第三讲轴对称及其应用.docx
第三讲轴对称及其应用【五个性质】性质1:轴对称的性质【例】如图,将四边形纸片ABCO沿AE向上折叠,使点8落在。C边上的点尸处.若尸。的周长为24c、m,AEC/的周长为8cm,求四边形纸片ABCO的周长.n朋性质2:等腰三角形的性质ZDAC=30°,【例】如图,AABC内有一点。,且D4=。8=。仁若/048=20。,则N8QC的度数是(A.100°B.80°C.70°D.50°性质3:等边三角形的性质【例】如图,已知aABC和48OE均为等边三角形,试说明:BD+CD=AD.性质4:线段垂直平分线的性质【例】如图,直线尸G为aABC的边BC的垂直平分线,ZPBC=ZA,BP,CP的延长线分别交AaAB于点D,E试说明:BE=CD.性质5:含30。角的直角三角形的性质【例】如图,在孜ZXABO中,ZADB=90ofZA=60o,作。CA8,ZDBC=ZBDC,DC与BC交于点C,CD=4.A1R求:(I)NCB。的度数;(2)AB的长.【三个判定】判定1:等腰三角形的判定【例】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,AE,.EM,.MB=I:2:fAD:DN:NC=:2:1,连接M。,NE交于点、O,求证:AOMN是等腰三角形.判定2:等边三角形的判定【例】如图,设在一个宽度A8="的小巷内,一个梯子的长度为6,梯子的脚位于P点,将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时,。点离地面的高为c,梯子与地面的夹角为45。,将梯子顶端放于另一面墙上的R点时,离地面的高度为d,此时梯子与地面的夹角为75。,则d=>,为什么?判定3:线段垂直平分线的判定【例】如图,AD为AABC的角平分线,OELAC于点E,。尸_LAB于点凡E尸交AD于点试说明:A。垂直平分EE【两个应用】应用1:线段垂直平分线的应用【例】如图,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学的问题,计划新建一所小学,要使学校到三个村庄距离相等,请你在图中确定学校的位置.A.B应用2:最短与最长路径的应用【例】如图,4,8两点在直线/的两侧,在/上找一点C,使点。到点4,8的距离之差最大,并说明理由.A.【两种思想】思想1:方程思想【例】如图,4ABC是等腰三角形,AB=AC,在AABC外部分别作等边三角形AOB和等边三角形ACE.若NDAE=NDBC,求ABC三个内角的度数.AO'E思想2:分类思想【例】在等腰三角形ABC中,NA比NB的2倍少50。,求NB的度数.【利用“三线合一“求角】【例】如图,房屋顶角N84C=100。,过屋顶A的立柱AD_LBG屋檐AB=AC求顶架上的NB,ZC,ZBAD,NCA。的度数.【利用“三线合一”求线段】【例】如图,在AABC中,AB=AC,AD=DB,。及LAB于点E,若BC=I0,且ABOC的周长为24,求AE的长.L利用“三线合一”证线段(角)相等】【例】己知AABC中,ZAC=90o,A8=AC,O为BC的中点.(1)如图,E,尸分别是A3,AC上的点,KBE=AF1试判断£>£尸的形状,并说明理由.(2)如图,若E,尸分别为AB,C4的延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断AOEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由.【.利用“三线合一”证垂直】【例】如图,在AABC中,AC=2AB,Az)平分BAC,E是A。上一点,且EA=EC求证:EBYAB.L利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)】【例】如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,NBAC=90。,平分NA8C,CDLBD交BF的延长线于点D试说明:BF=2CD.【.利用、三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)】【例】如图,在A48C中,AD_L8C于点。,且NA8C=2NC.试说明:Co=A8+8Q.【作“三线”中的“一线”】【例】如图,在AABC中,AB=AC,。是BC的中点,过点A作E尸8C,5.AE=AF,求证:DE=DF.L作平行战法】B【例】如图,在AABC中,AB=AG点P从点5出发沿线段RA移动,同时,点。从点。出发沿线段AC的延长线移动,点P,。移动的速度相同,P,。与直线BC相交于点。.(1)如图,求证:PD=QDx(2)如图,过点?作直线BC的垂线,垂足为E,当P,。在移动的过程中,线段BE,DE,Co中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.