六年级数学竞赛小测验.doc

六年级数学竞赛测试题1、2、3、4、5、学校美术兴趣组和电脑兴趣组共102人，美术组人数的和电脑组人数的相等。美术组和电脑组各有多少人？ 6、水果店批发了四种水果，梨的重量是苹果的，橘子的重量是其余三种水果的，香蕉是其余三种水果的，香蕉比苹果少120千克。这四种水果共批发了多少千克？ 7、实验小学六年级三个班植树，一班植树的棵数占三个班总棵数的，二班与三班植树棵数的比是3:4，二班比三班少植树24棵，这三个班各植树多少棵？ “平均数”同课异构教学实录与评析执教：南京市北京东路小学 张齐华评析：北京教育学院 刘加霞一、建立意义师：喜欢体育运动吗？生齐：喜欢！生：我最喜欢乒乓球。生：我最喜欢足球。师：想不想了解张老师最喜欢的体育运动？生：想！师：如果张老师告诉大家，我最喜欢，并且最拿手的体育运动项目是篮球，你会相信吗？生：不相信。生：我也不信。篮球运动员通常都很强壮，就像姚明或乔丹那样。张老师，您也太瘦了点。（笑）师：真是哪壶不开提哪壶啊。不过还别说，和你们一样，我们班上的小强、小林、小刚对我的投篮技术也深表怀疑。就在上星期，他们三人还约我进行了一场“1分钟投篮挑战赛”。怎么样，想不想了解现场的比赛情况？生齐：想！师：首先出场的是小强。他1分钟投中了几个球呢？让我们一起来看看。（呈现小强1分钟投中的个数）生：他投中了5个。师：没错。可是，小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真正水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗？生：我不同意。万一他后面两次投多了，那我不就危险啦！生：我会同意的。做老师的应该大气一点。就让你多投几次，估计也不是我的对手。（笑）师：呵呵，还真和我想到一块儿去了。不过，小强后两次的投篮成绩很有趣。想看看吗？生齐：想。教师出示小强的后两次投篮成绩： 5个、5个。学生会心地笑了。师：还真巧，小强三次都投中了5个。现在看来，要表示小强1分钟投中的个数，用哪个数比较合适？生：5。师：为什么？生：他每次都投中5个，用5来表示他1分钟投中的个数，最合适了。师：说得有理！接着该小林出场了。小林1分钟又会投中几个呢？我们也一起来看看吧。出示小林第1分钟投中的个数：3个。师：如果你的小林，就这样结束了？生：不会！我也会要求再投两次的。师：为什么？生：这也太少了，肯定是发挥失常。生：如果只投这1分钟，就连小强都比不过，更不要说和张老师比了。师：真是心有灵犀一点通！正如你们所说的，小林果然也要求再投两次。不过，麻烦来了。（教师出示小林的后两次成绩：5个、4个）三次投篮，结果怎么样？生齐：不同。师：是呀，三次成绩各不相同。这一回，又该用哪个数来表示小林1分钟投篮的一般水平呢？生：我觉得可以用5来表示。因为他最多一次投中了5个。如果用4或3表示，那他肯定不是张老师的对手。生：我不同意！小强每次都投中5个，所以用5来表示他的成绩。但小林另外两次只投中4个和3个，怎么能用5来表示呢？师：也就是说，如果也用5来表示，对小强来说生齐：不公平！师：那该用哪个数来表示呢？生：我觉得可以用4来表示。因为3、4、5三个数，4正好在当中，最能代表他的成绩。师：不过，小林一定会想，我毕竟还有一次投中5个，比4个多1呀？生齐：那他还有一次只投中3个，比4个少1呀。师：哦，一次比4多1，一次比4少1生：那么，把5里面多的1个送给3，这样不就都是4个了吗？教师结合学生的交流，呈现移多补少的过程如下图（图1）。图1师：数学上，像这样从多的里面移一些补给少的，使得每个数都一样多。这一过程就叫“移多补少”。移完后，小林每分钟看起来都投中了几个？生齐：4个。师：能代表小林1分钟投篮的一般水平吗？生齐：能！师：该轮到小刚出场了。（出示下图）小刚也投了三次，成绩同样各不相同。这一回，又该用几个来代表他一分钟投篮的一般水平呢？同学们先独立思考，然后再在小组内交流自己的想法。生：我觉得可以用4来代表他一分钟的投篮水平。他第二次投中7个，最多，可以移1个给第一次，再移2个给第三次，这样每一次看起来好象都投中了4个。所以用4来代表比较适合。结合学生交流，教师再次呈现移多补少过程如下图（图2）。图2师：还有别的方法吗？生：我们先把小刚三次投中的个数相加，得到12个，再用12除以3等于4个。所以，我们也觉得用4来表示小刚1分钟投篮的水平比较合适。师：别急，老师把你的算式写下来（板书：3+7+2=12次，12÷3=4次）。象这样先把每次投中的个数合起来，然后再平均分给这三次（板书：合并、平分），能使每一次看起来一样多吗？生：能！都是4个。师：能不能代表小刚一分钟投篮的一般水平？生：能！师：其实，无论是刚才的移多补少，还是这回的先合并再平均分，目的只有一个，那就是生：使原来几个不相同的数变得同样多。（板书：同样多）师：数学上，我们把通过移多补少后得到的同样多的这个数，就叫做原来这几个数的平均数。（板书课题：平均数）比如，在这里（出示图1），我们就说4是3、4、5这三个数的平均数。那么，在这里（出示图2），哪个数又是哪几个数的平均数呢？在小组里说说你的想法。生：在这里，4是3、7、2这三个数的平均数。师：不过，这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗？生：不能！师：能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗？生：也不能！师：奇怪，这里的平均数4既不能代表小刚第一次投中的个数，也不能代表他第二、第三次投中的个数，那它究竟代表的是哪一次的个数呢？生：这里的4代表的是小刚三次投中的平均水平。生：是小刚1分钟投篮的一般水平。教师板书：一般水平师：最后，该谁出场了？生：张老师。师：知道自己投篮水平不乍地，所以正式比赛前，我主动提出想投四次的要求。没想到，他们竟一口答应了。前三次投篮已经结束，怎么样，想不想看看我每一次的投篮情况？生：想！教师呈现前三次投篮成绩：4个、6个、5个，如下图。师：猜猜看，三位同学看到我前三次的投篮成绩，可能会怎么想？生：他们可能会想，完了完了，肯定输了。师：从哪儿看出来？生：你们看，光前三次，张老师平均一分钟就投中了5个，和小强并列第一。更何况，张老师还有一次没投呢。生：我觉得不一定。万一张老师最后一次发挥失常，1个都没投中，或只投中一两个，张老师也可能会输。生：万一张老师最后一次发挥超常，投中10个或更多，那岂不赢定了！师：情况究竟会怎么样呢？还是让我们赶紧看看第四次投篮的成绩吧。课件出示下图。师：凭直觉，张老师最终赢了还是输了？生：输了。因为你最后一次只投中了1个，也太少了。师：不计算，你能大概估计一下，张老师最后的平均成绩可能是几个？生：大约是4个。生：我也觉得是4个。师：英雄所见略同呀。不过，第二次我明明投中了6个，为什么你们不估计我最后的平均成绩是6个。生：不可能，因为只有一次投中6个，又不是次次投中6个。生：前三次的平均成绩只有5个，而最后一次只投中1个，平均成绩只会比5更小，不可能是6个。生：再说，6个是最多的一次，它还要移一些补给少的。所以不可能是6个。师：那你们为什么不估计平均成绩是1个呢？最后一次只投中1个呀。生：也不可能。这次尽管只投中1个，但其他几次都比1个多，移一些补给它后，就不止1个了。师：这样看来，尽管还没得出结果，但我们至少可以肯定，最后的平均成绩应该比这里最大的数生：小一些。生：还要比最小的数大一些。生：应该在最大数和最小数之间。师：是不是这样呢？赶紧想办法算算看吧。学生列式计算，并交流计算过程：4+6+5+1=16（个）16÷4=4（个）师：和刚才估计的结果比较一下，怎么样？生：的确在最大数和最小数之间。师：现在看来，这场投篮比赛生：张老师输了。师：你们觉得，问题主要出在哪儿？生：最后一次投得太少了。生：如果最后一次多投几个，或许你就会赢了。师：试想一下，如果张老师最后一次投中5个，甚至更多些，比如9个，比赛结果又会如何呢？同学们可以先通过观察估一估，也可以动笔算一算。然后在小组里交流你的想法。课件出示下图。学生估计或计算，随后交流结果。生：如果最后一次投中5个，那么只要把第二次多投的1个移给第一次，很容易看出，张老师1分钟平均能投中5个。师：你是通过移多补少得出结论的。有不同的方法吗？生：我是列式计算的。4+6+5+5=20（个），20÷4=5（个）。结果也是5个。生：我还有补充！其实不用算也能知道是5个。大家想呀，原来第四次只投中1个，现在投中了5个，多出4个。平均分到每一次上，正好多出来1个。结果自然也就是5个了。教师相机出示下图。师：能理解？生：能！师：既然这样，那么，最后一次如果从原来的1个变成9个，平均数又会增加多少呢？生：应该增加2。因为9比1多8，多出的8个再平均分到四次上，每次只增加了2个。所以平均数应增加2个。生：我是列式计算的，4+6+5+9=24（个），24÷4=6（个）。结果也是6个。二、深化理解师：现在，请大家观察下面的三幅图，你有什么发现？把你的想法在小组里说一说。教师相机出示下图。学生独立思考后，先组内交流想法，再全班交流。生：我发现，每一幅图中，前三次成绩不变，而最后一次成绩各不相同。师：最后的平均数生：也不同。师：看来，要使平均数发生变化，只需要改变其中的几个数？生：一个数。师：瞧，前三个数始终不变，但最后一个数从1变到5再变到9，平均数生：也跟着发生了变化。师：难怪有人说，平均数这东西很敏感，任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化。现在看来，这话有道理吗？生：有！师：其实呀，善于随着每一个数据的变化而变化，这正是平均数的一个重要特点。未来的数学学习中，我们将就此作更进一步的研究。还有别的发现吗？生：我发现平均数总是比最大的数小，比最小的数大。师：能解释一下为什么吗？生：很简单。多的要移一些补给少的，最后的平均数当然要比最大的小，比最小的大了。师：其实，这正是平均数的又一个重要特点。利用这一特点，我们还可以大概地估计出一组数据的平均数呢。生：我还发现，总数每增加4，平均数并不增加4，而是只增加1。师：那么，要是这里的每一个数都增加4，平均数又会增加多少呢？还会是1吗？生：不会，应该增加4。师：真是这样吗？课后，同学们可以继续展开研究。或许，你们还会有更多的新发现！不过，关于平均数，还有一个非常重要的特点，还隐藏在这几幅图当中。想不想了解？生：想！师：以第一幅图为例。仔细观察这幅图，有没有发现，这里有些数超过了平均数，而有些数还不到平均数。（学生点头示意）比较一下超过的部分与不到的部分，你发现了什么？生：超过的部分和不到的部分都是3个，一样多。师：会不会只是一种巧合呢？让我们赶紧再来看看另两幅图吧？生：（观察片刻）也是这样的。师：这儿还有几幅图（出示小刚、小林一分钟投篮情况统计图），情况又怎么样呢？生：超出部分和不到的部分还是同样多。师：奇怪，为什么每一幅图中，超出平均数的部分和不到平均数的部分都会一样多呢？生：如果不一样多，超出部分移下来后，就不可能把不到的部分正好填满。这样就得不到平均数了。生：就像山峰和山谷一样。把山峰切下来，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。师：多生动的比方呀！其实，像这样，超出平均数的部分和不到平均数的部分一样多，这是平均的又一个重点特点。把握了这一特点，我们还可以巧妙地解决相关的实际问题呢。课件出示如下三张纸条。师：张老师大概估计了一下，觉得这三张纸条的平均长度大约是10厘米。（呈现下图）不计算，你能根据平均数的特点，大概地判断一下，张老师的这一估计对吗？生：我觉得不对。因为第二张纸条比10厘米只长了2厘米，而另两张纸条比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它们的平均长度不可能是10厘米。师：照你看来，它们的平均长度会比10厘米长，还是短？生：应该要短一些。生：大约是9厘米。生：我觉得是8厘米。生：不可能是8厘米。因为7比8小了1，而12比8大了4。师：它们的平均长度到底是多少，还是赶紧口算一下吧。学生口算，得出三张纸条的平均长度是9厘米。教师移动表示平均数的线条至9厘米处，如下图。三、拓展提升师：下面的这些问题，同样需要我们借助平均数的特点来解决。瞧，学校篮球队的几位同学正在进行篮球比赛呢。老师了解到这么一则资料，说李强所在的快乐篮球队，队员的平均身高是160厘米。那么，李强的身高可能是155厘米吗？生：有可能。师：不对呀！不是说队员的平均身高是160厘米吗？生：平均身高160厘米，并不表示每个人的身高都是160厘米。万一李强是队里最矮的一个，当然有可能是155厘米了。生：平均身高160厘米，表示的是篮球队员身高的一般水平，并不代表队里每个人的身高。李强有可能比平均身高矮，比如155厘米，当然也可能比平均身高高，比如170厘米。师：说得好！为了使同学们对这一问题有更深刻的了解，老师这儿还给大家带来了一幅图。画面中的人，相信大家一定不陌生。出示下图。生：姚明！师：没错，这是以姚明为首的中国男子篮球队队员。老师从网上查到这么一则数据，中国男子篮球队的平均身高为200厘米。这是不是说，篮球队每个队员的身高都是200厘米？生：不可能。生：姚明的身高就不止2米。生：听我爸爸说，姚明的身高有240厘米呢。师：啥时姚明长这么高啦？（笑）生：姚明的身高是226厘米。师：看来，还真有超出平均身高的人。不过，既然队员中有人身高超过了平均数生：那就一定有人身高不到平均数。师：没错。瞧，据老师所查资料显示，这位队员的身高只有178厘米，远远低于平均身高。看来，平均数只反映一组数据的一般水平，并不代表其中的每一个数据。好了，探讨完身高问题，我们再来看看池塘的平均水深。出示下图。师：冬冬来到一个池塘边。低头一看，发现了什么？生：平均水深110厘米。师：冬冬心想，这也太浅了，我的身高130厘米，下水游泳一定没危险。你们觉得，冬冬的想法对吗？生：不对！师：怎么不对？冬冬的身高不是已经超过平均水深了吗？生：平均水深110厘米，并不是说池塘里每一处水深都是110厘米。有可能有的地方比较浅，只有几十厘米，而有些地方比较深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳，可能会有危险。师：说得真好！想看看这个池塘水底下真实的情形吗？生：想！教师利用课件，呈现池塘水底的剖面图，如下。生：原来是这样，真的有危险！师：看来，认识了平均数，对于我们解决生活中的问题还真有不少帮助呢。当然，如果不了解平均数，闹起笑话来，那也很麻烦。这不，前两天，老师从最新的健康报上查到这么一则资料。课件出示：2007年世界卫生报告显示，目前中国男性的平均寿命大约是71岁。师：可别小看这一数据哦！30年前，也就在张老师出生那会儿，中国男性的平均寿命大约只有68岁。比较一下，发现了什么？生：中国男性的平均寿命比原来长了。师：这是好事，还是坏事？生：是好事。师：值得高兴，还是难过？生：当然值得高兴！师：是呀，平均寿命变长了，当然值得高兴喽。可是，一位70岁的老伯伯看了这则资料后，不但高兴不起来，反而还有点难过。这又是为什么呢？生：我想，老伯伯可能以为，平均寿命是71岁，而自己已经70岁了，看来只能再活一年了。（笑）师：老伯伯之所以这么想，你们觉得他懂不懂平均数。生：不懂！师：你们懂不懂？生：懂。师：既然这样，那好，假如我就是那位70岁的老伯伯，你打算怎么劝劝我？生：老伯伯，别难过。平均寿命71岁，并不是说每个人都只能活到71岁。如果有人只活到六十几岁，那么，你不就可以活到七十几岁了吗？（笑）师：原来，你是把我的幸福建立在别人的痛苦之上呀！（笑）不过，还是要感谢你的劝告。别的同学又是怎么想的呢？生：老伯伯，我觉得平均寿命71岁反映的只是中国男性寿命的一般水平，这些人中，一定会有人超过平均寿命的。弄不好，你还会长命百岁呢！（笑）师：谢谢你的祝福！不过，光这么说，好象还不足以让我彻底放心。有没有谁家的爷爷或是老太爷，已经超过71岁的？如果有，那我可就更放心了。生：我爷爷已经78岁了。生：我奶奶已经81岁了。师：奶奶不管用，我们说的是男性平均寿命。（笑）生：我爷爷已经85岁了。生：我老太爷都已经94岁了。师：真有超过71岁的呀！这一回，猜猜看，老伯伯还会再难过吗？生：不会了。师：探讨完男性的平均寿命，想不想了解女性的平均寿命？生：想！师：有谁愿意大胆地猜猜看？生：我觉得，中国女性的平均寿命大约有65岁。生：我觉得大约有73岁。教师呈现相关资料：中国女性的平均寿命大约是74岁。师：发现了什么？生：女性的平均寿命要比男性长。师：既然这样，那么，如果有一对60多岁的老夫妻，是不是意味着，老奶奶的寿命一定会比老爷爷长？生：不一定！生：虽然女性的平均寿命比男性长，但并不是说每个女性的寿命都会比男性长。万一这老爷爷特别长寿，那么，他完全有可能比老奶奶活得更长些。师：说得真好！走出课堂，愿大家能带上今天所学的内容，更好地认识生活中与平均数有关的各种问题。下课！评张齐华的“平均数”一课刘加霞学生如何学习平均数这一重要概念呢？传统教学侧重于对所给数据（有时甚至是没有任何统计意义的抽象数）计算其平均数。即侧重于从算法的水平理解平均数，容易将平均数的学习演变为一种简单的技能学习，忽略平均数的统计学意义。因此，新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数。然而什么是“从统计学的角度”理解平均数？在教学中如何落实？如何将算法水平的理解与统计学水平的理解整合起来？如何将平均数作为一个概念来教？下面将以张齐华老师执教的“平均数”一课为例研究教学实践中如何解决上述问题。将平均数作为一个重要概念来教，重点是要解决三个问题：为什么学习平均数？平均数这个概念的本质以及性质是什么？现实生活、科学等方面是怎样运用平均数的？张齐华老师执教的“平均数”一课正是从这三方面，并依据学生的认知特点和生活经验实现从概念的角度理解平均数。一、“概念为本”教学的核心：为什么学习平均数1.凭直觉体验平均数的“代表性”。平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据（虽然碰巧可能等于某个原始数据），但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。在张老师的课上，导入部分的问题1分钟投篮挑战赛虽然简单，但易于引发学生对平均数的“代表性”的理解：是用一次投篮的个数来代表整体水平还是用几次投篮中的某一次来代表水平呢？抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平？由于教师所选择的几组数据经过精心设计，同时各组数据的呈现方式伴随着教师的追问，使学生很好地理解平均数的统计学意义。这些数据并不是一组一组地同时呈现，然后让学生分别计算其平均数，而是动态呈现，并伴随教师的追问，以落实研究每一组数据的教学目标。例如，先呈现小强第一次投中5个，然后追问：小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真实水平，想再投两次，你同意他的要求吗？使学生直觉体验到由于随机误差的原因仅用一次的数据很难代表整体的水平。因此再给他两次投篮机会。而小强的投篮水平非常稳定，三次都是5个。三次数据都是“5”是教师精心设计的，核心是让学生凭直觉体验平均数的代表性，避免了学生不会计算平均数的尴尬。同样道理，第二组数据的呈现方式仍然先呈现一个，伴随教师的追问：如果你是小林就这样结束了？仍是让学生体验一次数据很难代表整体水平，但3、5、4到底哪个数据能代表小林的水平呢？教师设计的这些活动的核心是让学生体验平均数的代表性。2两种计算方法的背后仍强化概念理解虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能，但过多的、单纯的练习容易变成纯粹的技能训练，妨碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。计算平均数有两种方法，每种方法的教育价值各有侧重点，其核心都是强化对平均数意义的理解，非仅仅计算出结果。在张老师的课上，利用直观形象的象形统计图（条形统计图也可以），通过动态的“割补”来呈现“移多补少”的过程，为理解平均数所表示的均匀水平提供感性支撑。首先两次在直观水平上通过“移多补少”求得平均数，而不是先通过计算求平均数，这样做，强化平均数“匀乎、匀乎”的产生过程，是对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，避免学生原有思维定势影响，即淡化学生对“平均分”的认识，强化对平均数意义而非算法的理解。如何让学生理解平均数代表的是一组数据的整体水平，而不是平均分后某个体所获得的结果呢？平均数与平均分既有联系更有区别，虽然二者的计算过程相同，但不同于前面所学的“平均分”，二者计算过程相同但各自的意义不同。从问题解决角度看，“平均分”有两层含义：一是已知总数和份数，求每份数是多少；二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，强调的是除法运算的意义，解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。而平均数则反映全部数据的整体水平，目的是比较两组数据的整体水平，强化统计学意义，数据的“个数”不同于前面所说的“份数”，是根据需要所选择的“样本”的个数。因此张老师的教学中没有单纯地求平均数的练习，将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平对比的过程中深化“平均数是一种统计量”的本质，实现从统计学的角度学习平均数。例如，张老师在通过两种方法求出平均数之后，一再追问：“哪个数是哪几个数的平均数？”“这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗？能代表第二次、第三次投中的个数吗？”“奇怪，那他究竟代表的是哪一次投中的个数？”通过这样的追问，强化平均数的统计学意义。当然，如果在此现实问题中出现平均数是小数的情形更有助于学生理解平均数只刻画整体水平不是真正的投球个数（投球个数怎么会是小数呢？不强调小数的意义，只出现简单小数，例如3.5个），即有人说“平均数是一个虚幻的数”。学生对此理解需要比较长的“过程”，不是一节课就能达成的。二、“概念为本”教学的深化：进一步理解平均数的本质及性质初步认识了平均数的统计学意义后，张老师仍然进一步设计活动让学生借助于具体问题、具体数据初步理解平均数的性质，丰富学生对平均数的理解，也为学生灵活解决有关平均数的问题提供知识和方法上的支持。算术平均数有如下性质：1一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动就能带来平均数的变化”，即敏感性。2一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间。3一组数据中每一个数与平均数之差（称为离均差）的总和等于0，即：（xi - ）=0，其中xi是原始数据，是这组数据的算术平均数。4给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数C。5一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C。这些抽象的性质如何让小学生理解呢？张老师仍然是在巧妙的数据设计以及适时、把握本质的追问中让学生进一步深化对平均数性质的认识。数据设计的巧妙主要体现在：首先，在统计张老师自己的投球水平时，张老师“搞特殊”，可以投四次。基于前面学生对平均数的初步感知，学生认可用老师四次投球的平均数来代表老师的整体水平，但张老师在第四次投中多少个球上“大做文章”：前三次的平均数是5，那么老师肯定是并列第一了？一组数据中前三个数据大小不变，只是第四个数据发生变化，会导致平均数产生什么样的变化呢？在疑问与困惑（当然有很多学生是“清醒”的）中教师首先出示了“极端数据”（1个球）进一步深化学生对平均数代表性的理解，初步体验平均数的敏感性。其次，假设张老师第四次投中5个、9个，张老师1分钟投球的平均数分别是多少？根据统计图直观估计或者计算或者根据平均数的意义进行推理都能求出平均数，多种方法求解发挥了学生的聪明才智，使学生的潜能得以发挥，体验成功感进而体验创造学习的乐趣。最后，将三幅张老师1分钟投球的统计图同时呈现，让学生对比分析、独立思考再小组讨论。由于三幅统计图中前三个数据相同，只有第四个数据不同，学生能够进一步理解平均数的敏感性：任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化。学生发现平均数总是界于最小的数与最大的数之间：多的要移一些补给少的，最后平均数当然要比最大的小比最小的大了。学生还发现：总数每增加4，平均数并不增加4，而是只增加1。教师适时追问：要是这里的每一个数都增加4，平均数又会增加多少呢？还会是1吗？再进一步观察三幅统计图中的第一幅图，教师追问：比较一下超过平均数的部分与不到平均数的部分，你发现了什么？生：超过的部分和不到的部分都是3个，一样多。师：会不会只是巧合？其他的平均数是否也有这个特点？通过进一步观察其他几幅统计图，学生真正理解了并用自己形象生动的语言描述出：就像山峰与山谷一样。把山峰切下来，填到山谷里，正好填平，如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。在上述问题情境中，以“问题”为导向，借助于直观的统计图以及学生的估计或者计算，学生思维上、情感上经历一筹莫展、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的过程，对平均数的意义以及性质都有了深切的体会。三、“概念为本”教学的拓展：利用概念解释现实问题有前述对平均数意义以及性质的了解，学生是否真正理解了平均数的概念呢？叙述出概念的定义或者会计算不等于真正理解某个概念，还要看能否在不同情境中运用概念。由于平均数这个概念对小学生而言是非常抽象的（如前所说，它是“虚幻的数”，学生不能具体看到），平均数的背景也很复杂，如果学生能在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题，说明学生初步理解了平均数。因此，张老师设计了四个复杂程度不同的问题，即“纸带平均长短”“球员平均身高”“平均水深”“平均寿命”，这四个问题中的平均数的复杂程度不同。前两个问题中的平均数比较简单，数据的个数都是有限个，而且又有直观图形做理解上的支撑，因此前两个问题是简单应用平均数的性质离差之和为零，即有比平均数大的数据就一定有比平均数小的数据。学生可以借助于直观图形以及计算求出这两个问题中的平均数。在“纸带”问题中数据的呈现方式不同于前面，是横向呈现，但平均数的意义不变，淡化呈现形式强化意义理解，为学生理解平均数提供另一视角。“球员平均身高”问题不是让学生计算球员的平均身高而是让学生借助平均数的性质进行推理判断，并通过学生熟悉的中国男篮队员的平均身高以及姚明的特殊身高深化对平均数的理解。最后两个情境的平均数是比较复杂的，是以样本的平均数代替总体的平均数。例如，平均水深到底是什么意思呢？可以是随机选取有限个点，测量这些点到水底的距离，再求这些距离的平均数作为池塘平均水深的代表值。同理，2008年中国男性的平均寿命也是通过计算样本的平均年龄来表示全体中国男性的平均年龄。真正理解这些平均数的意义对小学生而言有难度。因此，张老师在教学中呈现了池塘的截面图，并标注出五个距离，将复杂的问题简单化，使学生仍能借助于平均数的性质理解冬冬下水游泳仍有危险。通过平均数意义的强化，使学生能从数学的角度解释是否有危险，避免学生从其他角度解释。在解释男性平均寿命问题中，借助于学生亲人的岁数这样的特殊而具体的数据，来理解平均寿命是71岁不等于每个男人就活到71岁。但不是所有的学生都能借助于前面所学平均数的意义和性质来解释这些问题，学生很难真正理解这两个情境下的平均数的意义。四、引发的话题：培养学生的“统计观念”还是“数据分析观念”数学课程标准实验稿中明确提出，学生学习统计与概率内容的重要目标是培养学生的统计观念。那么，统计观念的内涵是什么？是否能够培养小学生的统计观念？我们培养学生的应该是“统计观念”还是“数据分析观念”？M.克莱因在其著作西方文化中的数学一书中谈到：宇宙是有规律、有秩序的，还是其行为仅仅是偶然的、杂乱无章的呢人们对这些端倪（问题）却有种种不同的解释，其中主要有两类答案：其一是18世纪形成的决定论观，认为这个世界是一个有序的世界，数学定律能明白无误地揭示这个世界的规律。直至目前，这种决定论的哲学观仍然统治着很多人的思想，支配着他们的信仰并指导其行动。但是这种哲学观受到了19世纪以来概率论、统计学的猛烈冲击，形成了一种新的世界观，即概率论观或统计论观，它认为自然界是混乱的、不可预测的，自然界的定律不过是对无序事件的平均效应所进行的方便的、暂时的描述。这就是众所周知的用统计观点看世界。陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律性，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。”统计观念实际上是人的一种世界观，是对人、生存空间甚至宇宙特点的看法，大多数成人仍坚守着决定论的观点，形成统计观点非常难。因此有研究者提出培养学生的“数据分析观点”比较切合学生的认知现实和教育现实。即认为数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵着信息的；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析观念应该是“态度”目标的重要组成部分，态度目标的落实是在基本知识、基本技能的教学过程中完成的，一定要有学生的质疑、讨论分析、探究交流等过程，否则就是“说教”，很难使学生产生积极的情绪、情感，态度的养成也就流于形式。张老师这一课，以平均数的概念为本，让学生充分经历了前面所分析的“过程”，才能真正有态度的培养。数据分析观念的培养，或者说对“态度”目标内涵的分析以及如何培养学生积极的态度，都是值得深入研究的课题。（作者单位：北京教育学院）8、甲、乙两车同时从A、B两地出发相对开出，经过9小时相遇。相遇时甲行了全程的，甲车每小时比乙车少行15千米。两地相距多少千米？