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合情推理与演绎推理【基本知识点】1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理合情推理的过程(1)归纳推理：简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的基本模式：a、b、cM且a、b、c具有某属性， 结论：dM，d也具有某属性(2)类比推理：简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a，b，c； 结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同)2 演绎推理：简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 “三段论”可以表示为大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.【基础检测】1 (2012·陕西)观察下列不等式：1<，1<，1<，照此规律，第五个不等式为_答案1<2 (2011·山东)设函数f(x)(x>0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案3 给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22a·bb2.其中结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案B4 “因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错 B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错 D大前提和小前提错误导致结论错答案A5 (2012·江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于 ()A28 B76 C123 D199答案C【例题选讲】例1已知函数f(x)，(1)分别求f(2)f，f(3)f，f(4)f的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)f(2)f(3)f(2 011)fff.解(1) 1，1， 1.(2) f(x)f1， (3) .已知经过计算和验证有下列正确的不等式：<2，<2，<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式_答案若m>0，n>0，则当mn20时，有<2题型二类比推理例2在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由思维启迪：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象解图如图所示，由射影定理知AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.类比ABAC，ADBC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，则.图如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF，在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确探究提高(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb (mn，m、nN*)，则amn；现已知等比数列bn (b0，nN*)，bma，bnb (mn，m、nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.答案题型三演绎推理例3数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1·Sn (nN*)，证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2·，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4· (n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an (n2)(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)探究提高演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论已知函数f(x)(a>0且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.【练习巩固】1 正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确答案C2 由>，>，>，若a>b>0，m>0，则与之间的大小关系为()A相等 B前者大 C后者大 D不确定答案B3 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n·t)”类比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”类比得到“|a·b|a|·|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析正确；错误4 观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于 ()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D5 在RtABC中，若C90°，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_.答案6 在平面内有n(nN*，n3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是_，f(n)的表达式是_答案16f(n)7 仔细观察下面和的排列规律：若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_答案14解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.8 (10分)已知函数yf(x)，满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)>af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)>0，f(x2)f(x1)(x2x1)>0，x1<x2，f(x2)f(x1)>0，f(x2)>f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数9 (12分)f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).一、选择题(每小题5分，共15分)1 定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1) 1*11，(2)(n+1) *1n*1+1，则n*1等于()An Bn1 Cn1 Dn2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*11，n*1n.2 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0Da1，h1h0Da2，D运算规则为0D00,0D11,1D01，1D10.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100 C10111 D00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h00D11，而h1h0Da21D10，故传输信息应是10110.3 (2012·课标全国)设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln 2 B.(1ln 2) C1ln 2 D.(1ln 2)答案B解析由题意知函数yex与yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与yex上点的最小距离的2倍，设yex上点(x0，y0)处的切线与yx平行，有ex01，x0ln 2，y01，yx与yex上点的最小距离是(1ln 2)，所求距离为(1ln 2)×2(1ln 2)4 给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线yx与双曲线y的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y2x与双曲线y的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y3x与双曲线y的一个交点；请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数)为_答案点(n，n2)是直线ynx与双曲线y的一个交点解析观察题中给出的命题易知，命题n中交点坐标为(n，n2)，直线方程为ynx，双曲线方程为y.故猜想命题n：点(n，n2)是直线ynx与双曲线y的一个交点5 (2012·湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个，11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个答案909×10n解析(1)4位回文数有：1001,1111,1221，1991,10个2001,2112,2222，2992,10个9009,9119,9229，9999,10个 共90个(2)5位回文数有：100个100个5位回文数共9×102个，又3位回文数有9×101个2n1位回文数共9×10n个6 (2012·福建)数列an的通项公式anncos 1，前n项和为Sn，则S2 012_.答案3 018解析当n4k1(kN)时，an(4k1)·cos 11，当n4k2(kN)时，an(4k2)·cos 1(4k2)14k1，当n4k3(kN)时，an(4k3)·cos 11，当n4k4(kN)时，an(4k4)·cos 1(4k4)14k5，a4k1a4k2a4k3a4k414k114k56.S2 012a1a2a3a4a5a2 012(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a2 009a2 010a2 011a2 012)6×5033 018.7 (13分)已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足aS2n1，nN*.数列bn满足bn，Tn为数列bn的前n项和(1)求a1、d和Tn；(2)若对任意的nN*，不等式Tn<n8·(1)n恒成立，求实数的取值范围解(1)在aS2n1中，分别令n1，n2，得即解得a11，d2，an2n1.bn，Tn.(2)当n为偶数时，要使不等式Tn<n8·(1)n恒成立，即需不等式<2n17恒成立2n8，等号在n2时取得，此时需满足<25.当n为奇数时，要使不等式Tn<n8·(1)n恒成立，即需不等式<2n15恒成立2n是随n的增大而增大，n1时2n取得最小值6，此时需满足<21.综合可得<21，的取值范围是|<21