初中几何图形构成与能力培养.doc
论文题目 初中几何图形构成与能力培养工作单位 广东省深圳市莲花中学 作者姓名 陈佛镜性别 男出生年月 1968年8月、职务职称 中学数学高级教师通讯地址 广东省深圳市莲花中学、邮政编码 518035联系电话 18925236918电子信箱地址 1349020845内容摘要：本文发表在由教育部主管、中国教育学会主办2012中小学数学（国际刊号ISSN1006-3447，国内统一刊号CN11-3582/01）初中版第10期，主要内容是为学生数学发散思维的发展空间提供了可能，通过本文的学习并感悟：学生对几何图形的构成这类问题，善于运用分析、联想、类比，通过数形结合、分类讨论思想方法.因此，研究这类问题的求解，对提高学生创新思维能力，增强学生学习数学信心均大有好处.关键词：能力培养，几何图形，压轴题，等腰三角形，直角三角形，相似三角形，特殊四边形。初中几何图形构成与能力培养广东省深圳市莲花中学 陈佛镜近年全国各省市中考压轴题中，有一类试题涉及几何基本图形的构成.如由某几个定点或某一、二个动点能否构成等腰三角形，或直角三角形，或相似三角形，或特殊四边形等，由于边、角的不确定性，为思维的发展提供了可能，解决这类问题，要善于运用分析、联想、类比，通过数形结合、分类讨论思想方法.因此，研究这类问题的求解，对提高学生思维能力，增强学生学习数学信心均大有好处.一、等腰三角形的构成构造等腰三角形的问题，常见的形式是：已知两个定点，一个动点，判断动点在什么位置时，以这三个点为顶点，可以构成一个等腰三角形.例1 如图1，已知正比例函数y=kx的图象经过点A（-，4），若一次函数y=nx+2的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，问：在x轴上是否存在点P,使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。分析 根据题意易得k=，n=，AM=8，OM=.如图2，（1）如果以AM为等腰三角形的腰，则以AM为半径，点M为圆心作M与x轴相交于点、，则求得（8+，0）、（-8+，0）；以AM为半径，点A为圆心作A与x轴相交于点，则求得（，0）；（2）如果以AM为等腰三角形的底，则作AM的垂直平分线交x轴相交于点，求得（，0）.解题方法的探究 此类题可转化为：已知线段AM可能是等腰三角形的腰，也可能是等腰三角形的底.因此，要分二种情况分别找符合条件的第三顶点P.1. 当已知线段AM为等腰三角形的腰时，分别以线段AM两个端点A、M为圆心，以线段AM的长为半径作两个圆，与x轴交点即为所求第三个顶点（最多有四个）.2. 当已知线段AM为等腰三角形的底边时，作些线段AM的垂直平分线与x轴的交点即为此等腰三角形的第三个顶点，根据上述两种情形，通过作图可知，这样的等腰三角形第三个顶点最多有五个点，显然例1中所求点P在x轴上符合条件的点最多有四个.二、直角三角形的构成直角三角形的构成与等腰三角形的构成有类似之处，常见的形式也是：已知两个定点，一个动点，判断动点在什么位置时，以这三个点为顶点，能否构成一个直角三角形.例2 如图3，已知四边形ABCD是矩形，BCAB，直线MN分别与AB、BC交于点E、F，点P为对角线AC上一动点（P不与A、C重合）.当点E、F分别为AB、BC的中点时，如图，且AB=6，BC=8，问点P在AC上运动时，点P、E、F能否构成直角三角形？若能，共有几个，请在图中画出所有满足条件的三角形.分析 根据题意如图4，（1）如果以EF为直角三角形的直角边，分别以E、F为垂足作EEF、FEF，与AC相交于点、，可得RtEF、EF；（2）如果以EF为直角三角形的斜边，以EF为直径作圆与AC相交于点、，可得RtEF、EF.显然点P在AC上时符合条件的点最多有四个. 三、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的构成构造特殊四边形以平行四边形的问题具有一般性. 已知三个定点，确定第四个顶点，使这四个点构成平行四边形；或已知两个定点，确定另两个顶点，使这四个点构成平行四边形。由于连接四个点中的任意两个点，得到的线段可能是平行四边形的某一边，也可能是平行四边形的某一条对角线，因此，讨论平行四边形的构成，总是要从动点与定点的连线是“边”还是 “对角线”两个方面考虑.例3 如图5，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于点A，C两点，其中点C的横坐标为2. 点P是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A，C，P，Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.分析 根据题意易得A（-1，0）、C（2，-3），直线AC的表达式：.如图6（1）如果以A、C、P、Q这四点为顶点的四边形是平行四边形，且PQ为平行四边形的一边，得AQCP且AQ=CP或PQAC且PQ=AC，因为AC=，所以PQ=，点P到x轴的距离为3的点有四个：、C，令，解得，.则满足条件的点有三个，分别是：，.（2）如果以A、C、P、Q这四点为顶点的四边形是平行四边形，且PQ为平行四边形的对角线，得AQCP且AQ=CP=2.设Q（t,0），所以CP=2，即t+1=2，t=1，得Q4（1,0）.显然点Q在x轴上时符合条件的点有四个.平行四边形的构造是相对初学几何的学生来说难度比较大，综合性较强. 但我们可以从熟练地掌握“已知两个定点A、B和两个动点P、Q，由这四个点构成平行四边形”的方法中来掌握，其要点是：由两个定点A、B所确定的线段AB，可以是平行四边形的对角线，也可以是平行四边形的一边。若AB为对角线，则需分别过点A、B作一对平行线，动点P、Q分别在这一对平行线上；若AB为边，则P、Q在与AB平行的直线上.四、相似三角形的构成多数相似三角形的构成问题，一般都告知两个三角形有一对角相等，那么，我们只要确定这两个三角形的另一对角相等（也有两种情况）；或夹着这个角的两边对应成比例（有两种情况），就可以判定这两个三角形相似了.例4 如图7在平面直角坐标系中， 直线AB与轴、轴分别交于点A（3，0），B（0，）两点，在第一象限内是否存在点P，使得P，O，B为顶点的三角形与OBA相似。如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。分析 根据题意易得，OA=3，OB=，及直线AB的表达式：.如图8（1）如果以P、O、B这三点为顶点的直角三角形与OBA相似，且BO为直角三角形POB的直角边，得BBO且或，所以（3，）、（1，）；（2）如果以P、O、B这三点为顶点的直角三角形与OBA相似，且BO为直角三角形POB的斜边，得，则，通过两三角形相似可得（，）；得，则，通过两三角形相似可得（，）. 图形的构成除以上四种基本图形外，在中考压轴题中，也有时会出现其它图形的构成问题，如果要求构成梯形，或构成等腰梯形，或构成矩形、菱形和正方形时，或附有其它条件的图形，这些图形的构成相比于四种基本图形的构成，由于它们附加了更多的属性，讨论起来反而不易遗漏.5
