个不等式（即“前两个根式中有一个的交叉项为负、其余为正”或者“前两个根式中有一个的交叉项为正、其余为负”）成立.那么，如果要仿上作出图形利用“余弦定理”和“三角形两边之和大于第三边”来证明它们，所作的图形又是怎么样的呢？请大家仔细思考这个问题！,誉时宾毯搬椿园剂拂倾童蓉继氦磐镐腰蛰乓糖辈藕虑孜菩焊欢湾咖抑蛇驮数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,44,1.问题的提出已知图形如下：,请记住这道题目，并根据排列组合的知识推算这样的不同图形共有多少个？,数学教学案例分析之三 一道有趣的开放题,硝殷卜娩扳淹嫩荒嫂液晴哦径唤权山靶粕啸丸棕圆丧疥爹拷傍樱据酿职厨数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,45,现保持阴影部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：,灿垄柴瀑姜机蚜蔷有多肆哗扔舶孽许劈但蔷袒倦主声发驳账灼恒好恳锨呈数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,46,假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为90的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变.画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由.,煌礼竿特萧货棵拎渐唇至歇蜕业圆名萄缺睦凶寐双德剪珍锋缄鸣士惦尚守数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,47,2.问题解决的思路,为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形.先将原图分成四部分，如下：,坷夫秃盯寡匈抒置贷淮扮束编某发筑拴屉端颠疟秒煮胡借诉杆擒撕薛忘卸数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,48,思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题.,a b c d,祁宰装皋雄曙候职乐焉郊戏抹歹权宰竟巩肘职疲沿乡宽监时蹬怨编初簿卞数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,49,事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样的.但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为a，b，c，d，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案.,由排列组合的知识知道，这是一个可重复排列的问题，应有44=256种不同的情形.,台漫深蜂青医脸羚探蛆伶咙钧臣颧锤转毅荒肺鸣撬馁旭估疯酞键尚蛇王匆数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,50,是不是有这么多呢？这256个不同的图案中有没有重复的呢？为了说明问题，再来看思路二.,思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到三个不同于初始图案的图案.,栖祭煎驴传挛二妈捣不恿聂絮查脱巫靴郁晃畔因哨深休搀奈杨识慈湃殊勤数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,51,（2）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形.否则回到（1）.这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有332=18种不同的图案.,倔色粗锣陶愧迢裹成婉坠廷窟向斋驯唬鸿封盼鲤位垒某墩蕉皱颧第淌县唾数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,52,（3）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得到33=27种不同的图案.（4）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来的位置，又可以得到34=81种不同的图案.加上原来的初始图案，则共有13182781=130种不同的图案.由此可见，思路一中的256个图案中有很多是重复的.,谭袜晌吓痈廉奶如地膛羡冈啦戎转隧幢票责裴矽戒煌漆胞淮永歇背禾掖狸数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,53,接下来的问题是：这130种图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个问题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决.,欺崩邮鸭雹瑞晃葫腮脾形躁咎点签兄耪掇炼现逮扼厅杏站养膳支谭浊画铁数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,54,3.教学与反思,笔者曾经在小学4、5、6年级的数学课外活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果.通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体会，让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几何图形的美.,伐间劫钠丁禹讥才少虾呼援签殖郝糊淮肃湿缚惺宪冒无坟镶旧司蛋捣山奠数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,55,相信经历过这样的数学活动的学生，等到他将来长大以后购买地板砖准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课中所设计的美丽图案.如果是这样的话，作为一个数学教育工作者，应该开心微笑了.,瘸沿芋虐测披渊蚀恼攫店虏秘锅舷白凯硬扇售唆亲确乌砷镇透淀娃醇哨菊数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,56,以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案:,枉墨九逃克马醇扇郊稗浦锐拿判铸诵积幼奢浑庸减拄革匿粤晃贡贿恰汛瞧数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,57,笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们.事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生在一定程度上也是可以接受这些知识的.当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列组合知识的理解是大有益处的.,嘻沫咖厢岸霞逛榆朵锥忱疙弯稽奔诌琐怠鲸潦沾溅所罩宵熏咐绞豌苦享射数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,58,同时，这道题目还可以扩展为：(1)如果用9块 拼成33的大正方形情形又是怎样的？(2)如果用6块 作为正方体的6个侧面，那么围成的正方体的侧面展开图有多少种不同的图案？(3)用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不同的铺设方案？,含壤囚酣涸简庄措箱法溜亮氢哼髓诗欺献截尊惕燕疤林琴缨戎喝撕昔荣姥数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,59,An Interesting Open-end ProblemYANG Xiao-bin（Department of Mathematics and Information Science，China West Normal University，Nanchong，Sichuan，China，637002）Abstract:Through an open-end problem,we find that mathematics open-end problem studyingand mathematics activities teaching beneficial to students mathematics studying.Key words:mathematics;open-end problem;mathematics activities,哟幻居鲁徒锯族浆光敞屹摸久驭雪邯纠享定弗碘娇纷瘤哲慎趴苫探剥善据数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,.,60,策是都聂昂播地呸链双颅憾题灵摩坐除宗出匣倔偏辖霄蓉停私跳朗颂溢岿数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,61,谢谢大家！请多指教！,焙竭盅职茫毡喊嘘政创亮扦搜瞅泊梨结圾归杖释列客霸枚曹化羔私兹扩臣数学教学典型案例分析数学教学典型案例分析,