[理学]概率论与数理统计龙永红习题答案.doc

1. (1) (2) :当日最低，:当日最高 (3) (4) 2. (1) (3)3. 4. （5） （8） （10）（11） 9. 又 10. 而 又 又 11.A=“其中恰有K件” B=“其中有次品”“一件次品也没有”C=“其中 至少有俩件次品”“只有一件次品，或没有”12: A=“男生比女生先到校”B=“李明比王先到学校13.C“至少两人生日同一天”“每个人生各不同”14. A=“第2站停车”“不停车”B=“第i和第J站至少有一站停车 “第i站到J站都不停” “第i站有人下车（停车）”“第j站有人下车” D=“在第i站有3人下车”15.（1）A“前两个邮筒没有信”（2）B“第一个邮筒恰有一封信”16 A“前i次中恰好有取到k封信”17. “第三把钥匙可以开门” “第二把钥匙可以开门” “第三把钥匙才可以开门” C=“最多试3把就可以开门”18贝努里试验A“其中三次是正面”19.A“恰有一红球，一白球，一黑球”20. 21几何概型A“等待时间不超过3分钟”到达的时间 22.A“需要等零出码头的概率”第1条船到达时刻第2条船到达时刻 23.A“第一次取出的是黑球”B“第二次取出的是黑球” （1） （2） （3）A“取出两个球，有一个是黑球” B=“两个都是黑球” 24. （1） （2） 25. (1) A=“已知一个是女孩，” C“两上都是女孩” （2）解略 “第i是女孩26. A=“点数为4”27. A“甲抽难签” B=“乙抽难签” C=“丙抽难签” 28. A=“试验成功，取到红球” “从第二个盒子中取到红球”“从第三个盒子中取到红球”29. A=“废品” “甲箱废品” “乙箱废品” （1） （2）30. “第二次取球中有i个新球” i=0.1,2,3 “第一次取球中有j个新球” j=0,1,2,3 (1) 分别对应代入该式中，可得：（2）将，代入该式，可得：31、A“确实患有艾滋病”B“检测结果呈阳性”有题知： C=“高感染群体确实患有艾滋病”32.解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为0.8设A“被袭击者正确识别袭击者种族”“错误识别袭击者种族”B“袭击者为白人” “袭击者为非白人”根据已知条件，有 因与未给出，因而不能断定33.解：两两独立， 又不相互独立，只是两两独立。34. 有独立 有独立立 35. 且且A，B互不相容则A，B不可能相互独立因为但因为36.相互独立，证明亦相互独立证：则同理可证下证 相互独立37. 证略，可用数学归纳法38. A“第一道工序出品” B“第二道工序出废品”C“第三道工序出废品” 39. A=“雷达失灵 B=“计算机失灵” （因为独立）40.B“击落”A，B，C分别代表三收炮弹 发炮弹击中敌机 习题二（A）1解：X: 甲投掷一次后的赌本。Y：乙习题2 1.解x：甲投掷一次后的赌本y;乙.（1） （）3.解解（）X:有放回情形下的抽取次数。P（取到正品） P（取到次品）（）Y:无放回情形下。解6解（）根据分布函数的性质(2)0.39解：依据分布满足的性质进行判断：（）单调性：时不满足。（） ，不满足单调性。（），满足单调性，定义是可以做分布函数的.所以，能做分布函数。 解（1）F（x）在x=0,x=1处连续，所以X是连续型。F（x）在x=0处连续，但在X处间断，所以X不是连续型。解：（）求a,由），当x<0， ,当x0, 所以 ,）(2) ）求a: ）X0,F(X)=0.0X1,1x2, ,X2,F(x)=1.所以：，） , ,P(X1) ,10. 因f(x)关于x=u对称 下面证明,令z+y =2uy=2u-z= (由式有f(2u-z)=f(z)又，由于式11.解（）第题（）：（）第题：由分布律得：12.解：ER=1%×0.1+2%×0.1+6%×0.1=3.7%,若投资额为10万元，则预期收入为10×（1+3.7%）10.37（万元）DR=ER2-(ER)2=15.7×10-4-(3.7)2×10-4=2.01×10-4ER2=(1%)2×0.1+(2%)2×0.1+(3%)2×0.2+(4%)2×0.3+(5%)2×0.2+(6%)2×0.1 =10-5+4×10-5+18×10-5+48×10-5+50×10-5+36×10-5 =15.7×10-413.解：题意不清晰，条件不足，未给出分期期类.解一.设现在拥用Y，收益率k%, 假设现在至1100时仅一期，则K元解二，由于0x5题意是否为五期呢？由贴现公式5K%=P(YX)= 14.证明：E(X-EX)2 15.证明：（2.31）(2.32)L (C)=E(X-C)2=E16.连续型。普照物 -Th2.3证明过程令于是有 (*)将h(X)=(X-EX)代入(*)得 （证毕）.离散型。于是同理将h (x)=(x-EX)2代入得17.解：设P表示能出厂。P0.7+0.3×0.80.94q表示不能出厂。Q=0.3×0.2=0.06(1)Xb（n，0.94）X:能出厂数P(X=K)=(2) P(X=n)=(0.94)n(3)Yb(n,0.06) Y:不能出厂数。P(Y=0)-P(Y=1)=1-(4)EY=n×0.06,DY=n×0.06×0.9418.解 19.解：已知XP() EX=DX=1EX2=(EX)2+DX=2+ 20.解：P:等车时间不超过2min的概率，X:等车时间 再会Y：等车时间不超过分钟的人数21.解：设Y:利润 X:理赔保单如：Xb(8000,0.01) Y=500×8000-40000X由EX=np=8000×0.01=80 EY=4000000-40000×80=800000 22.解（）X所以：EX,DX推导见原习题解。23.证明Xe ()24.解：设X:表示元件寿命，X Y:1000h不损坏的个数，当Y为以上时系统寿命超过1000h， P:1000h不损坏的概率。 , 多元件独立工作25.解：X 26.解 n=100Y:误差绝对值大于19.6的次数 Yb(100,0.05)a=P(Y3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)用泊松分布近似计算：a=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)27.解：设C:损坏，则由题意：所以：P(C)=0.2119×0.1+0.5762×0.01+0.2119×0.2=0.06931而由贝叶斯定理有：28.解：设数学成绩为：X，XN(70,100),由题意：即1.645a=70+10×1.645=86.45分29. 30.解：令Y=X+ 即也即Y在a+,b+上服从均匀分布。31.解：令Y=X2, 即：即：32.解：Yax+ 33.解：令X:直径 Y:体积 34.解：.）所以：所以：）所以：所以：Y2(2).35.解Xe(2)所以36.解：由已知参考()知当前价格元。依据-eg2.31 其中连续复合年收益率r=lnx-lnx=lnx-ln10 令所以：注：对数正态分布与对数正态分布的矩，包括中心矩，原点矩等，如EX，DX均不作要求属于超纲内容，BlackScholes期权定价公式一般是作为研究经济现象工具也属于超纲内容，因而本题不作要求。37.证明显然当y0时,，所以y0时，（复合函数求导方法）所以：38.解:X密度函数f(x), Y=ax+b , 固当a0时， 当a0时，习题三答案1.证明：由概率的非负性，知上式大于等于零，故得正.2.解：，0121/5610/5610/565/5620/5610/563/2815/285/143/85/81. 3.解：由概率的性质又 当y0时当x0时 4.解：；， ；5.6.讨论如下：=7.证明： 故独立得证.8.P.解： 10.解： 故不独立.11.x y1/241/81/6 1/83/81/21/121/41/31/43/4112. 证明：必要性：由：充分性，若从上式可得x与y独立.13. 解： 有实根的概率 = 14. 解：当时，当时，当时，当时当时，Y0时，当X0时，当X0时，15.解1.由S(D)= 得X与Y的联合密度函数为2.由于0y1时，从而0y1时，又1y3时，从而1y3时，;又当Y0时,Y3时，f(x,y)=0,从而fY(y)综上得：此外，0X1时，从而0X1时，当1X2时，从而1X2时，当X0或X2时，f(x,y)=0从而综上得：16.证明：（）故为均匀分布又 故为均匀分布.17.解故18. 故独立不独立.19. 不独立. 20. 21.若服从二元正态分布，则因为均无参数，故可见，不能由决定.22.解：均服从正态分布，但是不服从正态分布.23.P 1/9 4/9 4/9 0 0 0 1 2 -1 -2 P 3/9 2/9 1/9 2/9 1/9-2-10120 1/9 0 00 1/9 0 1/9 01/9 0 1/9 0 1/90 1/9 0 1/9 00 0 1/9 0 0 1/92/93/92/91/91/9 2/9 3/9 2/9 1/9 124. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/3625.证明：当n=2时， ，k=0，1，2，由数学归纳法，设对n-1成立，即服从参数为的泊松分布，因为Xn服从参数为的泊松分布，故服从参数为的泊松分布，即对n成立.26. i=1,2. ,Z=X1+ X2Z0时，所以27.由题意知X1N(4,3), X2N(2,1).且两者相互独立.由X1=X+Y, X2=X-Y得X=，Y=，且X和Y服从正态分布故 , 故XN(3,1),YN(1,1)即 , 28. 用数学归纳法进行推广，与25题类似.XiN(i,),i=1,2n.29. 当0z2时， 当z2时，故 30. XY0-11P0.80.10.1 X01P0.60.4 Y-101P0.40.20.4 =0×0.6+0.4×1+(-1) ×0.4+0×0.2+1×0.4 =0.431 由题意知 所以: x>y y>x 32.证明：P(X=a,Y=b)=P, i,j=1,2.P(X= a)P P(Y=bj)=Pj=1,2 Y012. 19 20P. 33=834.因为可以看成是9重见利试验，EX=np=935.参考课本P84的证明过程.36X2X1012p01pCov(x1, x2)=E X1 X2-Ex1 ×Ex2= = 37. 所以：因为,所以X,Y独立. 故 38.所以 因为X1,Y1 独立。所以Cov(X1,Y1)=0 (也可以计算：Cov(X1,Y1)= Cov(X+Y,X-Y) = Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y) = Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(y,x)-Cov(Y,y) =0)39 所以： 所以：X,Y不独立。=40. 41. 当时，最小为 当时，42.解设投资组合的收益率为r, 则所以： 当x=1 时，故所以，对任意x,有，所以，任意组合P都有风险。 若=1时设投资组合中数为X,则即此时0当选投资组合中权数x,使得 , ,此时不卖座即0x1,能在0x1上得到比证券A和B的风险都小的投资组合，意味着的最小值在0x1达到。由所以所以故为使0x1则解得：且如果，则上述等价于如果，则上述等价于 综上:当时，可在不卖座的情况下获得比DA和DB都小的风险投资组合。43. Er=0.1×(-3%)+1%×0.105+2%×0.175+3%×0.26+4%×0.125+5%×0.13+6%×0.065+7%×0.04=2.755% P(r=-3%/rf=1.5 P(r=1%/rf=1.5%)= P(r=2%/rf=1.5%)= P(r=3%/rf=1 P(r=4%/rf=1.5%)= P(r=5%/rf=1.5% P(r=6%/rf=1.5%)= P(r=7%/rf=1.5%)=所以：E(r/ rf=1.5%)=0.05×(-3%)+0.1×1%+0.2×2%+0.3×3%+0.15×4%+0.1×5%+0.05×6%+0.05×7%=3% 44. ,0xy1 (0x1)所以：46.看成伯努利试验，Xb(120, )XP(6)泊松分布or X N(6,5.7),A=“X10”采用泊松分布或正态分布近似计算0.0465（二项分布计算结果）P(A)=0.022529+0.011264+0.005199+0.002228+0.000891+0.000334+0.000118+0.000039+0.000012+0.000004+0.000001=0.042619-泊松分布P(A)=1-F(10)=1-0(10-6)/ 2=5.7 =1-01.675415827737.=1-0.95352 or 0.95244=0.04648 or 0.04756显然，本题正态分布比泊松分布更准确。47.X=开动生产的机床数Xb(200,0.7) 所以XN(140,42) 设以以上概率保证正常生产机器为K台，则 P(XK)0.95所以 所以K=151台所以各电能K×15=2265个电能单位，以保证机器都正常48. X1, X2相互独立，,X的均值为0，所以密度函数关于原点对(1)（）X=X1+XNN(0,)所以n=440.33