导数解答题之极值点偏移问题教师版.docx

函数与导数解答题之极值点偏移问题1.（2013湖南文21)已知函数()求的单调区间;()证明:当时,.2.(2010天津理21）已知函数.()求函数的单调区间和极值；()已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，()如果且证明【解析】（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以>,即>2.3.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数的两个零点为，证明：试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出所求的结果；（2）首先由函数的两个零点为并结合（1）可得0x1ax2，然后构造函数g(x)f(x)f(2ax)，并利用其导函数求出其函数的单调性，进而得出所证的结果.试题解析：（）f?(x)，（x0），所以当a0时，f?(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增（）若函数yf(x)的两个零点为x1，x2（x1x2），由（）可得0x1ax2令g(x)f(x)f(2ax)，（0xa）则g?(x)f?(x)f?(2ax)(xa)0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)g(a)0，即f(x)f(2ax)令xx1a，则f(x1)f(2ax1)，所以f(x2)f(x1)f(2ax1)，由（）可得f(x)在(a，)上单调递增，所以x22ax1，故x1x22a4.（2016福州五校下学期第一次联考）已知函数），其图象与轴交于不同的两点，且（1） 求实数的取值范围；（2）证明：5已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点（）求的取值范围；（）设两个极值点分别为，证明:解：()依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根1分令，从而转化为函数有两个不同零点，而（）2分若，可见在上恒成立，所以在单调增，此时不可能有两个不同零点.3分若，在时，在时，所以在上单调增，在上单调减，从而4分又因为在时，在在时，于是只须：，即，所以.5分综上所述，6分（）由（）可知分别是方程的两个根，即，设，作差得，即.7分原不等式等价于8分令，则，9分设，函数在上单调递增，10分，即不等式成立，11分故所证不等式成立12分6已知函数，（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；（2）将参数用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值；（3）先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证.试题解析：（1），.在上单调递增，恒成立即，恒成立令，时，.（2）设切点为，则，又，令，则当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.当时，取得最小值，为，即的最小值为.（3）证明：由题意得得：得：，即代入得：，即，不妨令，记，令，则，在上单调递增，则，故，.又，即，令，则时，在上单调递增，又，考点：导数及在研究函数的单调性最值中的应用7.(2017届武昌区元月调考理科数学）已知函数（1） 讨论的单调性；（2） 设，证明：当时，；（3） 设是的两个零点，证明：.8已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求的取值范围；（2）记两个极值点分别为，且已知，若不等式恒成立，求的范围试题解析：（1）依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即，方程在有两个不同根转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点又，即时，时，所以在上单调增，在上单调减从而，又有且只有一个零点是1，且在时，在时，所以的草图如下，可见，要想函数与函数的图像在上有两个不同交点，只须（2）因为等价于由（1）可知分别是方程的两个根，即，所以原式等价于，因为，所以原式等价于又由作差得，即所以原式等价于，因为，原式恒成立，即恒成立令，则不等式在上恒成立令，又，当时，可见时，所以在上单调增，又，在恒成立，符合题意当时，可见时，时，所以在时单调增，在时单调减，又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以9已知函数，是函数的两个零点，且，（1）讨论函数的单调性；（2）求的取值范围；（3）设是函数的导函数，求证试题分析：（1）讨论单调性，先导数，然后解得方程在上的解，通过的正负确定的单调区间；（2）由（1）知是的极大值点，因此只要，就能保证有两个零点，注意到，因此可由求得的取值范围，再求得范围；（3）首先由，用表示出，再求得并整理得，此时会发现只要证，此式证明可用换元法，设，再利用函数的性质证明试题解析：（1）令，则，当时，单调递增；当时，单调递减（2）由于函数存在两个零点，由（1）可知，且由于在为增函数，且，所以的取值范围是方法二：函数有两个零点，即方程有两个实数根，即有两个实数根，设，则，设，且单调递增，时，单调递减时，单调递增（3）由于是函数的两个零点，且所以，两式相减得：，要证明，只需证，即只需证设，构造函数在单调递增，考点：导数与函数的单调性，导数的综合应用10.（2014襄阳市三月考试）已知函数（1）当时，求函数在的最大值；（2）令，若在区间（0，3）上不是单调函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与x轴交于两点，且，又是的导函数若正常数满足条件，证明：解：当a=2时，函数y=f(x)在，1是增函数，在1，2是减函数3分所以=14分(2)解：，5分g(x)因为在区间(0，3)上不是单调函数，在(0，3)上有实数解，且无重根由得：2x2axa=0，有，x(0，3)6分又当a=8时，有重根x=2；a=0时，有重根x=07分综上，a的取值范围是8分(3)解：当a=2时，h(x)=f(x)mx的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)f(x)mx=0有两个实根x1、x2，两式相减得：9分于是10分，要证：，只需证：只需证：(*)11分令(0<t<1)，(*)化为令，则，即12分13分u(t)在(0，1)上单调递增，u(t)<u(1)=0，即14分11已知函数（）讨论函数的单调区间；（）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值试题分析：（）求解，分三种情况分类讨论求解函数的单调区间；（）求出和的导数，运用韦达定理和函数的零点的定义，化简整理，构造新函数，运用导数判断函数的的单调性，即可求解最小值试题解析：（），当时，由解得，即当时，单调递增；由解得，即当时，单调递减当时，=，即在（0，+）上单调递增；当时，故，即在（0，+）上单调递增当时，的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）；当时，的单调递增区间为（0，+）（），则，的两根，即为方程的两根，又，为的零点，两式相减得，得b=，而，y=，令（），由得，因为，两边同时除以，得，故，解得t或t2，0<t设G（t）=，=，则y=G（t）在上是减函数，G（t）min=G（）=，即的最小值为考点：函数的导数在函数中的综合应用；函数的零点的应用12.已知函数（1）若,恒有成立，求实数的取值范围；（2）若，求在区间上的最小值；（3）若函数有两个极值点，求证：.（1）由x>0,恒有成立，即对任意x>0成立，1分记H（x）=,H/（x）=，2分当H(x)单增；当H(x)单减；H（x）最大值为，所以5分（2）函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；6分当时，设，当时，单调递增；当时，单调递减；，8分不妨设，先证，即证，即证，令，即证，设，9分则，函数在单调递减，又，12分考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用13.已知函数（1）记，求证：函数在区间内有且仅有一个零点；（2）用表示中的最小值，设函数，若关于的方程（其中为常数）在区间有两个不相等的实根，记在内的零点为，试证明：14.已知函数，且（）求曲线在点处的切线方程；（2）设有两个零点，且成等差数列，记是的导函数，求证：15. （2017届武汉二月调考文科21）已知函数恰有两个极值点（）求实数的取值范围；（）求证：16.已知函数（）讨论函数的极值点的个数；（）若有两个极值点，证明：解：（）由得，1分（）时，所以取得极小值，是的一个极小值点2分（）时，令，得显然，所以，在取得极小值，有一个极小值点4分（）时，时，即在是减函数，无极值点当时，令，得当和时，时，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点6分综上可知：（）时，仅有一个极值点；（）当时，无极值点；（）当时，有两个极值点7分（）由（）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，所以，8分，10分设，所以时，是减函数，则所以得证12分