北京专版中考数学一轮复习第四章图形的认识4.3四边形与多边形试卷部分课件.pptx

2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为()A.360B.540C.720D.900,答案C由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和公式可知内角和为180(6-2)=720.故选C.,2.(2017北京,6,3分)若正多边形的一个内角是150,则该正多边形的边数是()A.6B.12C.16D.18,答案B由题意得,该正多边形的每个外角均为30,则该正多边形的边数是=12.故选B.,3.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是(),答案C由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.,4.(2012北京,3,4分)正十边形的每个外角等于()A.18B.36C.45D.60,答案B多边形的外角和为360,正十边形有十个相等的外角,每个外角为=36.故选B.,5.(2015北京,12,3分)下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则1+2+3+4+5=.,答案360,解析多边形的外角和为360,1+2+3+4+5=360.,6.(2013北京,11,4分)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.,答案20,解析AB=5,AD=12,AC=13,BO=6.5.M、O分别为AD、AC的中点,又CD=5,MO=2.5,AM=6,C四边形ABOM=AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20.,7.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.,解析(1)证明:ABCD,OAB=DCA.AC平分BAD,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD.又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形.又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC.CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1.在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=2.,8.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析(1)证明:E为AD的中点,AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四边形BCDE为平行四边形.又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90,BE=ED,BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.,ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE为等边三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH中,AH=ABcosBAH=,AC=2AH=.,9.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.,证明四边形ABCD为平行四边形,ABCD.BAE=E.AE平分BAD,BAE=DAE.E=DAE,DA=DE.,思路分析本题要证明在同一个三角形中的两条线段相等,可以考虑借助角相等来证明.,解题关键解决本题的关键是要掌握平行四边形的性质,尤其是题目给出了角平分线,就需要多思考平行四边形与角有关的性质.,10.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.,证明(1)在ABCD中,ABCD,DF=BE,四边形BFDE为平行四边形.DEAB,DEB=90.四边形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,BFC=90.在RtBFC中,由勾股定理可得BC=5.AD=BC=5.AD=DF.DAF=DFA.ABCD,DFA=FAB.DAF=FAB.AF平分DAB.,思路分析(1)要证四边形BFDE是矩形,先证其是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形证明.(2)由勾股定理求AD的长,证明ADF为等腰三角形,结合ABDC,证明DAF=FAB.,解题技巧矩形是特殊的平行四边形,其内角为直角,故常与勾股定理结合.,11.(2014北京,19,5分)如图,在ABCD中,AE平分BAD,交BC于点E,BF平分ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,ABC=60,求tanADP的值.,解析(1)证明:BF是ABC的平分线,ABF=EBF.ADBC,AFB=EBF.AFB=ABF.AB=AF.同理,AB=BE.AF=BE.又AFBE,四边形ABEF是平行四边形.AB=AF,四边形ABEF是菱形.(2)过点P作PGAD于点G,如图.,四边形ABEF是菱形,ABC=60,ABE是等边三角形.AB=4,AE=AB=4,AP=AE=2.在RtAGP中,可求得PAG=60.AG=APcos 60=1,GP=APsin 60=.AD=6,DG=5,tanADP=.,12.(2013北京,19,5分)如图,在ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,CF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=4,AD=6,B=60,求DE的长.,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC.F是AD的中点,FD=AD.CE=BC,FD=CE.FDCE,四边形CEDF是平行四边形.(2)如图,过点D作DGCE于点G.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=6.,1=B=60.在RtDGC中,DGC=90,CG=CDcos1=2,DG=CDsin1=2.CE=BC=3,GE=1.在RtDGE中,DGE=90,DE=.,教师专用题组,考点一多边形,1.(2017新疆乌鲁木齐,5,4分)如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是()A.4B.5C.6D.7,答案C设正n边形外角的度数为x,则与它相邻内角的度数为2x,所以x+2x=180,解得x=60.因为36060=6,所以这个正n边形是正六边形,故选C.,2.(2015上海,4,4分)如果一个正多边形的中心角为72,那么这个正多边形的边数是()A.4B.5C.6D.7,答案B这个正多边形的边数为=5,故选B.,3.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则1+2+3+4+5=度.图1 图2,答案360,解析任意n(n3)边形的外角和为360,图中五条线段组成五边形,1+2+3+4+5=360.,4.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为.,答案72,解析五边形ABCDE是正五边形,EAB=ABC=108,BA=BC,BAC=BCA=36,同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72.,5.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则MON的度数是度.,答案72,解析解法一:连接OA,OB,O为正五边形ABCDE的中心,OAM=OBN,又OA=OB,AM=BN,OAMOBN,AOM=BON,MON=AOB=72.,解法二:特殊位置法,当OMAB,ONBC时,MON=180-B=72.解法三:作OPAB,OQBC,如图所示.易证RtOPMRtOQN,则POM=QON,MON=POQ=180-B=72.,6.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而=45是360(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.图2中的图案外轮廓周长是;在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是.图1,图2,答案14;21,解析题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多边形三边相连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然以APB,APC为内角的两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两个正多边形均为正十二边形,会标的外轮廓周长为10+10+1=21.,7.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则AOB等于度.,解析如图,正五边形中每一个内角都是108,OCD=ODC=180-108=72.COD=36.AOB=360-108-108-36=108.,答案108,8.(2015河北,19,3分)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则3+1-2=.,答案24,解析正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为60、90、108、120,由题图可知3=90-60=30,1=120-108=12,2=108-90=18,所以3+1-2=30+12-18=24.,9.(2014江苏扬州,13,3分)如图,若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的,则图中的1=.,答案67.5,解析因为全等形的对应边、对应角都相等,所以由8个全等的等腰梯形围成一个正八边形,可求出正八边形的每个内角为=135,又因为等腰梯形同一底上的两个内角相等,所以1=67.5.,10.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180.(1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析(1)甲对,乙不对.(2分)=360,(n-2)180=360.解得n=4.(3分)=630,(n-2)180=630,解得n=.n为整数,不能取630.(5分)(2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180.(7分)解得x=2.(9分),考点二(特殊)平行四边形,1.(2018重庆,6,4分)下列命题正确的是()A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线互相垂直平分C.菱形的对角线互相平分且相等D.正方形的对角线互相垂直平分,答案D平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的对角线互相垂直平分,选项D正确.故选D.,2.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AFCED.BAE=DCF,答案B当BE=DF时,如图1,易证AFDCEB,ABECDF,从而AF=CE,AE=CF,所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意;当AFCE时,如图1,则AFE=CEF,从而AFD=CEB,又因为ADF=CBE,AD=BC,所以AFDCEB,则AF=CE,所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意;当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF,可得AEB=CFD,AE=CF,所以AEF=CFE,所以AECF,则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意;如图2,其中AE=CF,但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.图1图2,思路分析依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,3.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF,答案D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故选D.,思路分析首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF=AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.,4.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2,答案C根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故选C.,5.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO,AOBD,即ACBD.四边形ABCD是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是(),A.B.C.D.,答案B证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,又BO=DO,AOBD,即ACBD.所以证明步骤正确的顺序是,故选B.,6.(2017河南,9,3分)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D处,则点C的对应点C的坐标为()A.(,1)B.(2,1)C.(1,)D.(2,),答案D由题意可知AD=AD=CD=CD=2,AO=BO=1,在RtAOD中,由勾股定理得OD=,由CDAB可得点C的坐标为(2,),选D.,7.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为()A.66B.104C.114D.124,答案C设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB,CAB=CAB=1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,8.(2016河北,6,3分)关于ABCD的叙述,正确的是()A.若ABBC,则ABCD是菱形B.若ACBD,则ABCD是正方形C.若AC=BD,则ABCD是矩形D.若AB=AD,则ABCD是正方形,答案C若ABBC,则ABCD是矩形,不是菱形,选项A不正确;若ACBD,则ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B不正确;若AC=BD,则ABCD是矩形,选项C正确;若AB=AD,则ABCD是菱形,但不一定是正方形,选项D不正确.,9.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下列判断的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变,答案C向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化,所以面积改变,选项C错误,故选C.,10.(2014河南,7,3分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ABAC.若AB=4,AC=6,则BD的长是()A.8B.9C.10D.11,答案C在ABCD中,AO=CO,BO=DO,AC=6,AO=3,ABAC,在RtABO中,BO=5,BD=2BO=10,故选C.,11.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD作等边ADE,则BEC的度数是.,答案30或150,解析当点E在正方形ABCD外时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=150,AEB=ABE=15,同理可得DCE=DEC=15,则BEC=AED-AEB-DEC=30.,当点E在正方形ABCD内时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=30,AEB=ABE=75,同理可得DCE=DEC=75,则BEC=360-AED-AEB-DEC=150.综上,BEC=30或150.,解题关键熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.,易错警示此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导致漏解.,12.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.,答案2,-或2,解析四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三种情况:点P在AD上时,AD=6,PD=2AP,AP=AD=2;点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,解得x=-(负值舍去),即AP=-;点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan 30=6=2.综上所述,AP的长为2,-或2.,思路分析根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.,易错警示此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.,13.(2018呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,CBE由DAM平移得到.若过点E作EHAC,H为垂足,则有以下结论:点M位置变化,使得DHC=60时,2BE=DM;无论点M运动到何处,都有DM=HM;无论点M运动到何处,CHM一定大于135,其中正确结论的序号为.,答案,解析如图所示,取CE的中点O,以点O为圆心,OH 为半径画圆,连接DH,延长EH交AD于F,连接FM,BH,HM,易知EH=HA=HF.当DHC=60时,易得CEB=CHB=60,则BCE=30,所以2BE=CE=DM,故正确.因为CHE=90,所以AHF=90,易知DHF=AHM,所以DHM=90,易知DH=HM,所以无论点M运动到何处,都有DM=HM,故正确.由可知DHM=90,而CHD45,所以无论点M 运动到何处,CHM 一定大于135,故正确.所以都正确.,思路分析点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断.,解题关键解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆.,14.(2017安徽,14,5分)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为cm.,答案40或(只写出一个正确答案得3分),解析由已知可知ADBEDB,又A=90,C=30,所以ABD=EBD=C=30,则CD=BD,设AD=DE=x cm,则CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin 30=,解得x=10,所以BD=20 cm,AB=10 cm.经分析可知满足题意的剪法有以下两种:取BD的中点F,连接EF,AF,沿EF剪开所得四边形ADEF是平行四边形,也是菱形,其边长DE为10 cm,故其周长为40 cm;作EDB的平分线DM,沿DM剪开所得四边形是平行四边形,也是菱形,其边长DM=cm,故其周长为4=cm.综上,所求周长为40 cm或 cm.,思路分析由轴对称的性质得ADBEDB,由已知可求AD,AB,BD,考虑到在三角形BDE中,BED=90,EBD=30,BDE=60,故沿BD上的中线或EDB的平分线剪开可得平行四边形,且都为菱形,求出边长即可求得周长.,15.(2017黑龙江哈尔滨,19,3分)四边形ABCD是菱形,BAD=60,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为.,答案2或4,解析根据菱形的性质可得BAO=30,ACBD,OA=OC.由AB=6可得OA=OC=3,当E在OA上时,CE=OC+OE=3+=4,当E在OC上时,CE=OC-OE=3-=2.综上,CE的长为4或2.,16.(2017河北,18,3分)如图,依据尺规作图的痕迹,计算=.,答案56,解析如图,四边形ABCD是矩形,ADBC,DAC=ACB=68.由作法可知AF是DAC的平分线,EAF=DAC=34.由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线,AEF=90,AFE=90-34=56,=56.,思路分析由矩形的性质得ADBC,可得出DAC的度数,由作法可知AF为DAC的平分线,从而求出EAF的度数,又可知EF为线段AC的垂直平分线,从而得出AEF的度数,根据三角形内角和定理得出AFE的度数,进而可得出的度数.,解题关键熟悉角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.,17.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为.,答案(-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称图形,其对称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,18.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB=.,答案,解析由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90.BC=3BE,EC=2BE=2BE,ACB=30,AB=AC.AC=2,AB=.,19.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD=DE,CBF=CDE,连接AF,AE.(1)求证:ABFEDA;(2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明(1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC,又CBF=CDE,ABF=ADE,在ABF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA,ABFEDA.(2)由(1)知EAD=AFB,GBF=AFB+BAF=EAD+BAF,易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90,FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90,BFBC.,20.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且BDE=15,DE=4,DC=2.(1)求BE的长;(2)求四边形DEBC的面积.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号),解析(1)在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,BAD=90.AB=AD,ABD=ADB=45.BDE=15,ADE=30.在RtADE中,DE=4,AE=sin 304=2,AD=cos 304=6.AB=AD=6,BE=6-2.(5分)(2)过点D作DFBC于点F,BFD=90.BAD=ABC=90,四边形ABFD是矩形,BF=AD=6,DF=AB=6.在RtDFC中,DC=2,FC=4,BC=6+4.S四边形DEBC=SDEB+SBDC=36+6.(8分),21.(2018呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析(1)证明:ABDE,A=D,AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF,又AB=DE,ABCDEF.(2)(过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).,22.(2018山西,22,12分)综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:,图1,证明:BE=AB,AE=2AB.AD=2AB,AD=AE.四边形ABCD是矩形,ADBC.=.(依据1)BE=AB,=1.EM=DM.即AM是ADE的DE边上的中线,又AD=AE,AMDE.(依据2)AM垂直平分DE.反思交流:(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点,在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图2图3,解析(1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).(1分)依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).(2分)点A在线段GF的垂直平分线上.(3分)(2)证明:过点G作GHBC于点H.(4分)四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=GHC=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90.,1+3=90,2=3.GHCCBE.(6分)HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH.GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上.(7分)(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分)证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.(9分)BMN=ENM=ENF=90.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=90.,四边形BENM为矩形.(10分)BM=EN,BEN=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90.1=3.CBE=ENF=90,ENFEBC.(11分)NE=BE.BM=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.BM=MC.FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.(12分)证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.(9分),四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=N=90.1+3=90.四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90.1+2=90,2=3.ENFCBE.(10分)NF=BE,NE=BC.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.BF=a,CE=a,CF=CE=a.(11分)BF=CF.点F在BC边的垂直平分线上.(12分),23.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰,AB=AC,BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB,AD=AE,又A=A,ABDACE,BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,24.(2015河北,22,10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.,已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=.求证:四边形ABCD是四边形.(1)在方框中填空,以补全已知和求证;(2)按嘉淇的想法写出证明;,(3)用文字叙述所证命题的逆命题为.,证明:,证明:,解析(1)CD.(1分)平行.(2分)(2)证明:连接BD.(3分)在ABD和CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB,ABDCDB.(5分)1=2,3=4,ABCD,ADCB.(7分)四边形ABCD是平行四边形.(8分)(3)平行四边形的对边相等.(10分),25.(2015山东聊城,21,8分)如图,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.,证明AB=BC,BD平分ABC,BDAC,AD=CD.(2分)四边形ABED是平行四边形,BEAD,BE=AD,(4分)BE=CD.四边形BECD是平行四边形.(6分)BDAC,BDC=90,BECD是矩形.(8分),26.(2015湖南郴州,23,8分)如图,AC是ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:AOECOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.,解析(1)证明:在ABCD中,ADBC,EAO=FCO.(1分)点O是AC的中点,AO=CO.(2分)又EOA=FOC,AOECOF.(4分)(2)当EFAC时,四边形AFCE是菱形.(5分)理由如下:由(1)知AOECOF,OE=OF.又AO=CO,四边形AFCE是平行四边形.(7分)当EFAC时,四边形AFCE是菱形.(8分),27.(2015黑龙江哈尔滨,22,7分)图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且MON=90;(2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).,解析(1)正确画图(如图1).(3分)(2)正方形ABCD正确(如图2).(5分)分割正确(如图2).(7分),28.(2014山东济南,27,9分)如图1,有一组平行线l1l2l3l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l4,l3上,EG过点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F,G,EF=DG=1,DF=2.(1)AE=,正方形ABCD的边长=;(2)如图2,将AEG绕点A顺时针旋转得到AED,旋转角为(090),点D在直线l3上,以AD为边在ED左侧作菱形ABCD,使点B,C分别在直线l2,l4上.写出BAD与的数量关系并给出证明;若=30,求菱形ABCD的边长.图1,图2,解析(1)AE=1,正方形ABCD的边长=.(3分)(2)BAD+=90.(4分)证明:过点B作BHl1于H,则BHA=AED=90,BH=AE=1.四边形ABCD为菱形,AB=AD.RtBHARtAED,(5分)BAH=ADE.ADE+DAE=90,BAH+DAE=90,BAD+=90.(6分),过点E作KLl1于点K,交l3于点L,则KL=3.AEK+KAE=90,AEK+DEL=90,KAE=DEL=30.(7分)AE=1,KE=,LE=,DE=,(8分)AD=,即菱形ABCD的边长为.(9分),考点一多边形,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,1.(2018北京海淀一模,3)若正多边形的一个外角是120,则该正多边形的边数是()A.6B.5C.4D.3,答案D由外角和为360,可得360120=3.故选D.,2.(2017北京海淀一模,3)五边形的内角和是()A.360B.540C.720D.900,答案B180(5-2)=540.故选B.,3.(2018北京怀柔一模,10)若某正多边形的内角和为720,则它的边数为.,答案6,解析设正多边形的边数为n,则由内角和公式可知(n-2)180=720,解得n=6.,4.(2018北京石景山一模,10)若某正多边形的一个外角是45,则该正多边形的边数是.,答案8,解析设正多边形的边数为n,则由外角和为360可得45n=360,解得n=8.,5.(2018北京延庆一模,10)下图是一个正五边形,则1的度数是.,答案72,解析由外角和为360可知3605=72.,6.(2017北京东城一模,14)一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为.,答案6,解析设这个多边形的边数为n,根据题意得(n-2)180=3602,解得n=6.,7.(2016北京东城一模,13)已知一个正多边形的每个外角都等于72,则这个正多边形的边数是.,答案5,解析多边形的外角和为360,36072=5.,考点二(特殊)平行四边形,1.(2017北京通州一模,8)如图,将一张矩形的纸对折,旋转90后再对折,然后沿着图中的虚线剪下,则剪下的纸片打开后的形状一定为()A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形,答案B由题意可知,一共折了两次,所以能够得到边长相等的四边形,即菱形.故选B.,2.(2018北京丰台一模,11)小宇同学在数学家吴文俊主编的“九章算术”与刘徽一书中看到一道有趣的数学问题:古代数学家刘徽使用“出入相补”原理,即割补法,把筝形转化为与之面积相等的矩形,从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”.(说明:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形)请根据上图完成这个数学问题的证明过程.证明:S筝形ABCD=SAOB+SAOD+SCOB+SCOD.易知,SAOD=SBEA,SCOD=SBFC.等量代换可得:S筝形ABCD=SAOB+SCOB+=S矩形EFCA=AEAC,=.,答案SBEA