19第19讲 解直角三角形.pptx
第19讲解直角三角形,预学案记易,精讲案学易,预学案记易,考点一锐角三角函数的概念,1.在RtABC中,C=90,AB=c,BC=a,AC=b,则A的正弦sin A=;余弦cos A=;正切tan A=.,2.特殊角三角函数值,即学即练,1.在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sinAOB的值等于(A)A.B.C.D.,考点二解直角三角形及其应用,1.直角三角形的边角关系在RtABC中,C=90,则有三边关系a2+b2=c2;两锐角关系A+B=90;边角关系sin A=cos B=,cos A=sin B=,tan A=.,2.直角三角形的应用(1)仰角、俯角,当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.(2)坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比),一般用i表示.即i=h,l,常写成i=1m的形式,如i=12.5.把坡面与水平面的夹角叫做坡角.,即学即练,2.如图,为测量物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30,朝物体AB方向前进20米到达点C,再次测得A点的仰角为60,则物体AB的高度为(A)A.10米B.10米C.20米D.米,精讲案学易,类型一直角三角形的边角关系,例1(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为(A)A.3B.C.D.,命题思路本题考查了锐角三角函数的定义,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.,失分警示考生要记住锐角三角函数的定义.,实战预测,1.如图,在RtABC中,B=90,A=30,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则EAD的余弦值是(B)A.B.C.D.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为(B)A.B.1C.D.,类型二解直角三角形的应用,例2(2018昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90,1.73),命题思路锐角三角函数的定义,解直角三角形的应用仰角、俯角问题,构建直角三角形模型.,失分警示构建直角三角形模型时注意区分仰角与俯角.,解如图,过点A作AEBD交BD于点E,由题意得DAE=42,EAB=30,在RtABE中,AEB=90,AB=10 m,EAB=30,BE=AB=10=5 m.cosEAB=,AE=ABcos 30=10=5 m.,在RtDEA中,DEA=90,DAE=42,tanDAE=,DE=AEtan 4250.90=m,CD=BE+ED-BC=5+-6.56.3(m).答:标语牌CD的长约为6.3 m.,实战预测,3.如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A的仰角=30,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A的仰角=60,求树AB的高度(结果保留根号).,试真题练易,1.(2017云南,11,4分)sin 60的值为(B)A.B.C.D.,2.(2014昆明)如图,在数学实践课中,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32,AC为22米,则旗杆CD的高度是15.1米(结果精确到0.1米).(参考数据:sin 320.53,cos 320.85,tan 320.62),3.(2016昆明,20,10分)如图,大楼AB的右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30,测得大楼顶端A的仰角为45(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80 m,DE=10 m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1 m).(参考数据:1.414,1.732),解如图,过点D作DFAB交AB于点F,则DE=BF=10 m,在RtADF中,AF=80-10=70 m,ADF=45,BE=DF=AF=70 m.在RtCDE中,DE=10 m,DCE=30,CE=10 m,BC=BE-CE=70-1070-17.3252.7(m).答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7 m.,4.(2015昆明)如图,两幢建筑物AB和CD,ABBD,CDBD,AB=15 m,CD=20 m,AB和CD之间有一观景池,小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42,在C点测得E点的俯角为45(点B、E、D在同一直线上),求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90),解由题意得AEB=42,DEC=45,ABBD,CDBD,在RtABE中,tanAEB=,又AB=15 m,BE=150.90=m,在RtDEC中,CDE=90,DEC=DCE=45,ED=CD=20 m,BD=BE+ED=+2036.7(m).答:两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m.,5.(2015云南)为解决江北学校学生上学过河难的问题,乡政府决定修建一座桥,建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离).在测量时,选定河对岸MN上的点C为桥的一端,在河岸AB上的点A处,测得CAB=30,沿河岸AB前行30米后到达B处,在B处测得CBA=60,请你根据以上测量数据求出河的宽度(结果保留整数).(参考数据:1.41,1.73),解如图,过点C作CDAB交AB于点D,设CD=x米,x0.在RtACD中,CAD=30,AD=x米.同理,在RtBCD中,BD=x米.又AB=30米,AD+BD=30米,即x+x=30.解得x13.答:河的宽度大约为13米.,6.(2014云南)如图,小明在M处用高1米(DM=1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30,再向旗杆方向前进10米到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60,请求出旗杆AB的高度(结果保留整数).(参考数据:1.73),解BDE=30,BCE=60,CBD=BCE-BDE=30=BDE,BC=CD=10米,在RtBCE中,sin 60=,即=,BE=5米,又AE=DM=1米,AB=BE+AE=5+110(米).答:旗杆AB的高度大约是10米.,7.(2014曲靖)如图,直线y=x+与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.(1)求点B的坐标;(2)求sinBAO的值.,解(1)根据题意,联立得解得B(1,2).(2)过B作BCx轴,垂足为C,当y=0时,x+=0,解得x=-3,A(-3,0),AC=4,AB=2,sinBAO=.,探疑难知易,构建直角三角形、解直角三角形及辅助线的应用,易错题如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角是45,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1,则大楼AB的高度约为(D)(精确到0.1米,参考数据:1.41,1.73,2.45)A.30.6米B.32.1米C.37.9米D.39.4米,解析延长AB交直线DC于H,作EGAB交AB于G,如图所示,则GH=DE=15米,EG=DH,梯坎坡度i=1,BHCH=1,设BH=x米,则CH=x米,在RtBCH中,BC=12米,由勾股定理得x2+(x)2=122,解得x=6,BH=6米,CH=6米,BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH+CD=(6+20)米,=45,EAG=90-45=45,AEG是等腰直角三角形,AG=EG=(6+20)米,AB=AG+BG=6+20+939.4(米).,错解C,误区鉴定本题考查解直角三角形的应用坡度、俯角问题.通过作辅助线运用勾股定理求出BH,得出EG是解决问题的关键.,当堂巩固(2018浙江衡州)“五一”期间,小明到小陈家所在的美丽乡村游玩,在村头A处小明接到小陈发来的定位,发现小陈家C在自己的北偏东45方向上,于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处,这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30方向上,如图所示,根据以上信息和下面的对话,请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处(精确到1米).(备用数据:1.414,1.732),解由题意可得CAD=45,CBD=60,AB=200米,设BD=x米,故DC=x米.可知AD=DC,200+x=x,解得x=100(+1)273.答:小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处.,
