[理学]线性代数与空间解析几何综合练习100题.doc

综合练习100题一、填空题 1设是阶矩阵，满足，则. 2若阶行列式的某一行的所有元素及其余子式都相等，则. 3在一个阶行列式中，如果等于零的元素多于个，那么这个行列式. 4设是矩阵，是矩阵，若，则. 5若阶方阵满足，则. 6若阶方阵满足，则. 7若阶方阵满足，则. 8若都是阶方阵，则. 9若阶方阵满足，则秩. 10设是两个阶方阵，则 2 . 11设矩阵，则. 12为阶方阵，为阶方阵，则. 13设矩阵满足，其中为单位矩阵，则. 14设为阶方阵，其特征值为，则100. 15已知，则 16已知阶方阵的各行元素之和都等于，且，则的通解为. 17矩阵满足，则的基础解系一定由个线性无关的解向量构成. 18若矩阵满足，则的特征值只能是或或. 19如果是方阵的一个特征向量，则；. 20已知与相似，且，则. 21已知的特征值为，则. 22已知是的一个特征值，则. 23设是维列向量，则的特征值为. 24若阶方阵的行向量组线性相关，则一定是的一个特征值. 25直线的单位方向向量为. 26已知，为中第4行元素的代数余子式，则. 27设是阶方阵，是维列向量，使得线性无关，且，记，则. 28若两个非零几何向量满足，则与是夹角. 29直线的参数方程为 30圆的半径.二、选择题 1设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充要条件是（C）. （A）； （B）的行向量组线性无关； （C）的列向量组线性相关； （D）的列向量组线性无关. 2设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C）. （A）若只有零解，则有唯一解； （B）若有非零解，则有无穷多解； （C）若有无穷多解，则有非零解； （D）的任两解之和还是的解. 3设非齐次线性方程组的系数行列式为零，则（C）. （A）方程组有无穷多解； （B）方程组无解； （C）若方程组有解，则有无穷多解； （D）方程组有唯一解. 4设是矩阵，对于线性方程组，下列结论正确的是（A）. （A）若的秩等于，则方程组有解； （B）若的秩小于，则方程组有无穷多解； （C）若的秩等于，则方程组有唯一解； （D）若，则方程组无解. 5设阶方阵的秩是，则其伴随矩阵的秩为（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 6设是阶方阵，是的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B）. （A）； （B）若，则； （C）； （D）秩秩. 7设是阶方阵，非零，且，则必有（D）. （A）； （B）； （C）； （D）. 8设有两个平面方程 ， 如果 秩，则一定有（D） （A）与平行； （B）与垂直； （C）与重合； （D）与相交. 9设为阶可逆矩阵，是的一个特征根，则的伴随阵的特征根之一是（D）. （A）； （B）； （C）； （D）. 10阶方阵有个不同的特征值是与对角阵相似的（B）. （A）充分必要条件； （B）充分而非必要条件； （C）必要而非充分条件； （D）既非充分条件也非必要条件. 11已知阶方阵与某对角阵相似，则（C）. （A）有个不同的特征值； （B）一定是阶实对称阵； （C）有个线性无关的特征向量； （D）的属于不同特征值的特征向量正交. 12下列说法正确的是（D）. （A）若有全不为的数使，则向量组线性无关； （B）若有一组不全为的数使得，则向量组线性无关； （C）若存在一组数使，则向量组线性相关； （D）任意个维几何向量一定线性相关. 13设是阶方阵，满足：对任意都有，下列结论中正确的是（D）. （A）若秩秩，则； （B）若，则； （C）若，则； （D）若，则. 14设均为阶正定矩阵，则必有（B）. （A）正定； （B）正定； （C）正定； （D）正定. 15设是阶方阵，则（C）. （A）为正定矩阵；（B）为正交矩阵；（C）；（D）. 16设是阶方阵，下列结论中错误的是（D）. （A）若都可逆，则也可逆； （B）若都是实对称正定矩阵，则也是实对称正定矩阵； （C）若都是正交矩阵，则也是正交矩阵； （D）若都是实对称矩阵，则是实对称矩阵. 17设是阶方阵，下列结论中错误的是（B）. （A）若经列的初等变换化成，则秩秩； （B）若经行的初等变换化成，则； （C）若经行的初等变换化成，则与同解； （D）若经列的初等变换化成，则的列向量组与的列向量组等价. 18设 ，则必有（C）. （A）；（B）；（C）；（D）. 19若与相似，则（B）. （A）；（B）；（C）；（D）. 20若，则（D）. （A）可逆； （B）可逆； （C）或； （D）时，不可逆. 21设，则与（A）. （A）合同且相似； （B）合同但不相似； （C）不合同但相似； （D）不合同且不相似. 22实二次型为正定二次型的充要条件是（C）. （A）的负惯性指数是； （B）存在正交阵使； （C）存在可逆阵使； （D）存在矩阵使. 23设是实矩阵，则下列结论中错误的是（D）. （A）线性方程组只有零解正定；（B）； （C）的特征值大于等于； （D）正定. 24设是阶方阵，则等于（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 25设是阶方阵，则必有（D）. （A）； （B）; （C）； （D）. 26已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解为（B）. （A）； （B）； （C）； （D）. 27设有直线与，则与的夹角为（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 28若都是维列向量，且阶行列式 ，则阶行列式等于（D）. （A）； （B）； （C）； （D）. 29设阶矩阵非奇异，则（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 30设矩阵的秩是，则直线与直线（A）. （A）相交于一点； （B）重合； （C）平行但不重合； （D）异面.三、计算题 1设，求及. 解：由故的特征值为. 对，由，可解得三个线性无关的特征向量，. 对，由，可解得特征向量，令 ，由得 故 . 又. 2设， （1）满足什么条件时，的秩是; （2）取何值时，是对称矩阵; （3）取一组，使为正交阵. 解：（1） 当时，的秩是. （2），要想成为对称矩阵，应满足，即. （3）要想为正交阵，应满足，即. 解得 . 3设有三维列向量 问取何值时， （1）可由线性表示，且表达式唯一； （2）可由线性表示，但表达式不唯一； （3）不能由线性表示. 解法1： 设, 由 （1）当且时，此时可由线性表示，且表达式唯一. （2）当时，可由线性表示，且表达式不唯一. （3）当时，不能由线性表示. 解法2： 当且时，可由线性表示，且表达式唯一, 当时，可由线性表示，且表达式不唯一， 当时，不能由线性表示. 4设阶矩阵的特征值为，对应的特征向量依次为，又， 求(n为正整数). 解：由于 又由于 ，.所以 . 5设， （1）求的特征值；（2）求的特征值. 解：（1）得的特征值为. （2）由是对称阵，的特征值是，存在可逆阵使于是 , ，故的特征值为. 6已知是的逆阵的特征向量，试求常数的值. 解：设为的特征值为的特征向量，则.即 .即 解得 ，即或. 7设，已知线性方程组有无穷多解，试求： （1）的值；（2）正交阵，使为对角阵. 解：（1） 要使有无穷多解，必须，因此. （2）此时，得的特征值. 对于，由，得特征向量，单位化得； 对于，由，得特征向量，单位化得； 对于，由，得特征向量，单位化得; 令，此时为正交阵，并且为对角阵.8已知线性方程组（I）的一个基础解系为，试求线性方程组.（II）的通解. 解：设 由为（I）的一个基础解系得. 由线性无关，所以，又，所以 是的基础解系，通解为为任意常数. 9已知方程组有三个线性无关的解向量，求的值及方程组的通解. 解：由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故其中. 于是.从而. 该方程组与方程组同解. 令得该方程组的通解 其中为任意常数. 10设，问当为何值时，存在可逆阵，使得为对角阵，并求出一个及相应的对角阵. 解：的特征方程为： .解得特征根为.当时，有个线性无关的特征向量. 当时， 因存在可逆阵，使为对角阵，所以，从而.因此 ， 对应于的特征向量为，由得 对应于的特征向量为，由，得 令 且为可逆阵，相应的对角阵. 11设，方阵满足，求. 解：由得 由于，所以可逆，得 ， 12已知将阶可逆阵的第行的倍加到第行得矩阵，求. 解：令，则，由于均可逆，故可逆，所以 . 13设有线性方程组 （不全为） （1）为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数. 解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式即 故，或时，方程组有非零解. （2）当时，方程组为，即.其基础解系为，通解为为任意常数. 当时，方程组为，解得基础解系为，通解为为任意常数. （3）当时，解空间维数为；当时，解空间维数为1. 14设二次型经正交变换化成，其中是阶正交矩阵，求及满足上述条件的一个. 解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为， 故二次型可以写成和，且. 由相似知，即 ， 比较系数得：. 由，知的特征值是. 解方程组，得，单位化得 解方程组，得， 解方程组，得，单位化得 故. 15求直线与的公垂线方程. 解：与的标准式及参数形式分别为：与与的方向向量为的方向向量为. 设与公垂线垂足为，则应有，且，. 解得 所以，故公垂线方程为 . 16求直线在平面上投影的方程. 解：点坐标为. 设通过直线垂直于平面的平面的方程为.的法向量为. 平面的法向量为. 由，知，得 解得.从而得方程为 所以所求直线方程为 17设矩阵与相似，且， （1）求的值； （2）求一个可逆阵，使. 解：（1）因为与相似，所以有， 比较两式系数可得：解得. （2）因与相似，所以的特征值为. 解得的对应于特征值2的特征向量，. 解得的对应于特征值6的特征向量.令，则有. 18已知阶实对称阵的特征值为及分别是的对应于特征值的特征向量， （1）求的属于特征值的一个特征向量； （2）求正交变换将二次型化为标准形. 解：（1）设对应的特征向量为，则有，可取 . （2）把特征向量规范正交化后得：.令 ，则在正交变换下化为 . 19已知二次型的秩为，求及此二次型对应矩阵的特征值，指出代表三维几何空间中何种几何曲面. 解：二次型所对应的矩阵为, 因的秩为，即的秩为，故有，所以. ，得特征值为. 与特征值相对应的单位特征向量分别为，取正交变换阵，则在正交线性变换下，方程化为椭圆柱面. 20设有数列，求. 解法1： 由, 得. 记 得的特征值为，并且 分别是的对应于特征值的特征向量. 记，于是则 所以. 解法2： 设 将按第一行展开可得 （1） 由的对称性可得 （2） 若，（1）、（2）联立解之 （3） 若，由（1） （4） 考察 令 补充定义，则于是 解：, 得 ，由（3）知 .四、证明题 1证明，（为正整数）. 证： 时， 假设当时结论成立，当时，若，由知命题成立.若，将按第一行展开得 由数学归纳法，对一切自然数结论都成立. 2设为阶方阵，证明：若存在大于等于的自然数使，则. 证：因，所以，又为阶方阵，故.所以经初等变换可以化为，于是存在可逆阵，使，取，则. 令，则 由知， 或者，故. 3设是幂等阵，试证 （1）的特征值只能是或， （2）， （3）可相似对角化； （4）. 证：（1）设是的任一特征值，则存在使. 于是.由知，. 由得，故或. （2）由知，于是 （1）由知 （2）综合（1），（2）可得 （3）记. 当或时，或，命题显然成立. 以下设，由知，. 取为的基础解系是的基础解系，则是的属于特征值的线性无关的特征向量，是的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由知有个线性无关的特征向量. 从而可相似对角化. （4）由（1）、（3）可知存在可逆阵使于是. 4设是阶正定矩阵，证明：的特征值全大于0. 证：因正定，则存在可逆阵，使 因可逆，则可逆，从而正定，它的特征值全大于， 因与相似，从而的特征值全大于. 5设为阶方阵，试证： （1）若且，则线性无关； （2）的解一定是的解； （3）. 证：（1）反证法若线性相关，则存在不全为零的数，使， 设是第一个不等于零的系数，即，则 ，两边乘以矩阵，得， 由于，故对任意都有，从而由上式得，但，故与假设矛盾. （2）证明：假设是的解，但不是的解，即有 但. 由（1）知线性无关，与个维向量线性相关矛盾，故是的解. （3）由（2）知的解一定是的解，且易知的解一定是的解，所以方程与同解，所以. 6已知向量组线性无关，试证：向量组 线性无关. 证：假设有一组数使得.则有，即有由于线性无关，所以，所以.故线性无关. 7设线性无关，为奇数，试证：线性无关. 证：假设存在一组数使，则有，即又由于线性无关，所以，因为是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式， （1）故（1）只有零解，所以，故线性无关. 8设阶矩阵的个列向量为，阶矩阵的个列向量为，问齐次线性方程组是否有非零解，证明你的结论.证：当为奇数时，齐次线性方程组，没有非零解. 当为偶数时，有非零解. 由于，所以阶矩阵的个列向量线性无关， 由上题知，当为奇数时，也线性无关，所以，因此齐次线性方程组没有非零解， 但当为偶数时，因，线性相关，所以. 因此，齐次线性方程组有非零解. 9设是阶方阵的分别属于不同特征值的特征向量，. 试证：线性无关. 证：设的个互不相同的特征值为，对应的特征向量依次为，则 . 设有一组数，使得即.可得. 由于线性无关，所以 即 又由于.所以，即线性无关. 10已知是两个阶实对称矩阵，试证与相似的充要条件是的特征多项式相等. 证：（1）若与相似，记，则. （2）若的特征多项式相等，则有相同的特征值. 因都是实对称矩阵，存在正交阵使于是.即故与相似. 11设是阶实矩阵，证明当时，正定. 证：，即是实对称阵. 对任意维非零实列向量，有由于，所以，又，所以.即正定. 12设是实矩阵，证明：，并举例说明是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组， （1） （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而，即有 （3） 另一方面，对任意如果，则，即 （4） 设，由（4）知，因为为实矩阵，为实向量，故均为实数，所以，即，由于（2）的解也是（1）的解，故有，即 （5）综合（3），（5）式知由知故有. 令，则，于是，即是复矩阵，结论不成立. 13若任意维列向量都是阶方阵的特征向量，试证：一定是标量矩阵. 证：先证的任两个特征值都相等，否则设是的两个特征值，使. 因，所以线性无关，. 依题意存在，使，于是，矛盾，故的所有特征值都相等，记为. 令为阶单位阵的第个列向量，于是由已知得即是数量矩阵. 14设是阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵使. 证：是正定阵，则存在正交矩阵，使得，其中 令，则 而 令 ，易验证为正定阵，故. 15设是维非零实列向量，证明：为正交矩阵. 证：因为，故 .因而为正交矩阵. 16设方程组的解都是的解，且，试证：与同解. 证：设，则的基础解系含有个线性无关的向量，不妨设为. 有.又的解必为的解，从而从而也是的基础解系.于是的通解为则与同解. 17设是阶方阵，是维列向量，若，则有解. 证：由于，又由于，所以即有解.18设是个线性无关的维实向量， 是线性方程组 的实非零解向量，试证：线性无关. 证：假设线性相关，由已知线性无关，必有， （1）又由为方程组的解，从而于是，从而，矛盾.所以线性无关. 19设是两个阶正定矩阵，若的特征向量都是的特征向量，则正定. 证：因为是两个阶正定矩阵，因此也必为实对称矩阵， 设为的个标准正交的特征向量，记，则并且，所以且. 再由得，因此正定. 20设是齐次线性方程组的基础解系，向量不是的解，试证向量组线性无关. 证：设有一组数使得即 （1） 由于是齐次线性方程组的基础解系，向量不是的解，所以不能表为的线性组合，所以，因此（1）式变为，由于线性无关，所以，进而，故向量组线性无关.·151·