高中全程复习方略配套课件：选修441坐 标 系数学文人教A版湖南专用共58张PPT.ppt

第一节 坐 标 系,三年16考 高考指数:1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中求简单曲线(如过极点的直线、过极点的圆或圆心在极点的圆)的极坐标方程.,1.直线和圆的极坐标方程是高考考查的重点；2.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化以及综合应用是难点；3.高考考查极坐标方程多以填空题的形式考查.,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称_.,伸缩变换,【即时应用】在平面直角坐标系中，已知变换则点P(3,2)经过变换后的点的坐标为_;椭圆 经过变换后的曲线方程为_.,【解析】点P(3,2)经过变换后得到所以点P(3,2)经过变换后的点的坐标为(1,1).由变换代入椭圆的方程化简，得x2+y2=1,即x2+y2=1.答案：(1,1)x2+y2=1,2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_，自极点O引一条射线Ox,叫做_；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其_(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|=(0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为，则点M可用有序数对_表示.,极点,极轴,正方向,(,),(3)极坐标与直角坐标的互化公式：设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(，)，则其互化公式为,【即时应用】(1)思考：若0,02,如何将点的直角坐标(-3，4)化为极坐标？提示：得2=x2+y2=25,由于点(-3,4)在第二象限，故为钝角，所以点(-3,4)的极坐标为点(5,),其中为钝角，且,(2)判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)极坐标系中点M的极坐标是唯一的()极坐标为 的点在第一象限()极坐标系中，点 与点 相同(),【解析】极坐标系中的点，当0,2)时，除极点以外，M的极坐标才是唯一的，当R时，M的极坐标不唯一，故不正确；点的极坐标 中，极角的终边在第二象限，极径大于0，故点在第二象限，故不正确；极坐标系中，点 与点 的极角的终边相同，极径相等，两点相同，所以正确.答案：,3.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程,过极点，倾斜角为,=_(R)或=_(R)(=_和=_(0),过点(a,0),与极轴垂直,_=a,+,+,cos,_=a(0),过点(a,),与极轴平行,sin,(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，直线l的极坐标方程为：sin(-)=_.,0sin(-0),【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)过极点的射线l上任意一点的极角都是 则射线l的极坐标方程为(0).()(2)过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为(0).(),【解析】根据极径的意义=|OM|，可知0；若0，则-0，规定点M(,)与点N(-,)关于极点对称，所以可得，(1)过极点的射线l上任意一点的极角都是 则射线l的极坐标方程为(0).所以(1)正确.(2)过极点，倾斜角为 的直线分为两条射线OM、OM，它们的极坐标方程为(0)，所以过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为(0)(也可以表示为(R).所以(2)不正确.答案：(1)(2),4.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：,（0，0）,(r,0),=_(02),r,=_,2rcos,(r,),=2rsin(0),(r,),=-2rcos,=-2rsin(2),(r,),(2)一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(0,0)，半径为r，则圆的极坐标方程是2-20cos(-0)+02-r2=0.,【即时应用】(1)极坐标方程=4sin(0，0)表示曲线的中心的极坐标为_.(2)圆心为(2,)，半径为3的圆的极坐标方程为_.,【解析】(1)曲线=4sin，由特殊位置圆的极坐标方程得半径为2，所以曲线的中心为(2,).(2)圆心(2，)的直角坐标为 且半径为3，所以圆的直角坐标方程为即由公式 得圆的极坐标方程为答案：(1)(2,)(2)2-4cos(-)-5=0,伸缩变换【方法点睛】伸缩变换公式的应用(1)平面直角坐标系中，点P(x,y)在变换 的作用下，得点P(x,y)，变换简称为伸缩变换.(2)求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时，通常运用“代点法”，一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系，这可以通过上标符号进行区分.,【例1】(1)将正弦曲线y=sinx按 变换后的函数解析式为_；(2)将圆x2+y2=1变换为椭圆 的一个伸缩变换公式为 则=_，=_.,【解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为P(x,y)，变换后对应的点为P(x,y)，代入伸缩变换公式即可.,【规范解答】(1)设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上的任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，即 代入y=sinx得2y=sin3x，所以y=sin3x，即y=sin3x为所求.答案：y=sin3x,(2)将变换后的椭圆 改写为 伸缩变换为 代入上式得与x2+y2=1比较系数得答案：5 4,【互动探究】1.将正弦曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x的伸缩变换公式为_.【解析】将变换后的曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x,令 即得伸缩变换公式答案：,2.将圆x2+y2=1按照伸缩变换公式 变换后所得椭圆的焦距为_.【解析】将圆x2+y2=1按伸缩变换公式 变换后所得椭圆的方程为 即a2=25,b2=9,c2=a2-b2=25-9=16.c=4,2c=8.即所得椭圆的焦距为8.答案：8,【反思感悟】1.曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时需要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P的坐标(x,y),再利用伸缩变换公式 建立联系即可.2.已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x,y)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式.,【变式备选】已知以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_.【解题指南】可以将直线与椭圆的方程看为方程组，化简为一元二次方程，利用根的判别式计算，也可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程,转化为圆心到直线的距离计算.,【解析】方法一：(判别式法)设椭圆方程为(ab0),c=2,a2-b2=4.由整理，得b2(-4)2+a2y2=a2b2.(a2+3b2)y2+16b2-a2b2=0.由=0，得-4(a2+3b2)(16b2-a2b2)=0.,48b4-(16a2b2-a4b2+48b4-3a2b4)=0，即a4b2-16a2b2+3a2b4=0，a2+3b2=16.与a2-b2=4联立方程组，解得a2=7,a=所以椭圆的长轴长为方法二：(伸缩变换法)令 则椭圆(ab0)变换为单位圆x12+y12=1,直线x+4=0变换为直线ax1+4=0,因为直线x+4=0与椭圆 有且仅有一个交点，则直线ax1+by1+4=0与单位圆x12+y12=1有且仅有一个交点.由题意,得 整理得a2+3b2=16.a2-b2=4，解得a2=7,a=椭圆的长轴长为答案：,极坐标与直角坐标的互相转化【方法点睛】1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提:(1)取直角坐标原点为极点；(2)x轴非负半轴为极轴；(3)规定长度单位相同,2.极坐标与直角坐标的互化公式:设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)，根据三角函数的定义，当0时，有：(极坐标化为直角坐标公式)；(直角坐标化为极坐标公式).,【提醒】当0时,公式也成立,因为点M(,)与点M(-,)关于极点对称，即点M的极坐标也就是(-,+)，此时，有,【例2】(1)点的极坐标(2,)化为直角坐标为_；(2)若0，02，点的直角坐标（-2,2）化为极坐标为_；(3)将极坐标方程=sin化为直角坐标方程的标准形式为_；(4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为_.,【解题指南】由公式 将极坐标化为直角坐标，由公式 将直角坐标化为极坐标.,【规范解答】(1)点的极坐标(2,)化为直角坐标为答案：(2)2=x2+y2=8，tan=-1，且角的终边过点(-2，2)，点的直角坐标(-2，2)化为极坐标为答案：,(3)由极坐标方程=sin,得2=sin,化为直角坐标方程为x2+y2=y,即 答案：(4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为cos-sin=0,即tan=1,=(R).答案：=(R).,【互动探究】若把本例（1）中的点的极坐标（2，)改为(-2,),则它化为直角坐标为_.【解析】点的极坐标(-2,)化为直角坐标为(1).答案：(1),【反思感悟】1.在把点P的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)，求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边过点(x,y)，以便正确地求出02内的角.2.过极点的倾斜角为 的直线的极坐标方程可以表示为=(R)，也可以表示为(0).,【变式备选】1.极坐标系中，直角坐标为(-1,)的点的极径为_，极角为_.【解析】直角坐标为(-1,)的点到极点的距离为又且点在第二象限，得=2k+kZ.于是点(-1,)的极坐标为(2，2k+)(kZ)，所以此点的极径为2，极角为2k+(kZ).答案:2 2k+(kZ),2.极坐标方程=sin-2cos所表示的曲线形状是_.【解析】极坐标方程=sin-2cos即2=sin-2cos,化为直角坐标方程为x2+y2=y-2x,即(x+1)2+(y-)2=,这是在直角坐标系中，圆心坐标为(-1,),半径为 的圆.答案:圆,极坐标方程的综合题【方法点睛】直线与圆的综合问题(1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:,无,dr,一个,d=r,两个,dr,(2)若直线与圆相交于点A、B,则弦长公式为,【例3】(1)在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，则实数a=_.(2)在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为=2sin与cos=-1（0 2），则两曲线（含直线）的公共点P的极坐标为_,过点P被曲线C1截得弦长为的直线的极坐标方程为_.,【解题指南】(1)将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行计算.(2)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标；利用数形结合思想，转化为几何性质解决.,【规范解答】(1)由圆=2cos得2=2cos,2=x2+y2,所以圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0的直角坐标方程分别为x2+y2=2x,3x+4y+a=0.将圆的方程配方得（x-1）2+y2=1,依题意，得圆心C（1，0）到直线的距离为1，即整理，得3+a=5，解得a=2或a=-8.所以实数a的值为2或-8.答案：2或-8,(2)由公式 得曲线C1:=2sin与C2:cos=-1(02)的直角坐标方程分别为x2+y2=2y,x=-1.联立方程组，解得 由公式 得点P(-1,1)的极坐标为方法一：由上述可知，曲线C1：=2sin即圆x2+(y-1)2=1，如图所示，,过P(-1,1)被曲线C1截得弦长为 的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为 直线的普通方程为y=-x,极坐标方程为=(R);另一条过点A（0,2），倾斜角为 直线的普通方程为y=x+2，极坐标方程为(sin-cos)=2，即方法二：由上述可知，曲线C1：=2sin，即圆x2+(y-1)2=1，过点P（）被曲线C1截得弦长为 的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为 极坐标方程为=（R）；,另一条倾斜角为 极坐标方程为sin(-)即答案:=(R)或,【互动探究】本例（2）中，若曲线C2的极坐标方程改为=-cos(02),其他条件不变，则两曲线的公共弦长等于_.,【解析】由公式 得曲线C1：=2sin与C2：=-cos（0 2）的直角坐标方程分别为x2+y2=2y,x2+y2=-x联立方程，解得 得交点坐标为（0,0）,所以两曲线的公共弦长等于答案:,【反思感悟】有关直线与圆的极坐标方程的综合问题,常常转化为直角坐标方程,结合几何图形,利用几何法进行判断和计算,这样可使问题简便.,【变式备选】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos,=-sin,则经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为_【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位由公式x=cos,y=sin，将=4cos化为2=4cos,x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程同理x2+y2+y=0为圆O2的直角坐标方程 由 相减,得过交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0答案:4x+y=0,