[研究生入学考试]同济高数课后习题答案全解.doc

高等数学 同济版第一章一、求下列极限1、；解一： 解二：2、解一：解二：3、解：4、解一：解二：5、解一：解二：6、解一：解二：7、解：8、解：9、解：10、解：11、。二、求下列导数或微分1、 设，求解一：解二：2、 设，求3、 设，求4、 设，求5、 设，求6、 设，求7、 设，求8、 设，求9、 设，求10、 设，求11、 设，求12、 设，求三、求下列积分1、2、3、4、5、6、7、8、 9、10、11、12、13、14、15、注：上题答案有误，应为（-1）/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点：(1)；+0-0+-6-0+6+极大拐点极小在区间上递增；在区间上递减。在上是凸的；在上是凹的。点是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值。（2）+-拐点在区间上递增；在上是凸的；在上是凹的。点是函数的拐点（3）+不存在-0+0-不存在+拐点拐点极大极小在区间,上递增，在上递减；在区间，上是凹的；在上是凸的。点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值2、求函数的极值。3、在区间上给定函数，任取，问取何值时，曲线、及轴所围平面图形面积最大？所以当时所围面积最大。4、求曲线与所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。解：所围面积。旋转所得体积为。5、求曲线与以及轴所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。解：所围面积。旋转所得体积为。五、空间解析几何1、已知向量，求：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）-2=-2(2,3,-1)=(-4,-6,2),3=3(1,-3,1)=(3,-9,3),所以：-2×3= =。（2）×= =(0,-3,-9),所以：=0+6+0=6。（3）=(2,3,-1)+ (1,-3,1)=（3，0，0），=(1,-3,1)+ (1,-2,0)=(2,-5,1),所以：（4） ,，所以： =(-8,16,0) -（-4，12，-4）=(-4,4,4).2、已知点，求：（1）在轴上的投影，在轴上的分向量；（2）求的面积；（3）设，若，取何值？（4）求过点、 的平面方程；（5）求过点且与平行的直线方程。解：（1）=(-3,4,-6),所以在y轴上的投影为4，在Z轴上的分向量为：-6。（2）=1/2 |sin=1/2 |×|,因为：=(-3,4,-6), =(-2,3,-1), 所以：=1/2 =.（3）因为=(-3,4,-6), ，由可知.=0,即：所以：=.（4）由（2）知：×= = (14,9,-1).由平面的点法式得：14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即：14x+9y-z-15=0.（5）= （1，-1，5）,所以由直线的点向式得：x-2=-(y+1)=.3、求过点且通过直线的平面方程。解：设所求平面方程的法向量为，平面上两点A（3，1，-2），B（4，-3，0），=（2，1，3），因为所求平面方程通过，则点B和向量在所求平面上且=×，即：= =(14,1,9)，由平面方程的点法式得所求平面方程为：14（x-3）-(y-1)-9(z+2)=0,即：14x-y-9z-59=0.4、设，其中，且，试问：（1）为何值时，；（2）为何值时，与为邻边的平行四边形的面积为6。解：，又因为，故。（2）与为邻边的平行四边形的面积为：，因为， ，又因为，故或1。七、综合题1. 设，证明证明：设，则，2. 设，证明证明：设，则，3. 设，证明4. 设在上连续，在内可导，且，证明：在开区间内至少存在一点，使得；5. 设在上连续，在内可导，证明：在开区间内至少存在一点，使得。6. 设函数连续，且求解： 又因为函数连续，且所以7. 设函数求的值，使在可导。解：显然函数在连续，所以即又函数在可导，所以，即，所以所以当时，在可导。8、设在上连续，求证：存在,使得.证明：所以由积分中值定理知：存在使得：即：.