第2章组合逻辑电路课件.ppt

2023/4/30,1,习题完成第2章练习9,23,24,30,34,38,39.,第2章 组合逻辑电路（续）,2023/4/30,2,2.1二值逻辑和逻辑门,2023/4/30,3,2.2 布尔（逻辑）代数,逻辑代数 逻辑代数是一个由逻辑变量集K，常量0和1以及“与”、“或”、“非”3种基本运算构成的一个封闭的代数系统，记为L=K,+,-,0,1。这个系统满足下列公理。,（A1）如果X1，则X0；（A1）如果X0，则X1。（开关变量X的取值特性）（A2）如果X0，则X1；（A2）如果X1，则X 0。（反相器的功能特性）,布尔 1854,2023/4/30,4,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,布尔函数的举例-电动车窗,一键开窗,下降键,机械开关,2023/4/30,5,逻辑变量 仅取值0或取值1的变量。0和1无大小之分，代表着矛盾的双方。例如开关的接通与断开，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,基本逻辑运算“与”运算-如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为“与”逻辑。“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符“”或“”。两变量的“与”运算可表示为 FAB 或者 F=AB，读作“F等于A与B”。数字系统中实现“与”运算的逻辑电路称为“与门”。,2023/4/30,6,基本逻辑运算“或”运算-如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为“或”逻辑。“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“+”或“”。两个变量的“或”运算可表示为:F=A+B 或者 F=AB，读作“F等于A或B”。数字系统中实现“或”运算的逻辑电路称为“或门”。,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,7,基本逻辑运算“非”运算-如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为“非”逻辑。“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“”或“”。“非”运算可表示为，读作“F等于A非”。数字系统中实现“非”运算的逻辑电路称为“非门”。,逻辑函数及逻辑函数间的相等 逻辑函数-设电路的输入逻辑变量为A1,A2,An,输出逻辑变量为F。如果当A1,A2,An的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则F称为A1,A2,An,的逻辑函数，记为F=f(A1,A2,An)。,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,8,逻辑函数及逻辑函数间的相等 逻辑电路的功能可由相应的逻辑函数完全描述。,逻辑函数的相等-设有两个逻辑函数 F1=f1(A1,A2,An),F2=f2(A1,A2,An)若对应于A1,A2,An的任何一组取值，F1 和F2的值都相同，则称 函数F1和函数F2相等，记作F1=F2。,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,9,公理（5条）,基本公式,（A1）如果X1，则X0；（A1）如果X0，则X1。（开关变量X的取值特性）（A2）如果X0，则X1；（A2）如果X1，则X 0。（反相器的功能特性）,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,10,单变量定理,可用完备归纳法证明,基本公式,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,11,二变量和三变量定理,运算优先顺序 分配律 定理T9和T10广泛地用来简化逻辑函数。,基本公式,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,12,n变量定理,基本公式,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,13,代入规则-任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。,例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C,重要规则,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,14,反演规则-如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得到的新函数是原函数的反函数 F。（德摩根定理T13、T14）,重要规则,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,15,使用德摩根定理时，要保持原逻辑表示式中运算符号的优先顺序不变。,重要规则,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,16,2023/4/30,16,由对偶性原理，如将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,逻辑变量保持不变，则得到逻辑函数F的对偶式FD。如果FD是F的对偶式，则F也是FD的对偶式，即F与FD互为对偶式。,+,+,0,0,1,1,F,FD,FD(X1,X2,Xn,)F(X1,X2,Xn,)F(X1,X2,Xn)FD(X1,X2,Xn),重要规则,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,对偶规则（对偶性原理）,2023/4/30,17,对偶规则（对偶性原理）对开关代数的任何定理或恒等式，若交换所有的0和1以及“”和“”，结果仍正确。,它使要学的东西减了一半！,重要规则,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,18,求某一函数F 的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。,对偶规则：若两个逻辑函数F和G 相等，则其对偶式FD 和GD 也相等。,如：则：,重要规则,2.2 布尔（逻辑）代数（续）,2023/4/30,19,1、真值表,2.3 标准形式,逻辑函数的表示法 真值表 逻辑表达式 图形,真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格。,例如：函数 的真值表如下：,2023/4/30,20,文字：变量或变量的补，如X、Y、X、Y；乘积项：单个变量或2个或2个以上变量的逻辑积，如 Z，WXY；“积之和”表达式：乘积项的逻辑和，如 ZWXY；求和项：单个变量或2个或2个以上变量的逻辑和，如 Z，WXY；“和之积”表达式：求和项的逻辑积，如 Z(WXY)；标准项：一个具有n个变量的函数的乘积项或求和项，如果包含全部n个 变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，如 WXY，WXY；非标准项：不是标准项的乘积项或求和项，如WXXY；,2、逻辑表达式,2.3 标准形式,2023/4/30,21,最小项：一个具有n个变量的函数的“积”项，如果包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次。“最小项之和”表达式：完全由最小项所组成的逻辑和,该函数表达式，也称为标准“积之和”表达式。,2.3 标准形式,=m5+m4+m3+m1,例如：,最小项,=,m(1,3,4,5),2023/4/30,22,1.原变量取“1”，反变量取“0”2.变量顺序确定后，二进制数对应的十进制即为最小项的下标i,编号m i的计算方法：,三变量函数的最小项,2.3 标准形式,2023/4/30,23,=m5+m4+m3+m1,注意：这些最小项不在F(A,B,C)中，就在F(A,B,C)中。,=m(1,3,4,5),所以,注意：变量顺序,因此,2.3 标准形式,2023/4/30,24,1.2.m i m j=0(i j)3.n个变量的每一个最小项有n个相邻项(其余项相同,有一项互补),最小项的性质,的相邻项有：,2.3 标准形式,2023/4/30,25,“最大项之积”表达式（即标准积式）,求和项：单个变量或2个或2个以上变量的逻辑和。例如：Z，W+X+Y，X+Y+Z，W+Y+Z。“和之积”表达式：求和项的逻辑积。例如：Z(WXY)(XYZ)(WYZ)最大项：一个具有n个变量的函数的“和”项，如果包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次。“最大项之积”表达式：完全由最大项所组成的逻辑积,该函数表达式也称为标准“和之积”表达式。,最大项,例如：,2.3 标准形式,2023/4/30,26,注意：变量顺序。,1.原变量取“0”，反变量取“1”2.变量顺序确定后，按变量排列顺序组成的“二进制数”所对应的十进制即为最大项的下标i,编号M i的计算方法：,如：,2.3 标准形式,2023/4/30,27,变量的各组取值,A B C,000001010011100101110111,对应的最小项及其编号,对应的最大项及其编号,最小项,编 号,最大项,编 号,n个变量有2n个最小项，2n 个最大项。,2.3 标准形式,2023/4/30,28,1.2.Mi+M j=1(i j)3.n个变量的每一个最大项有n个相邻项(其余项相同,有一项互补)如:相邻项,最大项的性质,与最小项类似，有,4.且有,5.一个函数表达式中,i个最小项之和等于2n-i个最大项之积,2.3 标准形式,2023/4/30,29,2.4 逻辑电路化简,一般来说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的电路也就越简单，成本越低。,例：化简解：,代数化简法：运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简。没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。,7个门3个门2个门,2023/4/30,30,最简“与或”式应满足的两个条件：表达式中“与项”的个数最少；在满足上面要求的前提下,“与项”中的变量总数最少。,最简“或与”式应满足的两个条件：表达式中“或项”的个数最少；在满足上面要求的前提下,“或项”中的变量总数最少。卡诺图化简法：该方法简单、直观、容易掌握，当变量个数小于等于6时非常有效，在逻辑设计中得到广泛应用。卡诺图的构成：n个变量的卡诺图是一种由2n个方格构成的图形，每一个方格表示逻辑函数的一个最小项，所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们相邻关系的方格阵列。一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,31,2023/4/30,32,相邻最小项（与项）：彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最小项（与项）称为相邻最小项（相邻与项），如ABC和ABC。,相邻最小项在卡诺图中有几何相邻、相对相邻或重叠相邻三种特征。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,33,逻辑函数的卡诺图表示：将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的相应方格中标以1，剩余方格标以0或不标。,其它形式的函数要转换成“与或”式后，再在卡诺图上表示。卡诺图的性质：根据定理AB+AB=A，它表明两个相邻“与项”或相邻最小项可以合并为一项，这一项由两个与项中相同的变量组成，可以消去两个 与项中不同的变量。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,34,卡诺圈：在卡诺图上把相邻最小项所对应的小方格圈在一起可进行合并，以达到用一个简单与项代替若干最小项的目的。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,35,一个卡诺圈中的小方格满足以下规律：卡诺圈中的小方格的数目为2m，m为整数且mn；2m个小方格含有m个不同变量和(n-m)个相同变量；2m个小方格可用(n-m)个变量的“与项”表示，该“与项”由这 些最小项中的相同变量构成；当m=n时，卡诺圈包围整个卡诺图，可用1表示，即n个变量的全部最小项之和为1。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,36,2.5 卡诺图化简,F（A，B）=,（0，1，3）,2023/4/30,37,蕴涵项（如何画圈）蕴涵项：“与或”式中的每一个“与项”称为函数的蕴涵项。主蕴涵项：不被其它蕴涵项所包含的蕴涵项。质主蕴涵项：主蕴涵项中至少有一个最小项不被其它主蕴涵项所包含。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,38,用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：第一步：作出函数的卡诺图；第二步：在卡诺图上圈出函数的全部主蕴涵项（画最大的卡诺图）；第三步：从全部主蕴涵项中找出所有质主蕴涵项；第四步：若全部质主蕴涵项尚不能覆盖所有的1 方格，则需从剩余的主蕴涵项中找出最简的所需主蕴涵项，使它们和质主蕴涵项一起构成函数的最小覆盖（把它们全部“或”起来）。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,39,例：用卡诺图将下列逻辑函数简化为“与或”表达式 F(A,B,C,D)=m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)解：,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,40,例：用卡诺图将下列逻辑函数简化为“与或”表达式 F(A,B,C,D)=m(2,3,6,7,8,10,12)解：,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,41,例：用卡诺图将下列逻辑函数简化为“或与”表达式 F(A,B,C,D)=M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)解：,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,42,没有质主蕴涵项的情况,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,43,例：用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)=m(2,3,4,5,6,7,11,13,15)解：,化简后得到的表达式一般为两级“与或式”或“或与式”，可分别由两级“与非门”或“或非门”来实现，但实际上受扇入系数的影响，电路的级数会增加，影响电路的速度。为不降低速度，人们设计出更复杂的门来取代简单门完成更复杂的运算。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,44,包含无关最小项的逻辑函数的化简,一般来说，逻辑函数与输入的每一种取值组合均有关系。对于某些组合（某些最小项）函数的值为0，而对另外一些组合（另外一些最小项）函数取值为1。无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现，或者虽然每种输入取值组合都可能出现，但此时函数取值为1还是为0无关紧要，那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。无关最小项可以随意地加到函数表达式中，或者不加到函数表达式中，并不影响函数所对应逻辑电路的实际逻辑功能。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,45,例：给定某电路的真值表如下，求F的最简与或式。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,46,多输出逻辑函数的化简：如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简。所有逻辑表达式包含的不同“与项”总数最小；在满足上述条件的前提下，各不同与项中所含的变量总数最少。,2.5 卡诺图化简,2023/4/30,47,2.5 逻辑门,基本逻辑门,2023/4/30,48,2.5 逻辑门,复合逻辑门,复杂的门电路用来减少特殊布尔函数电路的复杂性。这样可以减少电路的花费。另外，这样做也可以减少信号通过电路的传输时间。,2023/4/30,49,2.5 逻辑门,2023/4/30,50,2.6 异或操作与异或门,2023/4/30,51,奇函数：多变量的异或运算,2.5 异或操作与异或门（续）,三变量的异或运算转化为布尔表达式,2023/4/30,52,2.7 高阻态输出,2023/4/30,53,真值表 逻辑表达式 最小项列表 标准积之和 最小项列表 标准积之和 一般形式的积之和与和之积 几个定理 三条规则 电路优化,小结,