[理学]数值计算习题.doc

一、插值（一）拉格朗日插值已知以下的函数值13456326求拉格朗日的插值公式如下：计算各项基函数，有（二）牛顿插值牛顿插值的相关公式差商公式牛顿插值公式13456326牛顿插值的关键是利用差商公式，首先我们构造差商，有计算一阶差商计算二阶差商计算三阶差商由公式有当二、数值积分（一）龙贝格积分有如下积分:利用龙贝格积分求解.解答1、分段递推公式如下： 可得 2、利用龙贝格积分，有如下公式： 故有（二）高斯积分题目有如下积分利用两点高斯积分公式求解.解答利用两点高斯积分求解标准两点高斯求积公式为：一般区间应用高斯求积公式，可以利用如下转换故有三、非线性方程（一）二分法利用二分法求解非线性方程有如下方程，二分法的求根区间取7，8。取，有取有和同号，则可以知道根在7,7.5之间。取，继续计算取7,7.25区间，结算结束。对上面结果列表，有1787.5-+277.57.25-+377.257.125-+477.1257.0625-+-57.06257.1257.0938-+67.06257.09387.0781-+77.06257.07817.0703-+87.06257.07037.0664-+-97.06647.07037.0684-+-107.06847.07037.0693-+117.06847.06937.0688-+-127.06887.06937.0691-+137.06887.06917.0690-+147.06887.06907.0689-+157.06887.06897.0689-+-（二）牛顿迭代法利用牛顿迭代法求的根,取初始值为.解答牛顿迭代法的公式为令有令故根为0.5110（三）弦截法题目利用弦截法求以下方程的根：，初值为要求：绝对误差小于0.001解答弦截法的公式为 令 所以方程的根为2.236 四、线性方程组（一）高斯消元法有如下方程组,利用高斯消元法求解，利用高斯消元法，首先建立增广矩阵，开始消元消元完毕，开始回代，可得， （二）列主元高斯消元法利用列主元高斯消元法进行方程组求根（小数点后保留两位）其中，利用高斯消元法，首先建立增广矩阵，选择第一列中的最大值第三行为第一行，可得选择第二列中的最大值第四行为第二行，可得选择第三列中的最大值第四行为第三行，可得消元完毕，开始回代，可得， （三）三角分解法有如下方程组,利用三角分解法求解，1）首先，将A进行LU分解。即（1）先求U矩阵第一行，有（2）求L矩阵第一列，有（3）求U矩阵第二行，有（4）求L矩阵第二列，有（5）求U矩阵第三行，有（6）所以有2）求Ly=b有可得3）求Ux=y，有，（四）迭代法初值首先写成迭代形式：雅可比迭代法：严格上一次的结果高斯-赛德尔迭代：最近的计算结果p277,例12五、常微分方程（一）改进欧拉法题目利用改进欧拉法求如下常微分方程求，其中。解答改进的欧拉公式为 先求 再求 所以y(1)=7.06（二）龙格-库塔公式利用经典四阶龙格-库塔公式求如下常微分方程：（小数点后保留两位）求，其中。解答四阶经典龙格-库塔公式如下：，有以下计算