初中数学“二次函数”的教学设计.doc

初中数学“二次函数”复习课的课堂教学 “二次函数”是初中数学学习的重点内容之一，同时又是难点之一。这部分知识的应用往往是很多检测题和中考试题都重点检测的内容，这部分题目通常又贯穿着其他的数学知识，比如一元一次方程、不等式和一元二次方程等方面的知识，故而一般题目的综合性和难度都较大，学生解决起来比较困难。可以说，二次函数的教学和学习是我们初中阶段数学教学活动的重点和难点之处，这也是我们初中数学教师必须解决的问题。通过多年的教学实践，要想完成好这部分的教学和学习任务，我是从以下几个方面来进行课堂教学的。一、 深刻理解和掌握二次函数的意义和形式“二次函数”的意义教科书是这样给出的“用自变量的二次式来表示的函数叫做二次函数”。它的一般形式为 y = ax2 + bx + c （其中 a、b、c 常数，且a 0），它的一般形式包含以下两层含义：第一、自变量x的最高的指数是2；第二、自变量的最高次项的系数不能为0。下面我们来看这方面的应用。例1 已知函数 y = （m + 1）xm2m 是二次函数，求m的值。分析：解这个题目的关键是从掌握二次函数的含义和一般形式着手。也即是自变量x的指数是2，并且最高项的系数不能为0，从而可以得到 m 2 m =2，解之，可以得到m的值。解： 根据题意，得 m2 m = 2 并且 m + 1 0解之，得 m = 2所以，当m的值是2时，函数y = （m + 1 ）x 2 是二次函数。二、“二次函数”的“三要素”教学法二次函数的“三要素”，指的是二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。我们知道，二次函数 y = ax 2 + bx + c （a、b、c为常数，并且a 0）通过配方可以得到y =a （ x h ）2 + k 的形式，而此形式的二次函数的“三要素”为：（1）、当a0，图象开口向上。当a 0，图象开口向下。 （2）、图象的对称轴为 x=h 。（3）图象的顶点坐标为（h， k）。具体配方是这样来进行的。二次函数 y = ax2 + bx + c （a、b、c为常数，a0 ）首先把二次项系数提出来，即 y = a（x2 + x ）+ c ，然后在括号里配上能利用完全平方式的因式，即括号里同时加上和减去括号中一次项系数的一半的平方，也就是y = a （x2 + x + （）2（）2 + c 然后可以化成 y（x）2+的形式 从而其三要素为：当，函数图象开口向上，当，函数图象开口向下；对称轴为 ；顶点坐标为（，）只要知道二次函数的三要素，针对要画出二次函数的图象、二次函数的极值以及求二次函数的解析式的问题和二次函数的平移等问题就比较容易解决了对于二次函数的图象的问题只要把二次函数2（、为常数，）通过配方变成（）2的形式，它的图象的大致位置就可以确定了在列表时自变量的取值我们就可以以顶点坐标的横坐标为中心来取，相应可以求得相应的函数值，然后通过描点等就可以作出二次函数的图象了我们来看下面的例子例画出二次函数2的图象，并且求出它的顶点坐标和对称轴分析：只要通过配方找出这个函数的三要素，此类问题就容易解决了解：二次函数2通过配方（2）（2）从而可以得到（）2因此，它的顶点坐标为（，），对称轴为，图象开口向上通过列表（自变量的取值应以顶点坐标的横坐标为中心来取）x2x+然后描点画图（如图） 对于二次函数的极值问题，只要知道二次函数的图象的“三要素”就可以直接求出。由前面所述，我们知道二次函数y= ax2 + bx +c （abc为常数，a 0），当a 0时，函数图象开口向上，此时函数有最小值，最小值为顶点坐标的纵坐标，即当a 0时，y =当a 0时，函数图象开口向下，此时函数有最大值，此时最大值也为顶点坐标的纵坐标，也就是当x= 时，y = ，如要求例2的函数的最大值，当x= 1时，函数y = x2 x + 有最大值，此时最大值是3。对于求二次函数的解析式的问题，我们知道，对于求一个二次函数的解析式，只要知道它的图象经过三个点，这样的二次函数的解析式可以设为y= ax2 + bx + c（a 0）的形式，然后通过解一个三元一次方程组，把二次函数的系数a 、 b 、 c的值求出，从而函数的解析式就可以求出来了，教科书已经对此种方法进行了举例讲解，在此就不作一一累述了。我们主要来看其他种情形，如知道二次函数的图象的顶点坐标和经过另一个点等条件的问题。对于这种条件的问题，我是这样来解决的：我们把所求的二次函数的解析式设为y =a （x h） +k的形式，也就是知道其“三要素”的形式，这类问题就比较容易解决了，我们通过下面的例子来加以说明。例3 已知二次函数y= ax2 + bx + c的图象的顶点坐标为（1，1），并且经过 （ 1，3），求这个二次函数的解析式。分析：我们把所求函数的解析式设为y = a （）2的形式，因为题目中已经给出了函数的顶点坐标为（，），从而可以直接求出，然后在根据它经过点（，）就可以比较容易求出的值了。解：设所求的二次函数的解析式为（）2由题可以知道，它的顶点坐标为（，），所以，从而函数的解析式变为（）2它的图象又经过点（，），从而可以得到（）2，解之所以，所以，所求函数的解析式为（）2也即2对于二次函数的图象的平移问题，只要掌握了二次函数的“三要素”，这类问题也是比较容易解决的。我们来看，一个二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得二次函数的解析式为2，求原来二次函数的解析式。对于此题，我们不妨设所求的二次函数为（）2，其向右平移个单位，即顶点坐标的横坐标相应加上，也即（）2，再向上平移个单位，此时顶点坐标的横坐标不变，纵坐标加上，也就是（）2（），而此函数为2，从而可以得到，也即，所以所求的二次函数的解析式为（）2，也即2为所求的二次函数。三、 关于二次函数图象与坐标轴的交点问题我们知道，函数的图象如果与轴有交点，则交点坐标为（，），其中为实数；如果函数图象与轴有交点，则交点坐标为（，），也为实数。对于二次函数2（、为常数，），要求它与轴的交点坐标是比较容易的，因为交点在轴上，此时横坐标为，把代入二次函数的解析式的的位置，即可以求得，也就是它与轴的交点坐标为（，）。要求二次函数2（、为常数，）与轴的交点问题，则必须从以下几方面着手，主要还是一元二次方程的应用。首先确定函数2中的2的值。当2时，此时二次函数的图象与轴有两个交点，横坐标的值可以由方程2求出，即两个交点坐标为（，）和（，）。当2时，此时函数的图象与轴的交点只有一个，并且这个交点恰好是顶点坐标，此时交点坐标为（，）。当2时，此时二次函数的图象与轴没有交点，表明二次函数的图象在轴的上方或下方，下面我们再来看这方面的应用。例已知二次函数2，试判断这个函数与轴有无交点，并且加以证明。分析：要判断此函数与轴的交点问题，只需要判断函数的式子2的值，这个函数中的，故而2（）2××（），计算其值就能够判断出来。解：22（）2××（）28而22（）2函数2不论取什么值时，函数都与轴有两个交点。总之，我想只要从以上几个方面着手，二次函数这部分内容的教学任务和学习任务就能够比较容易完成。5