导数习题精讲.docx

易错点、学法指导及例题研究 例1、函数是定义在R上的可导函数，则是函数在时取得极值的（B） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件例2、已知函数处有极大值，则常数c 6 ；略解：，则，时取得极大值，所以经检验 （如令）变式引申：函数 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ）A、 或 B、 或C、 D、 以上都不对 略解:由题设条件得： 解之得通过验证，都合要求，故应选择A，上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 说明：若点；若可导函数的两侧的导数异号，则点，函数处不一定可导，如函数；函数在取得极值处，如果有切线的话，则切线是水平的，从而，但反过来不一定，如函数处，说明切线是水平的，但这点的函数值不比它附近的大，也不比它附近的小，此处不一定有极值。 例3、函数是定义在R上的可导函数，则为R上的单调增函数是的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件（B）说明：当时，函数单调递增，但单调递增，却不一定有，例如函数是R上的可导函数，它是R上的增函数，但当例4、函数 （D）A、 有最大值，但无最小值 B、有最大值、最小值 B、 C、无最大值、最小值 D、无最大值，有最小值略解：上单调递减，所以无最大、最小值。说明：在开区间(a,b)内连续的且可导的函数不一定有最大值与最小值，如函数例5、求的单调递增区间 解：由函数的定义域可知， 即 又所以 令，得或 综上所述，的单调递增区间为（0，1）说明：求函数的单调区间时千万要注意定义域变式引申：已知，求函数的单调区间.解：令即 解不等式：， 当时，解得，时，解得：或，当时，解得，令，即当时，解得，当时，解得：当时，解得或综上所述：在时，函数在区间内为减函数，在区间为增函数。在时，函数在区间内为增函数，在区间为减函数，在区间内为增函数。在时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数。说明：本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论 例6、已知曲线，求过点P的切线方程。 解：上， （1）当为切点时， 所求切线方程为（2）当不是切点时，设切点为，则，又切线斜率为，所以，解得，此时切线的斜率为1，切线方程为，综上所述，所求切线为或。例7、求下列直线的方程： （1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线；解：（1） 所以切线方程为 （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有，由联立方程组得，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为说明： （1）过点P的切线不能等同于在P点处的切线；（2）求出两条切线，是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢？答案是否定的，由例题可知切线的条数取决于关于方程（或方程组）的解的个数；（3）若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导。例8、方程 (B) A、0 B、1 C、2 D、3略解：令 由，又，故得结论例9、若函数在是增函数，则 （D） B、 C、 D、略解：不等式在指定区间上恒成立例10、函数上是增函数，则实数a 的取值范围为 （D）略解：方法（一），由题意可知当，上面不等式成立，当，当，若，不等式显然不成立，故； 方法（二）因为，由题可知当，恒成立，因为当时，所以，所以变式引申1：已知为实数，。 （1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值；（3）若在和上都是递增的，求的取值范围。解：（1），（2）令，解得，此时由，得：或，又，所以在上最大值为，最小值为（3）为开口向上且过点的抛物线，由条件知：，即 解得：，所以的取值范围是变式引申2：（2006年江西卷）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值。（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x?1，2，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f?（x）3x22axb由f?（），f?（1）32ab0得，a，b2f?（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（?，）（，1）1（1，?）f?（x）00f（x）?极大值?极小值?所以函数f（x）的递增区间是（?，）与（1，?），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x?1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）?c2（x?1，2）恒成立，只需c2?f（2）2c，解得c?1或c?2变式引申3：已知，函数，设，记曲线在点处的切线为。（I）求的方程； （II）设与轴交点为，证明（i）（ii）若，则解：（I），由此得切线的方程为 （II）切线方程中令，有即 其中(i)，又，当且仅当时，(ii)当时，且由(i)所以说明：例7例10及其变式引申13及解不等式以及不等式恒成立问题、方程根的问题，是导数与不等式、方程的综合题例11、，求a、b、c的值。解：由题可得c0， 所以，由条件可知1，1为方程0的根，则由韦达定理得a=0,b=-3例12、若函数在R上有两个极值点，则实数a的取值范围为 （B） C、 例13、若函数 （A）例14、已知曲线轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为4，求p、q的值。 解：由题可知方程有两个不同的解，则 则是方程的一个解，则由韦达定理知另一个解为，则曲线s经过点，解得，代入得说明：以上均是导函数对应的方程根的问题，注意根的判别式及其韦达定理的使用。例15、计算下列定积分（1） (2) (3) （4） （5） 解：（1）令，则原式 （2），则 （3）原式 （4）原式 （5）原式= +=变式引申1：已知,求值, 使.变式引申2：计算（1） 4 （分段函数） （2） （利用几何意义）说明：求定积分要能熟练取出被积函数的原函数，并注意有时要将被积函数进行适当的变形，对于分段函数要分段求，对于有些求定积分要回到其几何意义上。例16、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程. 解：由题可设切点为，则切线方程为，与轴的交点坐标为（，则由题可知有，所以切点坐标与切线方程分别为说明：求一些曲边图形的面积要注意利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积不是与定积分一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.定积分的几何意义是：轴所围成的图形的面积的代数和，即.五、高考题及高考模拟题研究 1、导数的概念、微积分基本定理 高考对导数要求了解其实际背景，作为函数在某一点处的导数的定义及导数的几何意义，对于定积分基本定理的考查，主要是定理的应用即简单计算，关键是被积函数的原函数的寻找，题型一般以选择题、解答题形式出现。 例1、的值为（ C ） A 0 B C 2 D 4解：令，所以说明：关键是原函数的寻找，要求能熟悉一些函数的导数。例2、已知分析：本题考查运用导数定义解决问题的能力，求一个可导函数，通常是先求出这个函数的导函数，在将代入，这是一般处理方法，然而在本题情况下，不易求出，此时，可返回到原始定义，直接利用函数在某一点的导数的定义来求，求法如下：说明：对运用导数的概念求函数的导数考查较少，但这一点这是是高考要求考生必须了解的内容，随着高考对导数考查思路的逐步成熟，高考对这一点的考查会适当拓宽，如还可能在“可导与连续”、“可导与有切线”的联系处，或在导数定义的变式处设置选择题，以考查学生应用导数概念解题的能力。2、导数、定积分的几何意义高考对导数的几何意义考查的要求是理解，试题一般以选择题、填空题的形式出现，常与解不等式、不等式的证明及圆锥曲线有关这是结合起来考查。小题小综合、大题大综合，尤其是导数与圆锥曲线、不等式的证明等知识的综合，数学思想丰富、解法灵活多变、方法多样。请加强这方面的训练例3、（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A B C D（ ）解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A分析：本题是在导数的几何意义直线的联系处命题的，根据导数的几何意义，过点M的斜率为，于是先求的导数，并利用点斜式写出的方程。例4、（2006年江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和分析：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。例5：直线与抛物线所围成的图形面积是（ C ） A 20 B C D 解：直线与抛物线的交点坐标为（1，1）和（3，9），则例6：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J说明：力对质点的做功就是求定积分。 3、利用导数研究函数的性态 高考对这一知识点考查的要求为：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值，注意数形结合。 例7、（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A ）A1个 B2个 C3个 D 4个例8、（2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）?0，则必有（ C ）A f（0）f（2）?2f（1） B. f（0）f（2）?2f（1）C. f（0）f（2）?2f（1） D. f（0）f（2）?2f（1）解：依题意，当x?1时，f?（x）?0，函数f（x）在（1，?）上是增函数；当x?1时，f?（x）?0，f（x）在（?，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）?f（1），f（2）?f（1），故选C变式引申：已知上有最大值为3，那么此还是在2，2上的最小值为 A、37 B、29 C、5 D、11 （A） 解：，则有例9、（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（1）的值； （2）的值.解：（1），由图可知当，故当时，函数取得极大值，所以=1（2）由图可知为方程的两个根，则有 ，由（1）可知 由解得.例10：（2006年福建卷）已知函数 （1）求在区间上的最大值 （2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。例11、设函数交于点P，若过P的切线方程为，且当x=4时，函数取极值19，试求的解析式，并求这个函数的单调递减区间。 解：由，这是过P点的切线的斜率。代入切线方程， 时，的极值为19，则， 例12、设函数是定义在（为实数）；（1）当；（2）若并证明你的结论；（3）是否存在实数 分析：第（1）设 （2）（3）首先求出导函数，然后解含参数a 的不等式，要进行分类讨论。本题的第（2）实际上为第（3）作铺垫，因为；（3）当当使。4、利用导数解应用性问题利用导数解决科技、经济、生产、生活中的最值问题，是新课程高考要求学生必须掌握的内容，与应用传统知识解应用题的唯一区别是：解题过程中利用导数求出函数的最值。例13、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。分析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。由于三个正数的均值不等式高考不作要求，所以关于x 的三次函数的最值，只有用导数求其最值。OO1例14：（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力导数应用的题型与方法四、热点题型分析题型一：利用导数定义求极限例1已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）解：（1）（2）说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。题型二：利用导数几何意义求切线方程例2已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。解：设直线与的切点分别为，又 或， 的方程为： 或 。题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 例3已知函数的切线方程为y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式； （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值； （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由过的切线方程为：而过故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）当 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。 依题意在2，1上恒有0，即 当；当；当 综上所述，参数b的取值范围是例4：已知三次函数在和时取极值，且(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件解：(1) ，由题意得，是的两个根，解得，再由可得(2) ，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数函数的极大值是，极小值是(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（）而，在是增函数,f(1)=-5，即于是，函数在区间上的值域为令得或由的单调性知 ，-1综上所述，、应满足的条件是：， 例5：已知函数f(x)=x33x2axb在x(1，f(1)处的切线与直线12xy10平行（1）求实数a的值；（2）求f(x)的单调递减区间；（3）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：（1） f (x)3x26xa f (1)3a=12,a=9 （2） f (x)3x26x9令f (x)<0，解得x<1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（3）因为f(2)81218b=2b，f(2)81218b22b，所以f(2)>f(2) 因为在（1，3）上f (x)>0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22b20，解得 b2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927，即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7 例6：已知函数在处取得极值，（1）用表示；（2）设函数如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围.解：（1） （2）由已知令0若,则当时，>0；当时，.所以当时，在有极小值.同理当时，即时，在有极小值.综上所述：当时，在有极小值.例7：已知(1)当时, 求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.解: (1) , 又二次函数的图象开口向上,在内, 故在内是减函数.(2)设极值点为则当时, 在内 在内即在内是增函数, 在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点. 当时, 由(1)知在内没有极值点. 故所求a的取值范围为例8：设函数（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取极值，求实数 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点 解：（1） 由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当b=1时，因故方程有两个不同实根不妨设，由可判断的符号如下：当；当；当因此是极大值点，是极小值点，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。例9 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=,(0<V<24) =V=由V=得时，V>0,10<x<36时，V<0,x>36时，V>0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960，并且又是最大值所以当x=10,V有最大值V(10)=1960题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围例10：设函数 （1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-极小极大在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减时，时， （2），对称轴，在a+1，a+2上单调递减 ，依题， 即解得，又 a的取值范围是例12：（2006全国卷）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。 解：，判别式 若，当时，在上为增函数，所以符合题意。 若，恒有，在上为增函数，所以符合题意。 若即都是增函数，只须，又所以 综上：的取值范围为例13：已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线 只有一个公共点解：（）由题意 令，对，恒有，即 即 解得故时，对满足的一切的值，都有（）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时，恒有由题意得即解得 ；综上，的取值范围是例14（2006年江西卷）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x?1，2，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f?（x）3x22axb由f?（），f?（1）32ab0得a，b2f?（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（?，）（，1）1（1，?）f?（x）00f（x）?极大值?极小值?所以函数f（x）的递增区间是（?，）与（1，?），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x?1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）?c2（x?1，2）恒成立，只需c2?f（2）2c，解得c?1或c?2题型六：利用导数研究方程的根例15：已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况. 解：(1)，=0 即+(t2-3) ·(-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)·=0 =0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)当k=或k=时,方程f(t)k=0有两解；(3) 当k时,方程f(t)k=0有三解. 例16：设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点解：令，当变化时，的变化情况如下表所示+00+极大值极小值所以的极大值=，极小值。（2），所以当时曲线与轴仅有一个交点。所以当时曲线轴仅有一个交点。例17： 已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（）由题设知.令.当（i）a>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.题型七：导数与不等式的综合例18：已知函数，设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：；若，则。解：（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题意，在切线方程中令，得，（），当且仅当时取等成立。（）若，则，且由（），所以。例19：设在上是单调函数.（1）求实数的取值范围；（2）设1，1，且，求证：.解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则，由于.从而0<a3.（2）方法1、可知在上只能为单调增函数. 若1，则 若1矛盾，故只有成立.方法2：设，两式相减得 1,u1，例20：已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，所以的取值范围是，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意，恒有函数在区间内可导，导函数是减函数，且。例21：设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。（I）用，表示；（II）证明：当时，；解：（I）；（II）令，令，因递减，所以递增，当当，所以是唯一极值点，也是最值点，所以得；当时，；题型八：导数在实际中的应用例22：某工厂每月生产x吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分，不变成本为800（万元），可变成本为20x（万元）市场对这种商品的需求函数为p=100x（0x100），其中p为这种商品的单价（单位：万元），x为市场对这种商品的需求量（单位：吨），假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）（1）把月利润y（万元）表示为产量x（吨）的函数（利润销售收入成本）；（2）每月生产多少吨时，能获得最大利润？此时产品的单价为多少？解：（1）y=p·x20x800 =x·(100x)20x800=x2+80x800（2）y=x2+80x800=（x40）2+800 当x=40时，ymax=800.此时单价p=100x=60 每生产40吨，能获得最大利润单价60万元.题型九：导数与向量的结合例23：设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。解：（1）（2）则在上有由；由。因为在t上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。 利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为，再展开，应用待定系数法即可求出。再对求根得解。如；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例1、方程的实根的个数是 （ ） 、3 、2 、1 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令= 则= = 当或时 0 为增函数 当时 为减函数 =013 故的极大值在轴的下方，如图1，即的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选。（图1）例2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值对应惟一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求解。解：函数在上是增函数，在上是减函数由得， ， 得由题意 0 即 又在和上递增，在上递减。如图2（图2） 在的值域为 即 据图2可知，若恰有一解，只需 得 结合（一）导数与向量的交汇1.（05湖北卷）已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围. 点评：根据数量积求出的图像，要使在区间（1，1）上恒成立.考查意图：本小题考查了向量的坐标运算、导数与单调性之间的关系，不等式恒成立问题的解法，二次函数的区间最值以及数形结合、等价转化的基本数学思想。它以教材中新增加的向量、导数为工具揉合了数学中传统的主干知识，综合考查了学生运用数学知识分析问题解决问题的能力。（二）导数与解析几何的交汇例2（06年广东卷）设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求()点A、B的坐标 ；()动点Q的轨迹方程点评: ()令解得讨论知,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以, .() 设，所以，又PQ的中点在上，所以消去得考查意图：本题考查了导数的几何意义，极值的判断方法，向量的坐标运算，代入法求轨迹以及消元的基本数学思想。（三）、导数与数列的交汇例3、（06重庆22）如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点。（）试证：；（）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；点评：（）根据的特征，类似根与系数间的关系。因此联立直线 与抛物线方程得: ,由一元二次方程根与系数的关系得（）利用导数知识易得在处的切线的方程为：，在处的切线的方程为：，由得：，将代入并注意得交点的坐标为由两点间的距离公式得：现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：考查意图：本题综合解析几何、导数、数列等知识点，将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向。（四）利用导数求有关的参数范围问题 (06安徽文(20) 例1 设a为实数, 函数= a+ ()x 在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函数,求a的取值范围. 点评： 此题是一个利用导数来研究函数单调性的问题. 自然地, 首先求函数的导数, 把研究函数的增减性转化为研究导数的正、负. 求的导数, 得= 32ax +1. 下面则转化为二次函数32ax +1在区间 (, 0 ) 和 ( 1, ) 上均为正的问题, 对于解决这个问题没有现成的定理可直接使用, 用纯代数的方法难以奏效, 必须借助图形来解决. = 32ax +1, 此函数图象为开口向上的抛物线, 其判别式 = 412+12 = 128. ( i ) 若= 128= 0 , 即a =±. 抛