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向量法求空间角和距离 用向量法求解立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革，此方法与传统的方法比较起来思路更简单、清晰，操作起来更容易。尤其那些用传统方法解决很困难的题目，用向量法学生更容易掌握、接受。本文就通过具体的实例来介绍立体几何中空间角与距离的求法，以供参考。 一、 求空间距离 1. 求异面直线间的距离。 在两异面直线a,b上各取一点E、F， a、b的公垂线为AB， 则 a，b之间的距离d= 。在空间直角坐标系中求出 及 的坐标便可求出 a，b之间的距离。 例1 、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱CD的中点，求异面直线A1C1和B1E的距离解：以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），C1（0，2，2），B1（2，2，2），E（0，1，0）， ， 设是异面直线A1C1和B1E的公垂线的一个方向向量，则，得，异面直线A1C1和B1E的距离 注：令 可以达到简化运算的目的，若x,y的方程组（1）无解则可令 ，若x,y的方程组（1）再无解，则 可取 2求点到面的距离 设平面的一条斜线段AB（B为斜足），的一个法向量为，则点A到平面的距离 d= , 在空间直角坐标系中求出 及 的坐标便可求出点A到平面的距离 例2、 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=3，E、F分别是棱B1B、DC的中点，求点E到平面A1FD1的距离。解：如图，以D点为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，3），D1（0，0，3），F（0，1，0），E，设平面A1FD1的法向量为由，得， 得又，点E到平面A1FD1的距离为= 3、求线面距离及面面距离通常可转化求点到面的距离,实例略。 二、求空间角 1、求两异面直线所成的角 设两异面直线a,b所成的角为，分别在直线a,b上或a，b，则 也即 O1B1A1xyOABz 例3、如图，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60°，AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦. 解析：用平移A1B或AO1的方法求解，是很困难的，向量法求解则比较简单。建立如图所示的空间直角坐标第，则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0）A1（，1，），B（0，2，0）， .设异面直线所成的角为，则.2、求直线与平面所成的角 设直线a与平面所成的角为 ，的一个法向量为，在直线a取一个向量 则sin= A1zxC1B1BCyA注：此公式也适合 =0和 = 的情形，只是用该公式比较麻烦。 例4、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，0），A1（0，0，），C1（），显然侧面A1B的一个法向量 设AC1与侧面A1B所成的角.即AC1与侧面AB1所成的角为30° 注：本题中侧面A1B的一个法向量容易观察得到，若利用且来求则比较麻烦。3、求二面角 ABCDSzyx设二面角的大小为，平面的法向量分别为，则根据二面角的平面角是锐角 、直角还是钝角来确定 例5、在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90°，SA面ABCD，SA=AB=BC=2AD. 求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值.解析：本题是“无棱”的二面角，用传统的方法较繁，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD、AB、AS两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB、面SCD的法向量，再求其夹角.如图所示建立空间直角坐标系Axyz.设AD = 1，则SA = AB = BC = 2，于是A（0，0，0），D（0，1，0），C（2，2，0），S（0，0，2），为面SAB的一个法向量，.设是面SDC的一个法向量，由和得. .由图可知，所求二面角的余弦值为. 例6、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求A1B与平面ABD所成角的正弦值； （2）求点A1到平面AED的距离. 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2，则C（0，0，0）， A（2，0，0）B（0，2，0），D（0，0，1），A1（2，0，2），E（，1），G（）， 设平面ABD的法向量为，平面ABD，.又EG平面ABD，. . （2）设平面AED的法向量为，由（1）知a=1 由和得. 故点到平面AED距离d= =训练题精选 1、ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为( D )ABCD1 2、在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( D )ABCD3、已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD, PA=AD=1,AB=2,AZBZEZCZPZFZDZE,F分别是AB,PD的中点。（1）求证：AF平面PEC (2)求PC与平面ABCD所成角的正弦值 (3) 求二面角PECD的平面角的大小 A1B1C1D1ABCD4、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.（1）求B1C1与平面AB1C所成角的正弦值；（2）求二面角BB1DC1的平面角的大小. C1A1B1BACD5、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1，BAC=90°，D为棱B1B的中点. （1）求异面直线A1C与C1D所成角的余弦；（2）求平面A1CD与平面ABC所成二面角的余弦（仅考虑锐角的情况）参考答案：1 、D 2、D 3、解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0）xAZBZEZCZPZFZDZzyMZD（0，1，0），F（0， ），E（1，0，0），P（0，0,1） (1)取的中点，连接，则（，），。EM平面PEC ，AF平面PEC，AF平面PEC（）由题意知，取平面ABCD的一个法向量令PC与平面ABCD所成角为，则（）令平面PEC的法向量，由得，由（）知平面ECD的一个法向量二面角PECD的平面角的大小为 xA1B1C1D1ABCDyz4、解：取D1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则B（1，1，1）、D（0，0，1）、C1（0，1，0）、B1（1，1，0），A（，），C（，）（1），。令平面AB1C的法向量为，则由和得令B1C1与平面AB1C所成角为，则（2）容易得到平面的法向量为，平面的法向量为，则由图形可得二面角BB1DC1的平面角为钝角.所求二面角的平面角为120° C1A1B1BACDyxz5、解：建立如图所示的空间直角坐标系，令 则AB=AC=1 A(0,0,0) 、 、D(0,1,1) C(1,0,0) 令异面直线A1C与C1D所成角为则（2），易知平面ABC的法向量为，令平面A1CD的法向量为 则由和得 x=2 y=1 令平面A1CD与平面ABC所成二面角为 则
