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1. 导数应用之函数单调性题组 1：1. 求函数3 2f ( x) x 3x 9x 12的单调区间 .2. 求函数2f (x) x 3x ln x 的单调区间 .3. 求函数2f (x) x 3x ln x 的单调区间 .4. 求函数f (x)1x ln x的单调区间 .5. 求函数 ( ) ln ln ln( 1)xf x x x1 x的单调区间 .题组 2：1. 讨论函数1 14 3 2 2 4f (x) x ax a x a (a 0) 的单调区间 .4 32. 讨论函数3 2f (x) x 3ax 9x 12 的单调区间 .3. 求函数1 m3 2f (x) mx (2 ) x 4x 1 (m 0) 的单调递增区间 .3 2第 1 页 共 17 页22. 讨论函数 ( ) ( 1) ln 1 f x a x ax 的单调性 .3. 讨论函数1 af (x) ln x ax 1x的单调性 .题组 3：6. 设函数3 2f (x) x ax x 1.(1) 讨论函数 f (x) 的单调区间；(2) 设函数 f ( x) 在区间2 1( ， ) 内是减函数 , 求 a 的取值范围3 37. (1) 已知函数2f (x) ax x ln x在区间 (1,3)上单调递增 , 求实数 a 的取值范围 .(a>=-2/9)(2) 已知函数2f (x) ax x ln x在区间 (1,3)上单调递减 , 求实数 a 的取值范围 .(a<=-1)8. 已知函数3 2 xf (x) (x 3x ax b)e .(1) 若a b 3, 求 f (x) 的单调区间；(2) 若 f ( x) 在( , ),(2, ) 单调递增 , 在( ,2),( , ) 单调递减 , 证明: 6 .9. 设函数3 2 2f (x) x ax a x 1 ,2g(x) ax 2x 1 ,(1) 若a 0, 求函数 f ( x) 的单调区间；(2) 若 f ( x) 与 g( x) 在区间 (a, a 2) 内均为增函数 , 求a 的取值范围第 2 页 共 17 页4. 导数应用之极值与最值10. 设函数2 x 1 3 2f (x) x e ax bx , 且 x 2和 x 1均为 f (x) 的极值点(1) 求 a , b 的值, 并讨论 f (x) 的单调性；(2) 设23 2g (x) x x , 试比较 f (x) 与 g(x) 的大小311. 设函数2f (x) x (x a) .(1) 若 f '(1) 3, 求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程；(2) 求函数 y f ( x) 在区间 0,2 上的最大值 .12. 设函数3 3 2f (x) ax x (1) 若 x 2是函数 y f ( x)的极值点 , 求 a 的值；(2) 若函数 g( x) f (x) f (x), x 0，2 , 在 x 0处取得最大值 , 求a 的取值范围13. 已知函数13 2f (x) x x 2 . 3(1) 设 Sn 是正项数列 an 的前 n 项和, a1 3, 且点2(an, an 2an ) 在函数 y f '( x) 的图象上 , 求证 : 点1 1(n, Sn ) 也在 y f '( x) 的图象上；(2) 求函数 f (x) 在区间 (a 1, a) 内的极值 .14. 设函数3 2 2f (x) ax bx 3a x 1在 x x1 , x x2 处取得极值 , 且 x1 x2 2(1) 若 a 1, 求b的值, 及函数 f (x) 的单调区间；(2) 若 a 0, 求实数 b 的取值范围15. 设函数13 2f (x) ax bx (2 b)x 1在 x1 处取得极大值 , 在 x2 处取得极小值 , 且0 x1 1 x2 2 .3证明: a 0, 并求 a 2b 的取值范围 .第 3 页 共 17 页5. 已知 x 1是函数1 33 2f ( x) ax x (a 1)x 5的一个极值点 ,3 2(1) 求函数 f (x) 的解析式；(2) 若 y f (x) 的图像与直线 y 2x m 有三个不同的交点 , 求实数 m 的取值范围 .6. 已知 x 3是函数2f (x) a ln(1 x) x 10x 的一个极值点 .(1) 求 f (x) 的解析式及其单调区间；(2) 若直线 y b与曲线 y f (x) 有三个交点 , 求b的取值范围 .7. 设函数4 3 2f (x) x ax 2x b(x R ) (1) 若函数 f (x) 仅在 x 0 处有极值 , 求 a 的取值范围；(2) 若对于任意的 a 2，2 , 不等式 f (x) 1在 1，1 上恒成立 , 求b 的取值范围8. 设 x 3是函数2 3 xf (x) (x ax b)e 的一个极值点 .(1) 求 a 与b的关系式 ( 用a 表示 b ), 并求函数 f ( x) 的单调区间；(2) 设 a 0 ,2 25xg x a e . 若存在x1,x2 0,4 , 使( ) ( )4f (x ) g(x ) 1总成立 , 求 a 的取值范围 .1 29. 已知函数f (x)kx 12x c( c 0且 c 1) 恰有一个极大值点和一个极小值点 , 其中一个是 x c (1) 求函数 f (x) 的另一个极值点；(2) 求函数 f (x) 的极大值 M 和极小值 m , 并求 M m 1时 k 的取值范围10. 设函数3 2f (x) ax bx cx d 的图像 上有两个极值点 P,Q , 其中 P 为坐标原点 ,(1) 当点 Q 的坐标为 (1,2) 时, 求 f (x) 的解析式；(2) 当点 Q 在线段 x y 5 0 (1 x 3) 上时, 求曲线 的切线斜率的最大值 .第 4 页 共 17 页11. 导数应用之函数的零点题组 1：16. 函数x 2f (x) 3 x 在区间 1,0 内有没有零点？为什么？x17. 函数 ( ) 2 3f x x 的零点所在的一个区间是【 】.A. ( 2, 1) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (1,2)x18. 函数 f (x) 的零点与 ( ) 4 2 2g x x 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f (x) 可以是【 】.xA. ( ) 1f x e B. f (x) 4x 1C.2f (x) ( x 1) D.1f (x) ln( x )219. 若2 a 3 b 4, 且函数 f (x) log x x b的零点 x0 (n, n 1) (n Z) , 则 n 【 】.aA. 1 B. 2 C. 3 D. 4题组2：20. 设函数 y f (x) 的图像在 a, b 上连续 , 若满足 _, 则方程 f (x) 0在a,b 上有实根 .21. 已知x 是函数0xf ( x) 211 x的一个零点 . 若x1 (1, x0 ), x2 (x0, ) , 则【 】 .A. f (x1) 0 , f ( x2 ) 0 B. f (x1) 0 , f ( x2 ) 0C.f (x ) 0 , f ( x2 ) 0 D. f (x1) 0 , f ( x2 ) 0122. 函数f (x) x1x的零点个数为 _.23. 求证: 函数2 3f (x) x 2x1在区间 (0,2) 内没有零点 .题组 3：24. 函数f (x) x log x 在区间 (0,1) 内是否有零点？为什么？225. 求证: 函数4f (x) x 2x 1在区间 1,2 内至少有两个零点 .26. 求证: 函数 f (x) (x 3)( x 8) 1有且只有两个零点 .27. 求证: 函数2f (x) ln x x x 1有且只有两个零点 .228. 设函数 f x ax bx c( ) , 若 f (1) 0, f (2) 0, 则 f (x) 在区间 (1, 2) 上的零点个数为【 】.第 5 页 共 17 页A. 至多有一个 B. 有且只有一个 C. 有一个或两个 D. 一个也没有12. 设m (1, ) , 求证 : 函数 f (x) x ln( x m) 有且只有两个零点 .13. 判断函数2f (x) x lg x 在区间 (0,10) 内的零点个数 , 并说明理由 .题组 4：n14. 设函数 f ( x) x x 1n*(n N , n 2) .1(1) 证明: ( )f x 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点；n21(2) 设 xn 是 fn (x) 在( ,1) 内的零点 , 判断数列 x2 , x3, , xn 的增减性215. 设函数2f ( x) x (a 2) x aln x (2) 若函数有两个零点 , 求满足条件的最小正整数 a 的值；(3) 若方程 f (x) c有两个不等实根x xx x , 求证 : ( 1 2 ) 0 1, 2 f x x , 求证 : ( 1 2 ) 0216. 设函数2f ( x) 2ln x mx x 有两个零点 x1, x2 , 求证 :x x1 2f ( ) 0 .217. 设函数 f ( x) ln x ax 有两个零点x , x2 , 求证:12x x e .1 218. 记函数2 nx x xn (n N ) , 求证 : 当n为偶数时 , 方程 fn(x) 0没有实数根；f (x) 11! 2! n!当 n为奇数时 , 方程 fn (x) 0有唯一实数根 xn , 且 xn 2 xn .19. 设函数f ( x) 1n2 3 nx x x x2 2 2 21 2 3 n(x R, n N ) ,(1) 证明: 对每个 n N , 存在唯一的 2 ,1x , 满足 fn (xn ) 0 ；n3(2) 证明: 对任意 p N , 由(1) 中 xn 构成的数列 xn 满足0 xn xn p1n.第 6 页 共 17 页20. 导数应用之图像的切线题组 1：29. 求平行于直线 9x y 1 0, 且与曲线3 3 2 1y x x 相切的直线方程 .30. 求垂直于直线 x 3y 2 0, 且与曲线3 3 2 1y x x 相切的直线方程 .31. 求与直线 3x y 2 0夹角为 45 , 且与抛物线2y 2x 相切的直线方程 .32. 设函数 f (x) sin x图像上动点 P处切线的倾斜角为 , 求 的取值范围 .题组 2：33. 求函数3f (x) 2x 的图像 C 在点 P (1,2) 处的切线 l 方程, 以及曲线 C 与切线 l 的所有交点坐标 .34. 求函数3f (x) 2x 的图像经过点 P (1,2) 的切线方程 .35. 求函数3f (x) 2x 的图像经过点 P(1,10) 的切线方程 .36. 求经过坐标原点 , 且与函数f ( x)xx95的图像相切的直线方程 .37. 设函数 ( )f x axbx, 曲线 C : y f (x) 在点 (2，f (2) 处的切线为 7x 4y 12 0 (1) 求函数 f (x) 的解析式；(2) 求证: 曲线 C 上任意一点处的切线与直线 y x, 以及 y 轴所围成三角形的面积为定值 .第 7 页 共 17 页21. 已知直线 2x y 3 ln 2 0 是函数 f (x) ln x mx的图像 C 的一条切线 .(1) 求 f (x) 的解析式；(2) 若 P(s,t ) 是曲线 C 上的动点 , 求曲线 C 在点 P处的切线纵截距的最小值 .题组 3：22. 已知直线 y x 是函数3 2f (x) x 3x ax 1图像的一条切线 , 求实数 a 的值 .23. 已知 a 0, 且过点 P( a, b) 可作函数3f (x) x x 图像的三条切线 , 证明 : a b f (a) .24. 设函数1 13 2f ( x) x ax bx c (a 0) 的图像 C 在点 P (0, f (0) 处的切线为 y 1 .3 2(1) 确定 b,c 的值；(2) 设曲线 C 在A(x , f (x ), B(x , f (x ) 处的切线都过 Q (0, 2) , 证明: 若 x1 x2 , 则 f '(x1) f '( x2 ) ；1 1 2 2(3) 若过点 Q (0, 2) 可作曲线 C 的三条不同切线 , 求 a的取值范围 .25. 已知函数1 13 2f (x) x ax bx 在区间 1，1) , (1，3内各有一个极值点3 2(1) 求2 4a b 的最大值；(2) 当2 4 8a b 时, 设曲线 C : y f (x) 在点 A( 1，f (1)处的切线 l 穿过曲线 C ( 穿过是指 : 动点在点A附近沿曲线 C 运动, 当经过点 A时, 从 l 的一侧进入另一侧 ), 求 f (x) 的表达式3 3 2 引切线 , 切于不同于点 O 的点26. 由坐标原点 O (0,0) 向曲线 y x x xP1( x1 , y1 ), 再由 P1 引切线切于不同于P 的点1P2( x2 , y2 ) , 如此继续下去 , 得到点 P ( x ,y ) , 求n n nx 与n 1x 的关系 , 及nx 的表达式 .n巩固练习：38. 求函数3f ( x) 2x 的图像经过点 P (1, 8) 的切线方程 .39. 求函数f (x)x2x33的图像经过点1P (3, ) 的切线方程 .2第 8 页 共 17 页27. 如图, 从点P1(0, 0) 作 x 轴的垂线交于曲线xy e 于点Q1(0, 1) ,曲线在Q 点处的切线与 x 轴交与点1P ；再从2P 作 x 轴的垂线交曲线于点2Q , 依次重复上述过程得到一系2列的点 :P ,1Q ,1P ,2Q , ,2P ,nQ , 记点 Pk 的坐标为Pk ( xk , 0) (k 1,2,3, ,n) .n(1) 求 xk 1 与 xk 之间的等量关系； (2) 求 P1Q1 P2Q2 P3Q3 . PnQn .40. 导数应用之存在与任意4. 已知函数 f (x) x a b( x 0)x, 其中 a,b R (1) 若曲线 f (x) 在点 P( 2, f (2) 处的切线方程为y 3x 1, 求函数 f ( x) 的解析式；(2) 若对于任意的1a ,2 , 不等式 f (x) 10 在21x ,1恒成立 , 求 b 的取值范围45. 已知函数 f (x) (1 x)2 2ln(1 x) .(1) 求 f (x) 的单调区间； (2) 若 f ( x) m 对 x e 1 1,e 1恒成立 , 求 m 的取值范围；6. 设函数f (x)1xln x.1(1) 求 f (x) 的单调区间； (2) 若2ax x 对 x (0,1)恒成立 , 求 a的取值范围.7. 已知函数2f (x) ln (x 1)2xx1.(1) 求 f (x) 的单调区间； (2) 若1n e(1 ) 对 n N 都成立 , 求 的最大值 .n8. 设函数fx 2(x) x(e 1) ax.(1) 若1a , 求 f (x) 的单调区间； (2) 若当 x 0时, f (x) 0, 求 a 的取值范围.2x 29. 设函数 f x e ax x( ) .(1) 若 a 0, 求 f (x) 的最小值； (2) 若当 x 0时, f (x) 1恒成立 , 求 a的取值范围.第 9页共 17 页28. 设函数 f ( x) ex ax 的图象与 y 轴交于点 A, 曲线 y f (x) 在点 A 处的切线斜率为a 1 .(1) 求 f (x) 的极值；(2) 证明 : 当 x 0时 ,2 ；xx e(3) 证明 : 对任意给定的正数 c, 总存在 x0 , 使得当 ，x x , 恒有0x2 x .ce29. 设函数 f ( x) ax cos x ,(1) 讨论函数 f (x) 在区间 0, 内的单调性；(2) 若 f (x) 1 sin x对 x 0, 恒成立 , 求实数 a的取值范围 .30. 设函数 ( ) cos sin , 0, f x x x x x .2(1) 求证 : f (x) 0 ；(2) 若 sin xa b x对 x (0, ) 恒成立 , 求a的最大值与 b 的最小值 .231. 已知函数 f ( x) (a 1) ln x ax2 1,(1) 讨论函数 f (x) 的单调性；(2) 设 a 1, 且对任意的 , (0, )x , 都有 | f ( 1 ) f ( x ) 4 | x x |, 求a 的取值范围 .1 x x2 2 1 232. 已知 x 3是函数2 3 xf (x) (x ax b)e 的一个极值点 .(1) 求 a 与b的关系式 ( 用a 表示 b ), 并求函数 f ( x) 的单调区间；(2) 设 a 0 ,2 25xg( x) (a )e . 若存在 x1, x2 0,4 , 使得 f (x1 ) g(x2 ) 1成立, 求a 的取值范围 .433. 已知函数3 1 2f ( x) ax x cos 2x c 的图像过点237(1, )6, 且在 2,1上递减 , 在1, ) 上递增 .(1) 求 f (x) 的解析式；第 10 页 共 17 页(2) 若对任意的45x x m m 都有 ( 1) ( 2)1, 2 , 3 f x f x 成立, 求正实数 m 的取值范围 .21 m3 x2 x g x mx34. 设函数 ) 4 1, ( ) 5f (x) mx (2 . 3 2(1) 当 m 0时, 求函数 f ( x) 的递增区间；(2) 是否存在负实数 m , 使得对任意的x1, x2 1,2 , 都有 g(x1 ) f ( x2 ) 1？若存在 , 求 m 的范围；若不存在, 请说明理由 .41. 导数应用之极值点偏移10. (1) 设不同的两点A(x , y ), B( x ,y ) 均在二次函数1 1 2 22f (x) ax bx c ( abc 0 ) 的图像上 , 记直线 ABx x的斜率为 k , 求证 : '( 1 2 ) k f ；2(2) 设不同的两点A(x , y ), B(x ,y ) 均在“伪二次函数”1 1 2 22g (x) ax bx cln x ( abc 0) 的图像上 ,x x记直线 AB 的斜率为 k, 试问: '( 1 2 ) k g 还成立吗？211. 设函数2f ( x) ax (1 2a)x ln x (a R ) (1) 当 a 0 时, 求函数 f (x) 的单调递增区间；(2) 记函数 y f (x) 的图像为曲线 C , 设A(x , y ) ,1 1B(x , y ) 是曲线 C 上不同的两点 , M 为线段 AB的中2 2点, 过点 M 作 x轴的垂线交曲线 C 于点 N 试问 : 曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB？12. 设函数2f (x) x (a 2)x a ln x (1) 求函数 f (x) 的单调区间；(2) 若函数有两个零点 , 求满足条件的最小正整数 a 的值；(3) 若方程 f (x) c 有两个不等实根x1, x2 , 求证 :x x1 2f ( ) 0 2第 11 页 共 17 页35. 设函数2f (x) 2ln x mx x .(1) 若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为 y 2x n , 求实数 m,n的值；f (a) f (b)(2) 若 m 4, 求证 : 当 a b 0时, 有 22 b2a；(3) 若函数 f (x) 有两个零点 x1, x2 (x1 x2 ) , 且 x0 是 x1, x2 的等差中项 , 求证: f '(x0 ) 0 .36. 设函数 f (x) ln x ax 有两个零点x , x2 , 求证 :12x x e .1 2x 6. 设函数 ( )f x e ax a的两个零点为 x1, x2, 求证: x1 x2 x1 x2 .x42. 设函数 f (x) e ax , 其中 a e,(1) 求证: 函数 f (x) 有且仅有两个零点x , x2 , 且0 x1 1 x2 ；1(2) 对于(1) 中的x , x2 , 求证: f '( x1 ) f '( x2 ) 0 .1x43. 设函数 f (x) e mx的图像在点 P(0, f (0) 处的切线方程为 2x y 1 0 , 求证: 对满足 a b c 的第 12 页 共 17 页实数 a,b, c , 都有 f (b) f (a) f (c) f (b)b a c b成立 .37. 导数应用之不等式证明 (1)44. 证明: 对任意的 n N , 都有ln(1n1)12n13n.n m 2. 已知 m, n N , 且1 m n, 求证: (1 ) (1 )m n .13. 设函数1f (x) a ln( x 1),n（1 x)(1) 当 n 2 时, 求函数 f (x) 的极值；(2) 当a 1时, 证明 : 对任意的 n N , 当 x 2 时, 都有 f ( x) x 1.14. 已知函数 f (x) ex a ln( x 1) 1在点 P (0, f (0) 处的切线垂直于 y 轴,(1) 求函数 f (x) 的单调区间；m n(2) 当m n 0 时, 求证: 1 ln( 1) ln( 1)e m n .第 13 页 共 17 页38. 设函数xf ( ) , 且 f1(x) f '( x) , fn 1( x) fn ' (x) (n N ) .xxe(1) 求 f1( x) , f2 (x) , f3 (x) , fn(x) 的解析式；(2) 求证: 对任意的实数 a,b, 以及任意的正整数 n, 都有 f2n (a) f2n 1(b) f (n) .1 a39. 设函数 f (x) mx xln x在 x 1处取得极值 , 数列a 满足 e 1 1 , an 1 f (an ) (n N ) .n(1) 求函数 f (x) 的单调区间；(2) 求证: 对任意的* 1n N , 都有 e a 1；n(3) 求证: 对任意的*n N , 都有 an 2 an 2an 1 .40. 记函数2 nx x xn (n N ) , 求证 : 当 n为偶数时 , 方程 fn (x) 0 没有实数根；当 nf (x) 11! 2! n!为奇数时 , 方程 fn (x) 0有唯一实数根 xn , 且 xn 2 xn.41. 设函数f (x) 1n2 3 nx x x x2 2 2 21 2 3 n(x R,n N ) ,第 14 页 共 17 页(1) 证明: 对每个 n N , 存在唯一的 2 ,1x , 满足 fn (xn ) 0；n3(2) 证明: 对任意 p N , 由(1) 中x 构成的数列 xn 满足n0 xn xn p1n.42. 导数应用之不等式证明 (2)45. 设函数1 xf (x) ln xax.(1) 若函数 f (x) 在1, ) 上为增函数 , 求正实数 a 的取值范围；(2) 当a 1时, 求证 : 对大于 1的任意正整数 n , 都有lnn1 1 1 12 3 4 n.46. 设函数 f (x) x ln( x a) 的最小值为 0 , 其中 a>0 .(1) 若对任意的 x 0,+ ) , 有2f (x) kx 成立, 求实数 k 的最小值；1 1 1 1(2) 证明: 对大于 1的任意正整数 n , 都有 ln( 2 1)n3 5 2n 1 2.47. 设函数2f (x) kx , g(x) ln x ,(1) 讨论关于 x 的方程 f (x) g( x) 在区间1e ,e 内的实数根的个数；(2) 求证: 对任意的正整数 n , 都有ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 14 4 4 4 41 2 3 4 n 2e.第 15 页 共 17 页43. 设函数2f ( x) x a ln(1 x ) ,(1) 若函数 f (x) 在区间1 2( , )3 3上递增 , 求实数 a 的取值范围；(2) 证明: 当 x 0时,2ln(1 x ) x；(3) 证明: 对大于 1的任意正整数 n , 都有1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 ) 2e.4 4 4 41 2 3 n44. 设函数f (x)2xax b, 其中 f (1) 1,1 2f . 在数列 xn 中,( )2 31x , 且 xn 1 f (xn ).12(1) 求数列 x 的通项 xn .n(2) 求证: 对任意的正整数 n , 都有x x x x1 2 3 n12e.x45. 设函数 ( ) 1f x e ax ,(1) 若 f (x) 0对 x R均成立 , 求正实数 a的取值集合；(2) 求证: 对任意的正整数 n , 都有 1 n 2 n 3 n n n e( ) ( ) ( ) ( )n n n n e1.x46. 设函数 ( ) 1f x e x ,(1) 求证: 函数 f (x) 有且只有一个零点；(2) 求证: 对任意的正整数 n , 都有1 n 3 n 5 n 2n 1 n e( ) ( ) ( ) ( )2n 2n 2n 2n e 1.r 147. (1) 设函数 f ( x rx x r (x 0) , 其中 0 r 1. 求函数 f ( x) 的最小值；)第 16 页 共 17 页b b(2) 用(1) 的结果证明命题 : 设a 0 , a2 0 , b1,b2 为正实数 , 若b1 b2 1, 则 1 2 1 1 2 2a 1a 2 a b a b1；(3) 请将(2) 中的命题推广到一般形式 , 并用数学归纳法证明你所推广的命题 .48. (1) 求函数 f (x) ln x x 1的最大值；(2) 设 ,a b 均为正实数 , 证明: 若a1b1 a2b2 anbn b1 b2 bn , 则k kb b ba1 a2 a 1；1 2 nn(3) 设 ,a b 均为正实数 , 证明: 若b1 b2 bn 1, 则k k1nb1 b2 2 2 2bb b b b b bn1 2 n 1 2 n.第 17 页 共 17 页