对数函数及其性质学案.docx

The pony was revised in January 2021对数函数及其性质学案对数函数及其性质明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3.了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照知识回顾复习指数函数图象及性质：y=ax0<a<1时图象a>1时图象图象性质（1）定义域，值域(，)（2）a0=，即x=0时，y=，图象都经过(，)点（3）ax=a，即x=1时，y等于底数（4）在定义域上是单调函数（4）在定义域上是单调函数（5）x<0时，ax>x>0时，<ax<（5）x<0时，<ax<x>0时，ax>（6）既不是奇函数，也不是偶函数要点一：对数函数的概念1函数叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是2判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为；（2）底数为的常数；（3）对数的真数仅有要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数（2）求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求，底数大于零且不等于1；对含有字母的式子要注意要点二：对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：值域：过定点，即x=1时，y=0在（0，+）上增函数在（0，+）上是减函数当0x1时，0，当x1时，0当0x1时，0，当x1时，0要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.要点三：底数对对数函数图象的影响1底数制约着图象的升降如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略2底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而轴.(见下图)要点四：反函数1反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的；函数的值域B正好是它的反函数的要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如一般说来，单调函数有反函数2反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于对称（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上典型例题自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三类型一：对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）；（2）（3）；（4）；（5）【总结升华】类型二：对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2.求下列函数的定义域：(1)；(2).【解析】由对数函数的定义知：，解出不等式就可求出定义域.(1)(2)【总结升华】举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1)y=(2).类型三：对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3.比较下列各组数中的两个值大小：(1)；(2)；(3)与；(4)与(5)（）【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【总结升华】例4利用对数函数的性质比较、的大小【总结升华】举一反三：【变式1】已知则（）ABCD例5求函数的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解【总结升华】举一反三：【变式1】求函数的值域和单调区间类型四：函数的奇偶性例6.判断下列函数的奇偶性.(1)(2).【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.（1）（2）【总结升华】类型五：利用函数图象解不等式例7若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。【总结升华】举一反三：【变式1】当x（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围类型六：对数函数性质的综合应用例8（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；（3）的定义域为，求实数的取值范围【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.【总结升华】举一反三：【变式1】已知函数.（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围.